Материал: Применение вейвлет-преобразований

где ряд (1.15) сходится в, а именно

.

Простейшим примером ортогонального вейвлета является функция Хаара , определённая формулой

.                                                             (1.16)

Ряды, представляющие функции  в (1.15), называются вейвлет-рядами. Аналогично обозначению коэффициентов Фурье в (1.2) вейвлет коэффициенты  определяются формулой

.                                                                                   (1.17)

Если определить интегральное преобразование  в  как

, ,                                    (1.18)

то вейвлет-коэффициенты (1.15) и (1.17) принимают вид

                                                                          (1.19)

Линейное преобразование  называется интегральным вейвлет-преобразованием относительно «базисного вейвлета».

Следовательно,  - вейвлет коэффициент функции  определяется интегральным вейвлет-преобразованием , вычисленным в точке двухпараметрического сдвига  с двоичным растяжением , где тот же ортогональный вейвлет  используется для порождения вейвлет ряда (1.15) и для определения интегрального вейвлет-преобразования (1.18).

Преобразование Фурье представляет собой важную составляющую анализа Фурье. Если две составляющие анализа Фурье, явно не связаны друг с другом, две составляющие вейвлет-анализа: вейвлет ряд (1.15) и интегральное преобразование (1.18), тесно связаны друг с другом, как это показано формулой (1.19).

.2 Вейвлеты Хаара

Для того чтобы функции  образовывали хороший базис, желательно, чтобы они обладали следующими свойствами: имели компактный носитель; «присутствовали» бы в любой точке пространства; могли отражать быстрые колебания функции. Более формально, от семейства  требуется следующие свойства:

. Компактный носитель каждой функции .

. Для любой точки  существует функция семейства , носитель которого содержит точку .

. Среди функций семейства  имеются такие, которые имеют сколь угодно большую частоту колебаний.

Первое свойство, в частности обеспечивает существование интегралов, которые необходимы для вычисления коэффициентов разложения.

Второе свойство будет выполнено, если потребовать, чтобы наряду с функциями  в базис входили бы и их сдвиги по оси , то есть функции вида , для любых целочисленных .

Третье свойство будет выполнено, если наряду с функциями  в базис будут входить их сжатия и растяжения, например функции вида , для любых целочисленных .

Если базис в  порождался одной функцией  при помощи сдвигов и растяжений, то есть он состоял из функций вида .

Существует две функции (всплески)  и , сдвиги и растяжения  первой функции  порождают расширяющуюся последовательность подпространств , а вторая функция порождает базис  пространства . Кроме того, эти функции обладают еще дополнительными свойствами, которые существенно облегчают вычисленные коэффициенты разложения. Пример подобного базиса известен сначала прошлого столетия - это базис Хаара. Однако теория таких функций и базисов всплесков значительно развита позже.

Построим в пространстве  ортонормированный базис Хаара. Он определяется на основе функции прямоугольной волны

.

Процедуру построения базиса Хаара проведем в несколько этапов. Сначала определим возрастающую последовательность подпространств . На основе этой последовательности будут естественным образом введены вейвлет пространства и сами вейвлеты Хаара.

.2.1 Масштабирующая последовательность подпространств

Рассмотрим систему функций, полученную из  целочисленными сдвигами:

, .                                                                   (1.20)

Обозначим  - пространство в , порожденное линейными комбинациями таких сдвигов ( - замыкание линейной оболочки системы ). Эта система, , образует ортонормированный базис пространства .

Рассмотрим масштабированные сдвиги . Они получаются из  сдвигами на : .

Носитель функции стал в два раза меньше:

.

Поэтому

.

Если умножить такие функции на , тогда все они будут единичной нормы.

Рассмотрим систему функций

,                                                                 (1.21)

и пространство , порожденное ими. Система  образует ортонормированный базис пространства .

Пространство  состоит из кусочно-постоянных функций с промежутками постоянства длины , это линейные комбинации функций . По построению пространство  является масштабированной версией пространства , другими словами, . Отсюда следует, что . Действительно, порождающая функция  пространства  выражается в виде линейной комбинации элементов пространства :

.

Поскольку  и , то

,

где ненулевые  только такие: .

Далее рассмотрим пространство , порожденное функциями:

, ,

полученными из функции  сдвигами на  по оси . Носитель, , есть отрезок длины . Система  образует ортонормированный базис пространства , где .

Продолжая эту процедуру, для любого  рассмотрим систему функций:

.                                                                      (1.22)

Это ортонормированная система функций, , все функции системы получаются из  сдвигами на  по оси . Пусть  - пространство, порожденное системой функций . Имеет место следующее включение:

.

Продолжим этот процесс до бесконечности. Тогда мы получим бесконечную систему вложенных подпространств :

.

В каждом пространстве  выделен ортонормированный базис ,  являются кусочно-постоянными функциями. Поскольку последние образуют плотное множество, то , где черта сверху обозначает замыкание.

Аналогичным образом можно ввести пространства  с отрицательным . Тогда получаем систему вложенных подпространств, бесконечную в обе стороны:

.

Отсюда вытекает, что:

 и .

.2.2 Пространства вейвлетов

Каждое из введенных выше подпространств  имеет свой базис, состоящий из функций . При этом базис следующего пространства  не получается из базиса пространства  добавлением новых элементов. Поэтому пока нельзя из этих базисов пространств  получить базис всего пространства. Однако этого можно было бы достигнуть, если бы базис следующего пространства получался бы из базиса предыдущего пространства добавлением новых элементов.

Рассмотрим для простоты пространства  и . Поскольку есть замкнутое подпространство , то существует ортогональное дополнение к  в пространстве , обозначим его . Тогда имеем ортогональное разложение пространства : .

Поэтому к базису пространства  можно добавить базис дополнительного пространства  и в результате получить базис более широкого подпространства . Для того чтобы реализовать эту процедуру, выясним, из каких функций состоит .

Пусть функция . Поскольку , тогда  раскладывается по базису  пространства : . Поскольку , то для любого  имеем: . Пространство  входит в , следовательно, функции  также раскладывается по базису  пространства . Коэффициенты этого разложения были ранее найдены,