Материал: Применение вейвлет-преобразований

Применение вейвлет-преобразований

Введение

В данной дипломной работе рассматриваются основы теории вейвлетов, применение вейвлет-преобразований для решения интегральных уравнений, вейвлеты в системе MATLAB.

Вейвлет-анализ представляет собой линейное преобразование сигналов и отображаемых этими сигналами физических данных о процессах и физических свойствах природных сред и объектов. Базис собственных функций, по которому проводится вейвлетное разложение сигналов, обладает многими специальными свойствами и возможностями. Вейвлет функции базиса позволяют локализовать особенности анализируемых процессов, которые не могут быть выявлены с помощью традиционных преобразований Фурье и Лапласа.

Вейвлеты имеют возможность анализировать нестационарные сигналы с изменением компонентного содержания во времени или в пространстве.

Вейвлеты (wavelet - короткая волна) - это обобщенное название функций определенной формы, локализованных по оси аргументов (независимых переменных), инвариантных к сдвигу и линейных к операции масштабирования (сжатия/растяжения), имеющих вид коротких волновых пакетов с нулевым интегральным значением. Они создаются с помощью специальных базовых функций, которые определяют их вид и свойства. По локализации во временном и частотном представлении вейвлеты занимают промежуточное положение между гармоническими (синусоидальными) функциями, локализованными по частоте, и функцией Дирака, локализованной во времени. Впервые этот термин использовали Гроссман и Морле (A.Grossmann, J.Morlet) [16] при анализе свойств сейсмических и акустических сигналов.

Теория вейвлет-анализа дает удобный и эффективный инструмент для решения многих практических задач. Основная область применения вейвлет-преобразований - анализ и обработка сигналов и функций, нестационарных во времени или неоднородных в пространстве, когда результаты анализа должны содержать не только общую частотную характеристику сигнала (распределение энергии сигнала по частотным составляющим), но и сведения об определенных локальных координатах, на которых проявляют себя те или иные группы частотных составляющих, или на которых происходят быстрые изменения частотных составляющих сигнала. По сравнению с разложением сигналов на ряды Фурье, вейвлеты с гораздо более высокой точностью представляют локальные особенности сигналов, вплоть до разрывов 1-го рода (скачков). В отличие от преобразований Фурье, вейвлет-преобразование одномерных сигналов обеспечивает двумерную развертку, при этом частота и координата рассматриваются как независимые переменные, что дает возможность анализа сигналов сразу в двух пространствах.

Вейвлет представление сигналов на различных уровнях декомпозиции (разложения) заключается в разделении функций приближения к сигналу на две группы: аппроксимирующую - грубую, с достаточно медленной временной динамикой изменений, и детализирующую - с локальной и быстрой динамикой изменений на фоне плавной динамики, с последующим их дроблением и детализацией на других уровнях декомпозиции сигналов. Это возможно как во временной, так и в частотной областях представления сигналов вейвлет разложениями.

Структура дипломной работы

Работа состоит из введения, трех разделов, заключения и списка использованных источников. Дается краткая характеристика основных вопросов, которым посвящена дипломная работа, формулируется цель работы. Далее проводится краткий обзор разделов работы. В последующих разделах предлагаются необходимые определения, теоремы, формулы (раздел 1), применение вейвлет-преобразований для решения интегральных уравнений (раздел 2), вейвлеты в системе MATLAB (раздел 3) и заключение.

Цель работы

Детально изучить вейвлет-преобразования, а именно, применение вейвлет-преобразований для решения интегральных уравнений, изучить особенности системы MATLAB для исследования вейвлет-преобразований. Исследовать полученные решения интегральных уравнений с помощью системы MATLAB.

1. Основы теории вейвлетов

.1 От анализа Фурье к вейвлет-анализу

Обозначим через  множество всех измеримых функций , определенных на интервале  и таких, что

.

