Материал: Применение вейвлет-преобразований

,

где .

Итак, ищем функцию  вида

,                                                         (1.33)

удовлетворяющую условию . Обозначим . Тогда из двух последних соотношений и из  получаем

.                                                               (1.34)

Это равенство выполняется для любого , следовательно, и для любого . Для нахождения  из соотношения  воспользуемся следующим фактом.

Лемма 1 (Безу). Если  и  - полиномы степеней  и  без общих, нулей, то существует единственные полиномы  и  степени ,  такие что

.

Используем лемму для многочленов . Тогда существуют единственные полиномы  и  степени меньше , такие что

.

Сделаем замену . Тогда . Из единственности многочленов  и  получаем . Тогда

.                                                             (1.35)

Поскольку искомое выражение для есть . Найдем  в явном виде из :

.

Раскладываем первый сомножитель в ряд Тейлора:

,

где  - биномиальные коэффициенты. Тогда

,

поскольку степень  не превосходит . Итак, искомое решение  уравнения  степени  имеет вид

          (1.36)

Замечание 1. Мы получили единственное решение  минимальной степени . Существуют другие решения более высокой степени. Если  - решение более высокой степени, то разность  - это решение однородного уравнения

.                              (1.37)

Поскольку сомножитель  не делится на , то  делится на , следовательно, . Подставляя это выражение в уравнение , получаем единственное условие на многочлен :

.

Последнее условие означает анитисимметричность относительно , что в свою очередь означает, что  является многочленом, содержащим нечетные степени переменной . Тогда решением уравнения  является

,                                                          (1.38)

где  - нечетный многочлен.

Вывод. Функция  удовлетворяет соотношению  тогда и только тогда, когда функция  является тригонометрическим полиномом вида

где  - многочлен вида (1.36) или (1.38), в котором  подобран так, что  на отрезке .

Для нахождения  нужно «извлечь квадратный корень» из уравнения . Это позволяет следующее.

Лемма Рисса. Пусть  - неотрицательный тригонометрический полином вида

.

Тогда существует тригонометрический полином  вида

,

такой что .

Замечание 2. Многочлен  находится по многочлену  неоднозначно, например можно умножить  на , где  - любое целое. Другие возможности выбора вытекают из неоднозначности выбора первого корня  из четверки корней .

Замечание 3. Для каждой четверки комплексных корней  выбираем пару  или , такую что оба корня лежат либо внутри, либо снаружи единичного круга на комплексной плоскости.

Хотя существуют шесть способов выбора двух корней из четырех, легко видеть, что другие комбинации двух корней не будут давать разложения на множители с действительными коэффициентами. Из каждой пары  действительных корней выбираем одну любую внутри или снаружи единичного круга. Среди корней на единичном круге выбираем один корень из пары вырожденных корней.

Замечание 4. В нашем случае ортогонального вейвлета  с компактным носителем частотная функция  является тригонометрическим полиномом, удовлетворяющим соотношению . Если требовать  нулевых моментов функции , то функция  имеет специальный вид

,

где  - такой тригонометрический полином. Полагаем

, тогда

где многочлен  (минимальной) степени  определяется формулой

.

Функция  находится спектральной факторизацией многочлена

 с учетом того, что

где . Тогда  задается в виде:

,

где  пробегает индексы всех выбранных корней.

Пример вейвлета Добеши db2. Вейвлет-функция  строится по формуле . Она называется вейвлетом Добеши и обозначается символом «db2». Ее график показан на рис. 1.4.

Рис. 1.4 Вейвлет Добеши(db2)

1.4.2 Симлеты

При нахождении частотной функции  ортогонального вейвлета  с компактным носителем используется процедура спектральной факторизации, «извлечения квадратного корня» из . Как уже отмечалось,  находится по многочлену  неоднозначно, например можно множить  на , где  - любое число. Имеется также произвол в выборе половины корней многочлена . Эти различные выборы корней приводят к различным фазам функции  и, в свою очередь, к различным коэффициентам фильтра и вейвлетам, все из которых удовлетворяют условию ортогональности и условию нулевых моментов. В случае вейвлетов Добеши нули находятся внутри единичной окружности.

Для практических целей (например, в обработке изображений) необходимо иметь фильтры с некоторыми свойствами симметрии. Легко видеть, что если действительный фильтр  является симметричным относительно центрального коэффициента, т.е. , то

.

Если действительный фильтр  является антисимметричным относительно центрального коэффициента, т.е. , то

.

В обоих случаях частотна функция  имеет фазу, которая является линейной по , . Такие фильтры называются фильтрами с линейной фазой, потому что фаза его передаточной функции линейна по .

Кроме системы Хаара, никакая система функций  и  не может одновременно иметь компактный носитель и быть симметричной. Однако попробовать приблизиться, насколько возможно, к симметрии. Для симметричных вейвлетов фаза частотной функции  нулевая. Поэтому можно потребовать, чтобы фаза  была минимальной среди всех  с тем же самым значением . Это требование определяет некоторый выбор тригонометрического полинома . Такие вейвлеты, полученные из вейвлетов Добеши называются симлетами.

Идея построения симлетов состоит в том, чтобы, выбирая нули, получить наименее асимметрический вейвлет. Для этого нужно вычислять фазу функции  в зависимости от выбора корней.

Если игнорировать линейную фазу, то фаза может быть вычислена следующим образом. Поскольку  является произведением сомножителей вида  или , полная фаза есть сумма фазовых вкладов каждого сомножителя. Для коэффициента вида

где  и , имеем

,

и соответствующая фаза, игнорируя линейный вклад, имеет вид

.

Аналогично для коэффициентов вида , где  является действительным, имеем