Материал: Применение вейвлет-преобразований

, .

Унитарность достигается простым умножением на . Тогда оператор в пространстве , определенной формулой

,                                                                     (1.51)

является унитарным - он сохраняет скалярное произведение. Действительно,

Таким образом, каждому аффинному преобразованию  соответствует уникальный оператор в пространстве, определенный формулой (1.51). При этом соответствие  обладает свойством

.                                                                                     (1.52)

Из (1.52) следует еще два свойства.

.        Единичной матрице соответствует тождественное преобразование , .

.        Обратной матрице соответствует обратное преобразование , .

Такое соответствие  называется унитарным представлением аффинной группы  в пространстве , поскольку каждый элемент  представлен унитарным оператором  и это соответствие  является гомоморфизмом групп (то есть выполнено (1.52)).

,

где  - невырожденная матрица порядка  и . Однако размерность этой группы достаточно большая, она равна , поэтому полная аффинная группа  неудобна вследствие большой размерности. Рассмотрим подгруппы меньшей размерности, которые во многих случаях достаточны для непрерывного вейвлет-анализа. Наиболее простая группа, которая содержит растяжения и сдвиги  - это группа , состоящая из матриц вида

, где .                                          (1.53)

В этом случае левоинвариантный элемент объема и унитарное представление задаются формулами:

,

.

Непрерывное вейвлет-преобразование определяем по аналогии с одномерным случаем. Для функции  вводится семейство функций , зависящих от параметров группы :

.                                                  (1.54)

Формула непрерывного вейвлет-преобразования имеет вид:

.                                               (1.55)

где . В результате получилась функция на группе , .

Имеет место формула обратного непрерывного вейвлет-преобразования:

,                                                  (1.56)

при условии сферической симметричности функции , т.е. , и конечности следующего интеграла:

.                                                                       (1.57)

Вейвлет-преобразование с различными сжатиями по осям. Более сложная группа , которая содержит различные растяжения по каждой координате  и сдвиги на вектор . Она состоит из матриц вида

, где .                                      (1.58)

Очевидно, что эта группа  является прямым произведением  экземпляров аффинной группы, . В этом случае левоинвариантный элемент объема и унитарное представление задается формулами:

,

.

Действие этой группы - это действие группы  отдельно по каждой координате. Поэтому непрерывное вейвлет-преобразование определяем по аналогии с одномерным случаем. Для функции  вводим семейство функций , зависящих от  параметров группы :

.                                            (1.59)

Формула непрерывного вейвлет-преобразования:

,                               (1.60)

где .

Имеет место формула обратного непрерывного вейвлет-преобразования:

,                                                (1.61)

при условии конечности следующего интеграла:

,                                                                       (1.62)

где .

Вейвлет-преобразование с группой подобий. Группа подобий  в пространстве  состоит из переносов, растяжений и вращений. Элемент группы  можно представить в виде произведения:

,                                                                         (1.63)

где ,  - единичная матрица порядка ,  - ортогональная матрица порядка . Размерность группы  достаточно большая, она равна . Поэтому для простоты рассмотрим случай . Получится четырех-параметрическая группа, состоящая из матриц

.                                                       (1.64)

Обозначим  матрицу поворота на угол . Поскольку , то в комбинации  нет необходимости рассматривать отрицательное значение параметра . Поэтому в дальнейшем будем считать  положительным, . Левоинвариантный элемент объема унитарное представление задаются формулами:

,

.

Для функции  вводим семейство функций , зависящих от параметров группы :

,                                                                           (1.65)

где  и  - матрица поворота на угол . Найдем преобразование Фурье данного семейства функций, учитывая, что :

.     (1.66)

Непрерывное вейвлет-преобразование определяем по формуле:

,                            (1.67)

где .

Имеет место формула обратного непрерывного вейвлет-преобразования:

,                                          (1.68)

при условии конечности следующего интеграла:

.                                                (1.69)

.5.3 Примеры двумерных вейвлетов

Приведем несколько известных примеров из [8], там же описывается приложения двумерных вейвлетов к анализу изображений.

Двумерная «мексиканская шляпа». Это лапласиан функции Гаусса:

Можно рассмотреть также лапласианы более высокого порядка:

.

При увеличении  эти вейвлеты имеют все больше нулевых моментов и становятся все более чувствительными к сингулярным деталям сигнала. Сферически симметричный вейвлет «мексиканская шляпа» эффективнее для анализа точечных особенностей и неэффективен для выделения направленных элементов сигнала.

Градиентные вейвлеты получаются как частные производные функции Гаусса:

.

Разностные вейвлеты получается как разность двух положительных функций, в частности как разность некоторой функции  и ее сжатой версии. Если функция  есть гладкая неотрицательная функция  и все ее моменты первого порядка равны нулю, то функция , задаваемая соотношением

является вейвлетом, удовлетворяющим условию допустимости (1.69). Типичным примером служит так называемый DOG-вейвлет (Difference of Gaussians), когда в качестве  берется функция Гаусса:

.

Двумерный вейвлет Морле. Вейвлет, который не обладает сферической симметричностью, можно назвать направленным. Направленность вейвлета удобно задавать матрицей  в скалярном произведении, когда вместо  берется . Вейвлет Морле является простейшим направленным вейвлетом и может рассматриваться как прототип всех других направленных вейвлетов:

где параметр  является волновым вектором,  - матрица, определяющая анизотропию вейвлета. Например, в качестве такой матрицы можно взять . Хотя вейвлет Морле не удовлетворяет условию обратимости вейвлет-преобразования, но при больших значениях  значение  близко к нулю, что позволяет его практическое использование. Модуль вейвлета Морле является функцией Гаусса, вытянутой в направлении оси  (если ), и его фаза постоянна в направлении, ортогональном . Такии образом, вейвлет Морле обнаруживает резкие изменения сигнала в направлении, перпендикулярном .

1.6 Построение систем полуортогональных сплайновых вейвлет

В этом пункте строим полную систему сплайновых полуортогональных вейвлет на конечном отрезке.

Пусть  - произвольный отрезок, - натуральное число и - такое целое число, что . Рассмотрим семейство  разбиений отрезка  с постоянным шагом . На каждом из разбиений  рассмотрим пространство сплайнов . Тогда для каждого  пространство  можно представить в виде прямой суммы , где через  обозначено ортогональное дополнение пространства  до пространства. Искомый вейвлет-базис будем строить как объединение базиса в  и всех базисов в пространствах .