Считаем, что  является кусочно-непрерывными функциями. Всегда можно предположить, что функции из  периодически продолжаемы на всю вещественную ось , а именно:  для всех . Поэтому множество  называют пространством -периодических функций, интегрируемых с квадратом,  - векторное пространство. Любую  из  можно представить рядом Фурье

,                                                                       (1.1)

где константы , называемые коэффициентами Фурье, определяются формулой

.                                                                 (1.2)

Сходимость рядов в (1.1) в пространстве  означает, что

.

Имеются две явные особенности разложений и ряды Фурье (1.1). Первая особенность состоит в том, что  разлагается в бесконечную сумму взаимно ортогональных компонент , где ортогональность означает, что

 для всех                                                             (1.3)

со скалярным произведением (1.3), определенным формулой:

                                                                   (1.4)

где черта над функцией означает операцию комплексного сопряжения. Условие (1.3) является следствием факта, что

,                                                                      (1.5)

образует ортонормированный базис в .

Вторая особенность разложения в ряд Фурье (1.1) состоит в том, что ортонормированный базис  порождается растяжением единственной функции

                                                                                          (1.6)

так, что  для всех целых  (целочисленное растяжение).

То есть каждая -периодическая, интегрируемая с квадратом функция порождается «суперпозицией» целочисленных растяжений базисной функции .

Из свойств базиса  следует также, что разложение в ряд Фурье (1.1) удовлетворяет равенству Парсеваля

.                                                                      (1.7)

Пусть  обозначает пространство всех суммируемых с квадратом бесконечных последовательностей; другими словами,  тогда и только тогда, когда .

Пространству функций  и пространство последовательностей  изометричны друг другу. О разложениях в ряды Фурье (1.1) можно сказать, что каждая -периодическая интегрируемая с квадратом функция представляет собой -линейную комбинацию целочисленных растяжений базисной функции . Только одна базисная функция  требуется для порождения всех -периодических интегрируемых с квадратом функций. Для любого целого, большого по абсолютной величине  волна  имеет высокую частоту, а для малых по абсолютной величине значений  волна  имеет низкую частоту. Таким образом, каждая функция из  состоит из доли различных частот.

Далее рассмотрим пространство  измеримых функций , определенных на вещественной оси , удовлетворяющих неравенству

.

Два пространства функций  и  совершенно различны. В частности, каждая функция (ее локальное среднее значение) из  должна «затухать» до нуля при  стремящемся к , но синусоидальные (волны) функции  не принадлежат. В сущности, если нужно использовать «волны», порождающие, то эти волны должны были бы затухать до нуля при , и из всех практических соображений это затухание должно было бы быть очень быстрым. Так мы приходим к рассмотрению вейвлет-разложений, для порождения. Так же, как и в случае , где одна функция  порождает целое пространство, функция  порождает все. Но если вейвлет  имеет очень быстрое затухание, то как оно может покрыть всю существенную ось сдвигом  вдоль . Пусть  обозначает множество целых чисел:

.

Простейший способ для  покрыть все множество  состоит в рассмотрении всех целочисленных сдвигах , а именно , .

Затем, также как и в синусоидальном случае, можно рассматривать волны различных частот. Ради вычислительной эффективности используем для частотного разбиения целые степени 2. В результате рассматриваем малые волны

,                                                                            (1.8)

Заметим, что  получена из одной «вейвлет-функции» в результате двоичного растяжения (т.е. растяжения в  раз) и двухпараметрического сдвига (на ). «Вейвлет-функция» , двоичные растяжения и двухпараметрические сдвиги которых достаточны для представления любой функции из. Рассмотрим ортогональный базис, порожденный функцией .

                                                                          (1.9)

                                                                                   (1.10)

где . Заметим, что для любых  мы имеем

.

Следовательно, если функция  имеет единичную норму, то все функции , определенные формулой

,                                                          (1.11)

также имеют единичную норму, то есть

, .                                                                   (1.12)

Далее будем использовать символ Кронекера

,                                                                            (1.13)

определенный в .

Определение 1.1. Функция  называется ортогональным вейвлетом, если семейство , определенное формулой (1.11), является ортонормированным базисом в: это означает, что

,                                                                   (1.14)

и любая  может быть представлена как

,                                                                          (1.15)