Материал: Применение вейвлет-преобразований

Пусть  и  - соответственно прямое и обратное преобразования Фурье и вейвлет-преобразования. .

,

, . Применяя вейвлет-преобразование

в виде  к уравнению (2.1), при условии

, получим .

Для близкого уравнения ,

, тогда , а решение исходного уравнения (2.1), при обеспечении оценки , запишется в виде  с соответствующей оценкой погрешности. Можно построить итерационные алгоритмы:

.

Для операторов типа свертки такие алгоритмы являются псевдоитерационными (в отсутствии нелинейных операций -е приближение строится по  и правой части в результате решения разностного уравнения).

В программной реализации схемы используются быстрые вейвлет-преобразования.

Для получения решения  можно использовать схему Галеркина, согласно которой решение ищется в виде разложения , откуда

.

Используя некоторый базис, получим систему линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов . В этом случае искомая функция  ищется в виде масштабирующих функций и вейвлетов

,

где . Процедура решения сводится к вычислению сверток  и  и решения соответствующей системы линейных алгебраических уравнений. Заранее подобранный набор модельных (близких) уравнений и расчет соответствующих коэффициентов позволяют эффективно решать широкий класс исходных уравнений.

2.3 Метод Бубнова-Галеркина для решения интегральных уравнений

Зафиксируем некоторую константу . Пусть . Обозначим через  совокупность всех определенных на квадрате  функций каждая из, которых  раз непрерывно дифференцируема, причем при  для всех ее производных - го порядка  справедливы оценки

.                                                                           (2.2)

Определение 2.1. Функцию  будем называть асимптотически - гладкой функцией, если  при некотором .

Замечание. Параметр  играет роль регуляризирующего параметра, предназначенного для сглаживания особенности при .

Пусть - асимптотически m-гладкая функция. Рассмотрим интегральное уравнение Фредгольма второго рода

                                                                           (2.3)

с заданной функцией  и неизвестной функцией . Сложности численного решения уравнений такого вида (особенно многомерных) традиционными численными методами связаны с тем, что матрицы, получающиеся при их дискретизации, оказываются заполненными, т.е. состоящими из ненулевых элементов.

Рассмотрим для (2.3) метод Бубнова-Галеркина на базе построенных вейвлет-функций степени . Зафиксируем некоторое натуральное , и будем искать решение(2.3) в виде

.           (2.4)

Из условий

,

, .                                                    (2.5)

Совокупность условий (2.5) представляет собой систему линейных алгебраических уравнений с квадратной матрицей порядка , элементы которой имеют вид

       (2.6)

Для классических систем функций в методе Галеркина числа (2.6) оказываются, в основном, ненулевыми и недостаточно малыми, чтобы ими можно было пренебречь и рассматривать СЛАУ (2.5) как разреженную. В случае вейвлет большинство элементов матрицы СЛАУ малы по абсолютной величине.

Теорема 2.1. Найдется такая константа , не зависящая от , что при  справедливы оценки

                                         (2.7)

а при

                                     (2.8)

Точно такие же оценки справедливы при замене  на  или  на .

Доказательство. В дальнейшем константы, не зависящие от  (возможно различные), будем обозначать одним символом . Рассмотрим функцию . Пусть . В силу аппроксимационных свойств пространств сплайнов, финитности  и оценок (2.2) найдется такая функция , что

Но ортогональна , поэтому

          (2.9)

Отсюда

и оценка (2.7) установлена. Оценка (2.8) устанавливается аналогично. Теорема доказана.

Из теоремы следует, что матрица системы (2.5) является псевдоразреженной, т.е. в ней очень много малых по модулю элементов. Учитывая, что СЛАУ для интегральных уравнений Фредгольма второго рода хорошо обусловлены, пренебрегая этими малыми элементами, получим хорошую разреженную аппроксимацию этой матрицы, для которой можно применять алгоритмы для разреженных систем (2.4).

