Материал: Основы теории управления. Лопатин Р.С., Федорков Е.Д

Поясним рисунок. Экстремальный регулятор (ЭР) ”отслеживает” некоторую характеристику ОУ .

Допустим система работает в точке 1. Подается пробный сигнал, так что система переходит в точку 2, следовательно получили первый шаг, ложный. УУ реверсируется и дает положительное приращение шага в точку 3. Регулятор снова делает пробный шаг назад, чтобы не пропустить экстремума в точке 4.

Все системы по своему математическому описанию делятся на два класса:

- линейные;

- нелинейные.

Линейных систем в природе нет, т.е. реально все существующие САУ нелинейны. Под линейными системами понимаются приближенные линейные математические модели реальных нелинейных систем. Большинство реальных систем можно свести к линейным, т.е. нелинейности в них являются несущественными (насыщение усилителей, петля гистерезиса и т.п.).

В тех случаях, когда нелинейности в САУ существенны и их нельзя линеаризовать, рассматриваются нелинейные модели, и применяются методы исследования нелинейной ТАУ.

В свою очередь линейные и нелинейные системы по принципу ОС делятся на три класса:

- Непрерывные системы. Это такие системы, в которых контур ОС работает (функционирует) непрерывно во времени.

- Релейные системы - более узкий класс систем, чем непрерывные. Это системы, где в контуре регулирования стоит релейный элемент (реле), т.е. контур обратной связи замыкается тогда, когда ошибка  a (a - зона нечувствительности реле - наперёд заданная величина) и размыкается, когда ошибка  b (отключение реле), где a > b. Отметим, что релейные системы существенно нелинейны и их нельзя заменять линейными математическими моделями. Для построения систем оптимальных по быстродействию (важный класс) в большинстве случаев используют системы с релейными элементами.

Дискретные системы. Это такие системы, в которых замыкание контура ОС происходит дискретно во времени. Кроме того, амплитуда входного сигнала может быть квантована по времени. Среди дискретных систем наибольшее применение получили импульсные системы регулирования и управления. Это такие системы, в которых происходит квантование ОС только по времени. Т.е. связи замыкаются с определенной, наперёд заданной частотой.

1.7. Примеры сау

Рис.17. Система стабилизации (статическая система)

u_з - напряжение задающего сигнала;

u_ос - напряжение обратной связи;

u_ - напряжение ошибки системы;

u_y - выходное напряжение усилителя (напряжение управления);

Тг - тахогенератор, измеритель скорости вращения двигателя (U_ос = k_Тг);

При изменении момента сопротивления (нагрузки) двигателя в такой системе, его скорость вращения в установившемся режиме должна оставаться постоянной.

Т.е. M - var,  - const (в определенном диапазоне изменения M, что обычно задаётся).

Ошибка системы: ( ).

Работа состоит в следующем: При M_с, , u_oc, u_, u_y ,  примерно до прежнего состояния.

В статических системах ошибка u_ в установившемся режиме не может быть равна нулю [3]. Т.е. эти системы характеризуются наличием статической ошибки, которая обычно задается при проектировании САУ и чем меньше эта ошибка, тем точнее осуществляется стабилизация выходной координаты системы.

Рис.18. Следящая система

П₁ - задающий потенциометр (угол задания _з);

В качестве измерителя угла поворота вала двигателя служит потенциометр П₂;

u_ – напряжение ошибки, пропорциональное углам рассогласования следящей системы

Принимаем, что при u_y  0   0, т.е. зона нечувствительности отсутствует, в реальных же системах при M_нагр  0   0 при u_y  a.

Работа системы: На П₁ задаем _з, появилось u_. и u_y, двигатель начал работать, приводя в движение через редуктор нагрузку, одновременно поворачивая движок потенциометра При достижении  = _з, u_ = 0 и u_y = 0 работа двигателя прекращается.

Таким образом, в следящих или астатических системах, статическая ошибка равна нулю.

2. Линейная теория автоматического управления

2.1. Классификация линейных систем

Линейные системы можно разделить на три подкласса:

- Системы с постоянными параметрами. Это такие системы, технические параметры которых (сопротивления, индуктивности, скорости вращения приводных двигателей и т.д.) остаются постоянными в течение времени работы САУ. Такие системы описываются линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами [8].

