Материал: Применение вейвлет-преобразований

Вначале построим базис в ортогональном дополнении  пространства  до пространства . Зафиксируем . В случае необходимости будем считать, что каждое из разбиений  продолжено с тем же шагом на всю числовую ось узлами . Нормализованные -сплайны на разбиении  будем обозначать .

Зафиксируем некоторое целое  такое, что , т.е. отрезок  целиком содержится в . Будем искать функцию в виде

                                                                     (1.70)

Для того чтобы , достаточно потребовать выполнения условий

      (1.71)

поскольку остальные условия ортогональности выполняются автоматически в силу дизъюнктности носителей.

Подставляя представление (1.70) в (1.71), получим однородную систему  уравнений с  неизвестными,

,                            (1.72)

которая всегда имеет нетривиальное решение. Находя это нетривиальное решение, получаем искомый набор коэффициентов и функцию  в виде (1.70).

Из представления (1.70) и определения -сплайнов вытекает, что,  т.е. содержит  смежных частичных отрезка. Теорема приведенная ниже показывает, что нельзя построить вейвлет с меньшой длиной носителя.

Теорема 1.2. Пусть , и функция  вида

                                                                        (1.73)

удовлетворяет условиям

.                                    (1.74)

Тогда .

Следствие 1. Совокупность функций  линейно независима на каждом отрезке (т.е. линейно независимы их сужения на каждый такой отрезок).

Справедлива формула  т.е. совокупность построенных вейвлет-функций получается сдвигом одной единственной функции . Таким образом, построена совокупность полуортогональных линейно независимых вейвлетов . Однако размерность ортогонального дополнения  равна , т.е. до базиса в  нам не хватает ровно  функций. Построим недостающие вейвлет-функции. Для этого рассмотрим функции  при  на расширенном разбиении . Первую группу из  недостающих вейвлет будем искать в виде:

                                      (1.75)

                                             (1.76)

где скалярное произведение понимается в смысле .

Подставляя (1.75) в (1.76), получим систему линейных алгебраических уравнений

                                             (1.77)

                                                                  (1.78)

для определения . Матрица системы (1.77) невырождена, так как в противном случае существовало бы нетривиальное решение соответствующей однородной системы, что означало бы, что функция  является вейвлет-функцией на  с носителем , что невозможно в силу формулы . Решая систему (1.78), получаем, что функция (1.75) является искомой вейвлет-функцией, так как ортогональность к -сплайнам  при  имеет место в силу ортогональности им всех вейвлет из линейной комбинации (1.75), а при  - в силу условий (1.76). Тем самым построили совокупность  вейвлет-функций (1.75). Их линейная независимость с ранее построенными функциями вытекает из вида (1.75) и следствия из теоремы 1.2. Вторую группу из  недостающих вейвлет будем искать в виде

,                  (1.79)

из условий

                                                 (1.80)

где скалярное произведение понимается в смысле .

Подставляя (1.79) в (1.80), получим систему линейных алгебраических уравнений

                   (1.81)

определения . Решая систему (1.81), получаем, что функция (1.79) является искомой вейвлет-функцией. Тем самым мы построили совокупность  вейвлет-функций (1.79). Вместе с функциями (1.70) и (1.75) они образуют искомый базис в , если .

В качестве базиса в  выберем совокупность "усеченных" B-сплайнов

.                                                                   (1.82)

Итак, совокупность функций (1.82) и (1.81), (1.75), (1.79) при  образует искомый вейвлет-базис в пространстве .

Для функций (1.79) и (1.82) при  в силу симметрии справедлива формула

.

фурье вейвлет wavelet toolbox

2. Применение вейвлет-преобразований для решения интегральных уравнений

.1. Дискретное и непрерывное вейвлет-преобразование

Вейвлет-преобразования (или дискретные волновые преобразования) применятся, главным образом, для анализа нестационарных сигналов и для многих задач подобного рода оказывается более эффективным, чем преобразование Фурье.

Преобразование Фурье раскладывает сигнал на составляющие в виде синусов и косинусов, т.е. функций, локализованных в Фурье-пространстве; напротив, вейвлет-преобразование может быть выражено интегральным преобразованием (1.40), где символ отрицания означает комплексную сопряженность и  - некоторая функция. Функция может быть выбрана произвольно, но она должна удовлетворять определенным правилам.

Как видно, вейвлет-преобразование на самом деле является бесконечным множеством различных преобразований в зависимости от оценочной функции, использованной для его расчёта. Можно использовать ортогональные вейвлеты для разработки дискретного вейвлет-преобразования и неортогональные вейвлеты для непрерывного. Эти два вида преобразования обладают следующими свойствами:

. Дискретное вейвлет-преобразование возвращает вектор данных той же длины, что и входной. Обычно, даже в этом векторе многие данные почти равны нулю. Это соответствует факту, что он раскладывается на набор вейвлетов (функций), которые ортогональны к их параллельному переносу и масштабированию. Следовательно, мы раскладываем подобный сигнал на то же самое или меньшое число коэффициентов вейвлет-спектр, что и количество точек данных сигнала. Подобный вейвлет-спектр применим для обработки и сжатия сигналов, например, поскольку мы не получаем здесь нет избыточной информации.

