Материал: Основы математики. Учебный пособие

6.2. Правила Лопиталя

Рассмотрим способ раскрытия неопределенностей вида и который основан на применении производных.

Теорема 6.4 (Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей вида ). Пусть функции и непрерывны и дифференци­руемы в окрестности точки и обращаются в нуль в этой точке: . Пусть в окрестности точки . Если существует предел , то .

Доказательство. Применим к функциям и теорему Коши для отрезка , лежащего в окрестности точки . Тогда , где лежит между и (рис. 6.4). Учитывая, что , получаем

.

При , величина с также стремится к ; перейдем в равен­стве (6.4) к пределу:

.

Так как , то . Поэтому .

Коротко полученную формулу читают так: предел отношения двух бесконечно малых равен пределу отношения их производных, если последний существует.

Замечания: 1. Теорема 6.4 верна и в случае, когда функции и не определены при , но и . Достаточно положить и .

2. Теорема 6.4 справедлива и в том случае, когда . Действительно, положив , получим

.

3. Если производные и удовлетворяют тем же условиям, что и функции и , теорему 6.4 можно применить еще раз:

и т. д.

Пример 6.2. Найти .

Решение: .

Пример 6.3. Найти .

Решение:

.

Теорема 6.4 дает возможность раскрывать неопределенность вида . Сформулируем без доказательства теорему о раскрытии неопределенности вида .

Теорема 6.5 (Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей ).

Пусть функции и непрерывны и дифференцируемы в окрест­ности точки (кроме, может быть, точки ), в этой окрестности , . Если существует предел , то

. (6.4)

Пример 6.4. Найти .

Решение:

2-й способ:

.

Раскрытие неопределенностей различных видов

Правило Лопиталя применяется для раскрытия неопределенностей вида и , которые называют основными. Неопределенности вида , , , , сводятся к двум основным видам путем тождественных преобразований.

1. Пусть , при . Тогда очевидны следую­щие преобразования:

.

Например:

.

2. Пусть , при . Тогда можно поступить так:

.

На практике бывает проще, например,

3. Пусть или и , или и , или и при . Для нахождения предела вида удобно сначала прологарифмировать выражение

.

Пример 6.5. Найти .

Решение: Имеем неопределенность вида . Логарифмируем выражение , получим: . Затем находим предел:

, т.е. . Отсюда , и .

Решение можно оформить короче, если воспользоваться «готовой» формулой

(использовано основное логарифмическое тождество: ).

Пример 6.6. Найти .

Решение:

Пример 6.7. Пусть

Найти . (Дополнительно: найти .)

Решение: При имеем

.

При по определению производной:

.

Делаем замену и применяем правило Лопиталя

.

Таким образом,

.