.4. Тестовый пример

Рассмотрим решение интегральных уравнений (2.3) с помощью метода Галеркина, где

Точное решение этой задачи имеет вид . Матрица  СЛАУ (2.5) заменялась разреженной аппроксимацией , элементы  определяются формулами

и решалась СЛАУ с матрицей . Результаты счета сведены в три таблицы для вейвлет первой, второй и третьей степени соответственно. В каждой из клеток таблиц 2.1-2.3 содержатся два числа, первое из которых - отношение числа ненулевых элементов матрицы  к числу всех элементов матрицы, характеризует разреженность матрицы, а второе - погрешность приближенного решения в максимум-норме, характеризует близость матриц  и . В каждой таблице по вертикали указана величина барьера , а по горизонтали- число узлов самого мелкого разбиения отрезка .

Таблица 2.1

Таблица 2.2

Таблица 2.3

3. Вейвлеты в системе MATLAB

.1 Вейвлеты пакета wavelet toolbox

В пакете wavelet toolbox принята классификация вейвлетов - по виду образующей функции  и по фамилии ученого, предложившего вейвлет. Ниже приводится список семейств вейвлетов пакета и их краткие базовые имена при использовании в командах и аргументах функций.

'haar' - Хаара.

'db' - Добеши.

'sym' - Симлета.

'coif' - Коифлетса.

'bior' - биортогональный.

'rbio' - обратный биортогональный.

'meyr' - Мейера.

'dmey' - дискретный Мейера.

'gaus' - Гаусса.

'mexh' - мексиканская шляпа.

'morl' - Морлета.

'cgau' - комплексный Гаусса.

'shan' - Шеннона.

'fbsp' - частотный В-сплайновый.

'cmor' - комплексный Морлета.

Семейства вейвлетов, как правило, имеет несколько типов (размера/порядка), которые указываются добавлением к базовому имени определенного числа (чисел), например:db1, 'gaus3', 'bior2.6', 'fbsp2-1-0.5'. Команды вызова информации по вейвлетам:

- >> wavemngr('read') - названия и краткие базовые имена,

>> wavemngr('read',1) - полный перечень всех семейств и их состава,

>> waveinfo('семейство') - полная информация о вейвлетах семейства.

Пример - waveinfo('gaus').

Команда (функция) wavemngr позволяет добавлять (с параметром 'add'), удалять, сохранять и считывать новые (собственные) вейвлеты. Форматы команды:

>> wavemngr(['add',]FN,FSN,WT,NUMS,FILE[,B]),

- >> wavemngr(['add',]FN,FSN,WT,{NUMS,TYPNUMS},FILE[,B]),

где FN - название семейства, FSN - короткое имя семейства, WT - тип вейвлета, NUMS - список параметров вейвлета (разделяются пробелами, конечный с двумя звездочками **), TYPNUMS - формат входного значения ('integer', 'real' или 'string'), FILE - имя mat или m-файла, B - вектор нижней и верхней границы эффективной поддержки вейвлетов (квадратные скобки в перечнях параметров команд указывают на возможность отсутствия или на необязательность данных параметров). Значения параметра WT могут быть следующие: WT=1 для ортогонального вейвлета, WT=2 для биортогонального, WT=3 для вейвлета с масштабирующей функцией, WT-4 без масштабирующей функции, WT=5 для комплексного вейвлета без масштабирующей функции. После добавления семейства в пакет он включается в список информационных команд.

Пример задания функции

wavemngr('add','Mainwave','mnw',1,'1 2 3','mainw1')

Вейвлетная функция wavefun возвращает значения детализирующей psi-функции  и связанной с ней масштабирующей phi-функции  (функции аппроксимации), если последняя существует. Полный формат (для биортогональных вейвлетов) на сетке :

[Phi1,Psi1,Phi2,Psi2,X]=wavefun('wname',ITER).

Количество точек сетки  равно 2ITER. Phi1,Psi1 - векторы функций  и  разложения (декомпозиции) сигналов (в однострочных массивах), Phi2,Psi2 - векторы функций  и  восстановления (реконструкции) сигналов. Для ортогональных вейвлетов выходные массивы Phi2 и Psi2 не задаются. Для вейвлетов без масштабирующих функций не задается также массив Phi1. Если массив Х значений оси 'х' не нужен, он также может не задаваться. При расчетах аналитически задаваемых вейвлетов (типа 'gaus') параметр ITER определяет размер сетки  и, соответственно, интервал дискретизации вейвлета с учетом конечности его задания.