Материал: Основы математики. Учебный пособие

5.5. Применение дифференциала к приближенным вычислениям

Как уже известно, приращение функции в точке можно представить в виде , где при , или . Отбрасывая бесконечно малую более высокого порядка, чем , получаем приближенное равенство

, (5.3)

причем это равенство тем точнее, чем меньше .

Это равенство позволяет с большой точностью вычислить приближенно приращение любой дифференцируе­мой функции.

Дифференциал обычно находится значительно проще, чем прира­щение функции, поэтому формула (5.3) широко применяется в вычи­слительной практике.

Пример 5.3. Найти приближенное значение приращения функ­ции при и .

Решение: Применяем формулу (5.3): .

.

Итак, .

Посмотрим, какую погрешность допустили, вычислив дифферен­циал функции вместо ее приращения. Для этого найдем :

.

Абсолютная погрешность приближения равна

.

Подставляя в равенство (5.3) значения и , получим

или

(5.4)

Формула (5.4) используется для вычислений приближенных зна­чений функций.

Пример 5.4. Вычислить приближенно .

Решение: Рассмотрим функцию . По формуле (5.4) имеем:

,

т.е.

.

Так как , то при и получаем:

.

Можно показать, что абсолютная погрешность формулы (5.4) не превышает величины , где — наибольшее значение на сегменте .

Пример 5.5. Какой путь пройдет тело при свободном падении на Луне за 10,04 с от начала падения. Уравнение свободного падения тела , = 1,6 м/с².

Решение: Требуется найти . Воспользуемся приближенной формулой ( )

.

При с и с, , находим

(м).

Задача (для самостоятельного решения). Тело массой = 20 кг движется со скоростью = 10,02 м/с. Вычислить приближенно кинетическую энергию тела ( , (Дж)).

5.6. Дифференциалы высших порядков

Пусть дифференцируемая функция, а ее аргумент —независимая переменная. Тогда ее первый дифференциал есть также функция ; можно найти дифференциал этой функции.

Дифференциал от дифференциала функции называется ее вторым дифференциалом (или дифференциалом второго порядка) и обозначается или .

Итак, по определению . Найдем выражение второго, дифференциала функции .

Так как не зависит от , то при дифференцирования считаем постоянным:

,

т.е.

. (5.5)

Здесь обозначает .

Аналогично определяется и находится дифференциал третьего порядка:

.

И, вообще, дифференциал -го порядка есть дифференциал от дифференциала ( )-го порядка: .

Отсюда находим, что . В частности, при = 1, 2, 3 соответственно получаем:

, ,

т.е. производную функции можно рассматривать как отношение ее дифференциала соответствующего порядка к соответствующей степени дифференциала независимой переменной.

Отметим, что все приведенные выше формулы справедливы толь­ко, если — независимая переменная. Если же функцию , где — функция от какой-то другой независимой переменной, то дифференциалы второго и выше порядков не обладают свойством инвариантности формы и вычисляются по другим формулам. Покажем на примере дифференциала второго порядка.

Используя формулу дифференциала произведения , получаем:

,

т.е.

(5.6)

Сравнивая формулы (5.5) и (5.6), убеждаемся, что в случае сложной функции формула дифференциала второго порядка изменяется: появляется второе слагаемое .

Ясно, что если — независимая переменная, то

и формула (5.6) переходит в формулу (5.5).

Пример 5.6. Найти , если и — независимая пере­менная.

Решение: Так как , , то по формуле (5.5) имеем .

Пример 5.7. Найти , если и и — независимая переменная.

Решение: Используем формулу (5.6): так как

, , , ,

то

.

Другое решение: , . Следовательно, . Тогда по формуле (5.5)