Материал: Применение вейвлет-преобразований

.                                                                   (1.23)

Тогда условие ортогональности  в  принимает вид

.

Так как  - ортонормированный базис, то из последнего равенства имеем:

, .

Полученная система уравнений имеет множество решений (их с овокупность порождает пространство ). Возьмем наиболее простое, состоящее из двух ненулевых значений:

, .

Ему соответствует функция

,

,                                                                          (1.24)

называется вейвлетом Хаара. Она замечательна тем, что ее сдвиг  образуют базис пространства . Функции  образуют ортонормированную систему . Кроме того, каждая функция  ортогональна каждой функции . Поэтому . Система функций  образует новый ортонормированный базис пространства . Это следует из того, что любой базисный элемент  пространства  выражается через  и . Действительно,

, .

Выражения для остальных  получаются сдвигами на .

Таким образом, получен ортонормированный базис  пространства , где первый набор функций  образует ортонормированный базис пространства, а второй выбор  - базис дополнительного пространства  в соответствии с разложением . Новый базис пространства  получается из базиса  добавлением элементов из .

Аналогичным образом можно получить базис пространства . Поскольку  есть замкнутое пространство , то существует ортогональное дополнение к  в пространстве , обозначим его , тогда . Учитывая, что , получаем: .

По построению пространства  является масштабированной версией пространства , другими словами, . Поэтому и пространство  является масштабированной версией пространства . Следовательно, полуцелые сдвиги  функции  образуют базис пространства . Обозначим  эти (пронормированные) базисные функции. Поскольку базис пространства  образован функциями , то базис пространства  состоит из элементов . Он получен из базиса пространства  добавлением новых элементов  и . Ясно, что процесс можно продолжить до бесконечности, используя разложение  для любого . Тогда

.

Ортонормированный базис пространства  образует функции вида

.                                                                      (1.25)

Следовательно, ортонормированный базис пространства  состоит из функций

.

Можно также продолжить разложение и в «отрицательную сторону», . Поскольку пространства , уменьшаясь при , сходятся к нулю, то в пределе мы получаем

.                                                                               (1.26)

Поэтому ортонормированный базис пространства  будут образовывать функции

, .                                                       (1.27)

Это хорошо известный базис Хаара. Он называется также вейвлетом Хаара.

Определение 1.2. Элементы пространства  называются вейвлетами Хаара. Функции называются базисными вейвлетами. Функция называется масштабирующей функцией Хаара. Функция  называется материнским вейвлетом Хаара.

Замечание 1. Формула (1.26) не совсем корректна. Ее правая часть представляет всюду плотное в  множество кусочно-постоянных функций. Для точного равенства необходимо взять замыкание:

.                                                                              (1.28)

Отметим также, что для любого : .

Замечание 2. Нужно отметить, что вейвлеты Хаара и вейвлеты Добеши первого порядка (db1) совпадают. Ниже на рис. 1.1 приведен график вейвлета Хаара, а на рис. 1.2 - график вейвлета Добеши первого порядка.

Рис. 1.1 Вейвлет Хаара

Рис. 1.2 Вейвлет Добеши(db1)

1.3. Вейвлет Мейера

Вейвлет-функции Мейера определены в частотной области следующим образом:

.

Соответствующая масштабирующая функция есть:

.

Функция [PHI, PSI, T]=meyer(LB, UB, N) возвращает масштабирующую функцию и вейвлет-функцию Мейера, вычисленную в -точках регулярной сетки в интервале [LB,UB]. Переменная  должна быть степенью числа 2. Выходными параметрами являются масштабирующая функция PHI и вейвлет-функция PSI, вычисленные на сетке . Если требуется в качестве выходного параметра получить только одну из перечисленных функций, то требуется четвертый аргумент:

[PHI,T]=meyer(LB,UB,N,'phi') или [PSI,T] =meyer(LB,UB,N,'psi')

Следующий пример строит графики вейвлета Мейера и его масштабирующей функции, который изображен на рисунке 1.3.

lb=-10; ub =8 ; n =1024

[phi,psi,x]=meyer(lb,ub,n);

subplot (211), plot (x,psi); title('Meyer wavelet')(212), plot (x,phi); title('Meyer scaling function')

Рис. 1.3 Вейвлет Мейера

.4 Построение вейвлетов Добеши с компактным носителем

Построим вейвлеты с компактным носителем и с  нулевых моментов. Эти свойства необходимы для обеспечения хороших свойств приближения вейвлет-разложений. Найдем вещественные вейвлеты  и  с компактным носителем и с  нулевыми моментами.

Из компактности носителя вытекают следующие факты.

.        Фильтр коэффициентов  разложения  состоит из конечного числа вещественных ненулевых членов. Поэтому частотная функция  является тригонометрическим членом. Если длина носителя  равна , то имеется не более  ненулевых коэффициентов .

.        Преобразование Фурье  является ограничением на  целой аналитической функции экспоненциального типа. В частности,  является гладкой класса .

.        Из непрерывности  следует [5, стр. 207, 243], что . Тогда из масштабирующего уравнения  вытекает: .

Если требовать  нулевых моментов функции , то функция  имеет специальный вид

,                                                                    (1.29)

где  - тригонометрический полином.

Кроме того, коэффициенты  фильтра вейвлета  обладает свойствами:

,

, .

Поскольку  восстанавливается по функции  по формуле

,                                                                   (1.30)

то построение ортонормированных вейвлетов начнем с нахождения соответствующей функции . Такая функция должна удовлетворять отношению

.                                                                   (1.31)

Замечание 1. Имеются общие условия Коэна и Лоутона на тригонометрический полином , обеспечивающие восстановление вейвлетов  и , порождающих ортогональный кратномасштабный анализ [5, стр. 253,259,263].

.4.1 Частотная функция

Найдем функцию  в виде , удовлетворяющую . Будем искать сначала функцию , удовлетворяющую соотношению

.                                                                       (1.32)

Имеем:

,

где  - также тригонометрический полином по . Действительно, тригонометрический полином  по степеням  имеет вещественный коэффициенты, поэтому , и тогда  - четная -периодическая функция, следовательно, полином по . Поскольку , то его можно записать как полином . Тогда