- Линейные системы с переменными во времени параметрами. Коэффициенты дифференциальных уравнений в этом случае являются известными функциями времени .

- Линейные системы с чистым запаздыванием. Если в САУ содержится элемент чистого запаздывания Рис.19,

где  - время чистого запаздывания. (Магнитофонная головка, магнитный усилитель быстродействующий).

Рис.19. Линейные системы

2.2. Линеаризация нелинейных функций

Как уже говорилось, в реальных системах обычно есть нелинейные элементы (кривые намагничивания, насыщения, гистерезис и т.п.), поэтому для перехода от реальной системы к идеализированной линейной необходимо произвести линеаризацию нелинейных характеристик системы.

В основе линеаризации нелинейностей лежит предположение о том, что в исследуемой САУ переменные изменяются так, что их отклонения от установившихся значений остаются всё время достаточно малыми.

Достаточная малость отклонений переменных в системах стабилизации и следящих системах обычно выполняется, т.к. этого требует сама идея работы замкнутой автоматической системы.

Линеаризация может быть осуществлена:

- графическим способом;

- аналитическим способом.

Если имеем графическую зависимость вход-выход нелинейного звена системы, например в виде рис.18.

Метод касательной. Установившийся режим соответствует точке Проведя касательную в этой точке, отрезок кривой можно заменить прямой. Из графика видно, что чем больше отклонение входной величины от установившегося состояния, тем больше ошибка линеаризации (требование к качеству).

Рис.20. Зависимость вход-выход нелинейного звена системы

, (2.1)

Метод секущей. Если необходимо провести линеаризацию в области , то используется метод секущей.

Рис.21. Метод секущей

3. Характеристики сар и типовых

ЗВЕНЬЕВ

3.1 Временные характеристики сар

Важнейшей характеристикой САР и её составных элементов являются переходные и импульсные переходные (импульсные) функции. Графическое представление переходных и импульсных функций называют временными характеристиками. Временные характеристики представляют процессы, происходящие в динамическом и статическом режимах. Переходной функцией h(t) называют функцию, описывающую сигнал на выходе при условии, что на вход подано единичное ступенчатое воздействие при нулевых начальных условиях. График переходной функции, представляющий собой зависимость функции h(t) от времени t, называют переходной характеристикой. В том случае, если амплитуда единичного ступенчатого воздействия отлична от единицы получают разновидность переходной характерис­тики, которая называется кривой разгона.

Импульсной дикцией или весовой функцией (t) называют функцию, описывающую реакцию на единичное импульсное воздействие при нулевых начальных условиях. График зависимости функции (t) от врмени называют импульсной переходной (импульсной характеристикой ).

Аналитическое определение переходных функций и характеристик основано на следующих положениях. Если задана передаточная функция системы или составной части W(S) и известен входной сигнал X(t), то выходной сигнал y(t) определяется следующим соотношением:

, (3.1)

Таким образом, изображение выходного сигнала представляет собой произведение передаточной функции на изобра­жение входного сигнала . Сигнал y(t) в явном виде получил после перехода от изображения к оригиналу y(t).

Для большинства случаев линейных систем и составных элементов разработаны таблицы, позволяющие производить переход от изображений к оригиналу и обратно.

Т ак как изображение единичного ступенчатого воздействия равно , то изображение переходной функции определяется соотношением:

, (3.2)

Следовательно, для нахождения переходной функции необходимо передаточную функцию разделить на S и выполнять переход от изображения к оригиналу.

Изображение единичного импульса равно 1. Тогда изображение импульсной функции определяется выражением:

, (3.3)

Таким образом, передаточная функция является изображением импульсной функции.

Так как , то между импульсной и переходной функциями существует следующая зависимость:

где , (2.2)

Если нелинейная функция задана (известна) в виде математического (аналитического) описания, например , где x₁ и x₂ - входные координаты и y допускает хотя бы одно дифференцирование по обеим координатам. Раскладываем эту функцию в ряд Тейлора в окрестности точки установившегося режима и при малых отклонениях и .

Уравнение представляет собой члены 1-го порядка ряда Тейлора нелинейной функции . Таким образом, исходную нелинейную зависимость двух переменных мы заменили линейной комбинацией отклонений от установившегося режима.