Таблица 3

Частотные характеристики звеньев

В таблице указаны лишь характеристики некоторых основных типовых звеньев. Кроме того существуют интегро-дифференцирующие звенья и неминимально-фазовые звенья.

И нтегро-дифференцирующие звенья имеют передаточные функции вида:

, (3.5)

Где k-постоянный коэффициент

R(S) и Q(S) - полиномы от S первого или второго порядков.

К неминимально-фазовым звеньям относятся неустойчивые звенья, передаточные функции которые имеют хотя 6ы один положительный полюс. Неминимально-фазовыми являются также звенья, которые имеют бесконечное число полюсов в левой части комплексной плоскости. Эти звенья известны под названием звенья чистого запаздывания.

4. Устойчивость и качество сар

4.1. Основные условия устойчивости

Устойчивость - это свойство системы возвращаться в исходный или близкий к нему установившийся режим после всякого выхода из него в результате какого-либо воздействия.

Понятие устойчивости является важнейшей качественной оценкой динамических свойств САР. Устойчивость САР связана с характером её поведения после прекращения внешнего воздействия. Это поведение описывается свободной составляющей решенная дифференциального уравнения, которое описывает систему. Если свободная составляющая рабочего параметра объекта управления после прекращения внешнего воздействия стремится к нулю, то такая система является устойчивой. Другими словами - устойчивость системы это есть затухание ее переходных процессов.

Если свободная составляющая стремится к конечному значению или имеет вид гармонических колебаний с постоянной амплитудой, то система считается нейтральной. В том случае, если свободная состав­ляющая неограниченно возрастает или имеет вид гармонических колеба­ний с возрастающей амплитудой, то система считается неустойчивой.

Оценка устойчивости производится на основе результатов исследо­вания свободной составляющей, которая представляет собой решение однородного дифференциального уравнения при заданных начальных условиях:

, (4.1)

Решение уравнения (4.1) представляет собой сумму слагаемых, вид которых определяется значениями корней характеристического уравнения:

, (4.2)

Если система представлена в виде передаточной функции, то для анализа устойчивости используется ее собственный оператор (знаме­натель передаточной фикции).

Полученные корни характеристического уравнения могут быть представлены в виде точек на комплексной плоскости.

Для устойчивых систем необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения лежали слева от мнимой оси комплексной плоскости. Если хотя бы один вещественный корень или пара комплексных сопряженных корней находится справа от мнимый оси, то система является неустойчивой. Если имеется нулевой корень или пара чисто мнимых корней, то система считается нейтральной (находящейся на границе устойчивости и неустойчивости). Таким образом, мнимая ось комплексной плоскости является границей устойчивости.

С целью упрощения анализа устойчивости систем разработано ряд специальных методов, которые получили название критерии устойчи­вости. Критерии устойчивости делятся на две разновидности: алгебраические и частотные. Алгебраические критерии являются аналитическими, а частотные - графо-аналитическими. Критерии устойчивости позволяют также оценить влияние параметров системы на устой­чивость.

4.2. Критерии устойчивости линейных сау

- Алгебраические.

- Частотные.

Алгебраический критерий Гурвица (1895 г., Швейцария).

Наиболее распространен в технической практике алгебраический критерий Гурвица в форме определителей.

4.3. Алгебраический критерий устойчивости

Гурвица

Алгебраический критерий Гурвица находит широкое применение при анализе САР. Первоначально, из коэффициентов уравнения (4.1) составляется матрица главного определителя:

По диагонали матрицы от верхнего левого угла записываются по порядку все коэффициенты уравнения (4.1), начиная с а₁. Затем каждый столбец матрицы дополняется таким образом, чтобы вверх от диагонали индексы коэффициентов увеличивались, а вниз – уменьшались.

Для устойчивой системы необходимым и достаточным является то, чтобы при а₀>0 все диагональные определители были также положительными, т.е.

и т.д.

Система будет нейтральной в том случае, если _n=0 и все предыдущие определители положительны.

4.4. Частотный критерий устойчивости Михайлова

Критерий Михайлова предполагает построение годографа на комплексной плоскости. Для построения годографа из уравнения (4.1) путем подстановки S=j получают аналитическое выражение вектора D(j):

, (4.3)

Уравнение (4.3) является комплексным и может быть представлено в виде:

где

Построение годографа производится по уравнению вектора D(j) при изменении частою от 0 до .

