Материал: Основы теории управления. Лопатин Р.С., Федорков Е.Д

4.7. Оценка качества регулирования по косвенным критериям

Полное представление о качестве ПП дает, естественно, сама кривая ПП . Однако, при синтезе систем необходимо иметь возможность судить об основных показателях качества ПП без их построения, по каким-либо косвенным признакам, которые определяются более просто, чем кривая , и, кроме того, позволяют связать показатели качества непосредственно со значениями параметров системы. Такие косвенные признаки разработаны и называются критериями качества ПП. При исследовании качества ПП они играют ту же роль, что и критерии устойчивости при исследовании устойчивости САУ.

Существует три группы критериев качества:

- Частотные

- Корневые

- Интегральные

Частотные критерии основаны на связи между параметрами переходного процесса с параметрами частотных характеристик системы.

Корневые критерии основаны на распределении нулей и полюсов передаточной функции замкнутой системы. На качество ПП влияет расположение всех корней, как полюсов (знаменатель), так и нулей (числитель). Наиболее разработаны методы по распределению полюсов, поэтому их целесообразно применять для систем с ПФ, не имеющими нулей.

, (4.8)

где - полином, имеющий n - корней (полюсов),

- коэффициент усиления замкнутой системы.

К числу корневых критериев относятся:

- Метод корневого годографа

- Диаграмма Вишнеградского

При интегральном критерии строятся определенные интегралы от координат системы, от их производных, а также комбинации координат и производных.

По величине этих интегралов можно судить о качестве ПП. Отметим, что прямой связи между интегральным критерием и непосредственной оценкой кривой ПП не обнаружено, но его можно употреблять как самостоятельный критерий. По нему лучшей является та система, у которой интегральная оценка меньше.

5. Анализ и синтез сау

В ТАУ можно выделить две характерные задачи:

- в заданной САУ найти и оценить переходные процессы - это задача анализа САУ;

- по заданным переходным процессам и основным показателям разработать САУ - это задача синтеза САУ.

Вторая задача сложнее в виду своей неоднозначности, многое определяется творческими способностями проектировщика. Поэтому обычно задачу синтеза САУ ставится ограниченно. Считается, что основная часть системы уже задана, что обычно имеет место. Требуется синтезировать корректирующие звенья, то есть выбрать их схему и параметры. При этом необходимо, чтобы в результате коррекции САУ обеспечивался требуемый запас устойчивости; точность управления в установившихся режимах и качество управления в динамических режимах.

Синтез системы.

Направленный расчет, имеющий конечной целью отыскание:

-  рациональной структуры системы и

- установление оптимальных величин параметров отдельных звеньев.

При множестве возможных решений, должен быть выбран критерий оптимизации - цена, точность, надежность, быстродействие, затраты энергии ...

При инженерном синтезе ставятся задачи:

- Достижение требуемой точности.

- Обеспечение приемлемого характера переходных процессов (задача демпфирования).

- Решение первой задачи заключено в выборе средств повышающих точность системы (усилительных, изодромных блоков; каналов КУ; не 1ОС), т.е. фактически вида регулирования.

- Решение второй задачи заключено в выборе оптимальных корректирующих средств.

5.1. Корневой метод синтеза

Метод позволяет получить приемлемые динамические качества, при заданной структуре САР и заданном значении коэффициента усиления (последний член характеристического уравнения).

Пусть имеется ХУ:

sⁿ+A₁s^n-1+...+A_n = 0. (5.1)

Сумма модулей вещественных частей всех корней равна коэффициенту A₁. При заданной его величине быстродействие будет максимальным, если вещественные части корней равны. Но это не достижимо - система будет не устойчивой. Например, для САР состоящей из 3-х апериодических звеньев выполнение условия эквивалентно равенству постоянных времени...

Реально всегда можно выделить 2 или 3 корня, с наименьшей по модулю вещественной частью, которые определяют вид переходного процесса. Положим их 2 и они комплексные. Перепишем ХУ:

(s^n-2+C₁s^n-3+...+C_n-3) (s²+B₁s+B₂) = 0. (5.2)

Достаточно рассматривать только 2-ой сомножитель, поскольку им определен вид переходного процесса:

- B₂ определяется значением K и должен иметь возможно большее значение.

- B₁ определяется суммой 2-х низкочастотных постоянных времени и связан с затуханием , следовательно должен быть выбран исходя из 2-х противоречивых требований быстродействия и устойчивости.

Оптимальное соотношение между B₁ и B₂ может быть получено из условия затухания за один период , выбор которого определяет отношение вещественной части корней к мнимой:

 =   = 2  / ln(1/(1-1/ )),   где: = - B₁/2;   = (B₂-B₁²/4)^1/2.

Если принять, что вид переходного процесса определяют три корня, то следует воспользоваться уравнением 3-ей степени:

(...) (s³+B₁s²+B₂s¹+B₃) = 0, (5.3)

которое нужно представить в виде:

(s+C₁₁) (s²+B₁₁s+B₂₂) = 0. (5.4)

Вещественные части корней будут равны ₁ =  _2,3 = - B₁/3. Требования к B₁₁ и B₂₂ уже сформулированы, а связи с (5.3) определены равенствами:

B₁=C₁₁+B₁₁,   B₂=B₂₂+B₁₁C₁₁,  B₃=C₁₁B₂₂. (5.5)

Выбор порядка уравнения для описания основной составляющей переходного процесса (2) или (3) зависит от структурной схемы САР.

5.2. Метод корневых годографов

Метод позволяет подобрать параметры системы по оценке их влияния на общую картину расположения корней замкнутой САР.

Если ПФ замкнутой САР:

, (5.6)  

где: m < n,

то полюсы и нули (корни) всегда можно вычислить и нанести на комплексную плоскость. Если менять один из параметров системы, (K, ..., T_i, ..., ), то изменения в ПФ (s) приведут к смещению корней - движению по траекториям, совокупность которых называется корневым годографом. Если менять один параметр, при дискретных значениях другого, то можно оптимально выбрать значения уже 2-х параметров, оценивая семейство корневых годографов. При выборе допустимо пользоваться любой из корневых оценок качества: , , .

Наиболее эффективен метод при выборе K. ПФ разомкнутой системы и ХУ запишем в виде:

, (5.7)

здесь s - не оператор Лапласа или дифференцирования, а любой из корней!!!

Если корни - полюсы и нули известны (q₁^o, q₂^o, ..., q_m^o; q₁^x, q₂^x, ..., q_n^x), то операторную часть ПФ - G₁(s) можно представить в виде:

, (5.8)

, (5.9)

  n>m.

Представим сомножители (s - q_i) векторами:

, (5.10)

Теперь вновь запишем ХУ:

, (5.11)

1. Если K=0, то корни ХУ совпадают с полюсами W(s), т.к. G(s) должна стремится к бесконечности.

2. Если K , то часть корней ХУ совпадают с нулями W(s), а часть уходит в бесконечность, т.к. G(s) как при совпадении s с нулями, так и при s . Наклон асимптот для уходящих в бесконечность корней можно рассчитать по формуле:

( +2i ) / (n-m),    (5.12)

где: i=1,2, ..., n-m.