. Непрерывное вейвлет-преобразование, напротив, возвращает массив на одно измерение больше входных данных. Для одномерных данных мы получаем изображение плоскости время-частота. Можно легко проследить изменение частот сигнала в течении длительности сигнала и сравнить этот спектр со спектрами других сигналов. Поскольку здесь используется неортогональный набор вейвлетов, данные высоко коррелированны и обладают большой избыточностью. Это помогает видеть результат в более близком человеческому восприятию виде.

Дискретное вейвлет-преобразование

Дискретное вейвлет-преобразование (DWT) - реализация вейвлет-преобразования с использованием дискретного набора масштабов и переносов вейвлета, подчиняющихся некоторым определенным правилам. Другими словами, это преобразование раскладывает сигнал на взаимно ортогональный набор вейвлетов, что является основным отличием от непрерывного вейвлет-преобразования (CWT), или его реализация для дискретных временных рядов, иногда называемой непрерывным вейвлет-преобразованием дискретного времени (DT-CWT).

Как показано ранее, вейвлет может быть сконструирован из функций масштаба, которая описывает свойства его масштабируемости. Ограничение, что функция масштаба должна быть ортогональна к своим дискретным преобразованиям, подразумевает некоторые математические ограничения на них, которые везде упоминаются, т.е. уравнение гомотетии

где  - фактор масштаба (обычно выбираем как 2).

Более того, площадь под функцией должна быть нормализована и функция масштабирования должна быть ортогональна к своим численным переносам, т.е.

.

После введения некоторых дополнительных условий (поскольку вышеупомянутые ограничения не приводят к единственному решению) можно получить результат всех этих уравнений, т.е. конечный набор коэффициентов , которые определяют функцию масштабирования, а также вейвлет. Вейвлет получается из масштабирующей функции как , где  - чётное целое. Набор вейвлетов затем формирует ортогональный базис, который мы используем для разложения сигнала. Следует отметить, что обычно несколько коэффициентов  будут ненулевыми, что упрощает расчёты.

На рис. 2.1 показаны некоторые масштабирующие функции и вейвлеты. Наиболее известным семейством ортонормированных вейвлетов является семейство Добеши. Его вейвлеты обычно обозначаются числом ненулевых коэффициентов , таким образом, мы обычно говорим о вейвлетах Добеши 4, Добеши 6 (4 и 6 означает порядок вейвлета), и т.п. Грубо говоря, с увеличением числа коэффициентов вейвлет функции становятся более гладкими. Другой из упомянутых вейвлетов - простейший вейвлет Хаара, который использует прямоугольный импульс как масштабирующую функцию.

Функция масштабирования Хаара и вейвлет (слева) и их частотные составляющие (справа)

Функция масштабирования Добеши 4 и вейвлет (слева) и их частотные составляющие (справа)

Функция масштабирования Добеши 20 и вейвлет (слева) и их частотные составляющие (справа).Рис. 2.1

Основным отличием вейвлет-преобразования является разложение данных не по синусоидам (как для преобразования Фурье), а по другим функциям, называемым вейвлетобразующими. Вейвлетобразующие функции, в противоположность бесконечно осциллирующим синусоидам, локализованы в некоторой ограниченной области своего аргумента, а вдали от нее равны нулю или ничтожно малы. Пример такой функции, называемой "мексиканской шляпой", показан на рис. 2.2.

Рисунок 2.2 Сравнение синусоиды и вейвлетобразующей функции

2.2 Приближенное решение задач для уравнений типа свертки

Для задач, сводящихся к решению уравнению типа свертки (краевых задач для уравнений математической физики, экстремальных задач), хорошо разработана техника преобразований Фурье (непрерывных, дискретных, быстрых преобразований Фурье). Анализ Фурье, взвешенный анализ Фурье и вейвлет-анализ тесно связаны между собой, что позволяет переносить известные результаты для уравнений типа свертки, полученные с помощью преобразований Фурье, на язык вейвлет-анализа и получать эффективные алгоритмы на основе быстрого вейвлет-преобразования. Алгоритмы решения одного уравнения могут использоваться для решения другого близкого ему уравнения. Такая схема применима не только к задачам восстановления, но и к задаче распознавания, прогнозирования (вывода по аналогии) и другим задачам, если установлена соответствующая аналогия. Пусть исходное интегральное уравнение типа свертки имеет вид , а близкое к нему . С оператором

                                                      (2.1)

где ядро правая часть  - решение интегрального уравнения. Решения  и  близки в зависимости от близости операторов  и , а также оценки погрешности. В модельных (близких) уравнениях прежде всего учитываются особенности исходного уравнения, характер некорректности и т.п. Структура таких уравнений выбирается более простой, позволяющей получить точное решение  и хорошо приспособленной для разработки эффективных устойчивых алгоритмов. Эта схема переносится на широкий класс задач, в частности, на экстремальные задачи для уравнений типа свертки, экстремальные задачи для уравнений в частных производных (для аналитических функций).