Для случая устойчивости системы n-го порядка необходимо и достаточно, чтобы при  = 0 годограф начинался на вещественной положительной оси и обходил против часовой стрелки n квадран­тов, нигде не обращаясь в нуль.

Если годограф начинается в нулевой точке комплексной плоскости или проходит через эту точку при определенной частоте, то система считается нейтральной.

4.5. Частотный критерий устойчивости Найквиста

Данный критерий позволяет по амплитудно-фазовой частотной характеристике разомкнутой системы оценить устойчивость системы. АФЧХ может быть получена экспериментально или аналитически. Аналитическое построение АФЧХ производится обычными методами.

Для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы АФЧХ разомкнутой системы при изменении частоты от 0 до  не охватывала точку с координатами - I, j0. Если АФЧХ разомкнутой системы проходит через точку с координатами - I, j0, то система будет нейтральной.

Критерий Найквиста позволяет наглядно проследить влияние изменения параметров передаточной функции на устойчивость системы.

4.6. Оценки качества регулирования

Кроме устойчивости САР анализируются с точки зрения качества регулирования. В общем случае качество регулирования представляет собой совокупность точности в установившемся режиме и качества переходных процессов.

Оценки качества могут быть прямыми и косвенными. В свою очередь прямые и косвенные могут быть статическими и динамическими. Дина­мические оценки характеризуют переходной процесс, а статические - установившийся режим.

Прямые оценки определяются непосредственно по переходной характеристике по каналу управления или возмущения.

Рис. 23. Переходная характеристика

Если переходная характеристика представляет собой затухающие колебания, то система считается устойчивой. При этом допускается не более 2-3 колебаний. К основным прямым оценкам относятся сле­дующие: -регулирование, t_p- время регулирования,  - декремент затухания,  - частота колебаний, n - чис­ло колебаний, которое имеет переходная характеристика за время регулирования t_p, t_H - время нарастания переходного процесса, t_max - время достижения первого максимума.

Перерегулирование есть разность между максимальным значением h_max1 переходной характеристики и её установившимся значением, выраженная в процентах:

, (4.4)

В большинстве случаев требуется, чтобы перерегулирование не превышало 10 - 30%,

Время регулирования оценивает длительность переходного процес­са. Так как теоретически длительность переходного процесса идеальных систем равно , за время регулирования принимается тот интервал времени, по истечении которого отклонение переходной характеристики от установившегося значения не превышает некоторой заданной величины q. Значение q выбирают обычно равным 5%.

При заданных значениях  и t_p переходная характеристика не должна выходить из определенной области, которая называется областью допустимых отклонений.

В статическом режиме САР оценивается коэффициентом статизма (астатизма):

, (4.5)

где x - задание;

y_уст - установившееся значение рабочего параметра.

Рассмотренные выше оценки качества относятся к прямым. Вместе с тем существуют косвенные, среди которых наибольшее распространение получили интегральные оценки. Существует две разновидности интегральной оценки: линейная и квадратичная. Численно линейная интегральная оценка равна площади, ограниченной кривой ошибки иди разности Х - Y. Значение Y берется в пределах временного интервала от 0 до t_p. Линейная интегральная оценка определяется следующим выражением:

, (4.6)

Эта оценка может быть применена только при монотонных переход­ных процессах при отсутствии колебаний.

Квадратичная интегральная оценка применяется как при монотонных, так и при колебательных переходных процессах и определяется следующим соотношением:

, (4.7)

Недостаток квадратичной интегральной оценки заключается в том, что различные по характеру переходные процессы могут иметь одну и ту же величину оценки.

Все современные методы анализа качества переходного процесса регулирования можно разделить на две группы:

Прямые методы анализа – непосредственное решение дифференциальных уравнений системы и построение по нему графиков переходных процессов.

Косвенные методы:

- нахождение корней характеристического уравнения системы;

- интегральный метод;

- частотный метод ­(наиболее распространён).

Рассмотрим качество регулирования с двух точек зрения:

Точность работы системы в установившемся режиме (статический режим).

Динамические показатели системы (методы определения качества переходных процессов).