Материал: Основы математики. Учебный пособие

§ 7. Формула тейлора

В определении функции не говорится о том, при помощи

каких средств находятся значения по значениям . В тех случаях, когда функция является формулой вида , значения функции найти легко с помощью четырех арифметических действий. Но как найти значения, например, функций , при любых (допустимых) значениях аргумента?

Для того, чтобы вычислить значения данной функции , ее заменяют многочленом степени , значения которого всегда и легко вычисляемы. Обоснование возможности представлять функцию многочленом дает формула Тейлора.

7.1. Формула Тейлора для многочлена

Пусть функция есть многочлен степени :

.

Преобразуем этот многочлен также в многочлен степени относитель­но разности , где — произвольное число, т. е. представим , в виде

. (7.1)

Для нахождения коэффициентов продифференцируем раз равенство (7.1):

,

,

,

...................................................................................... .

Подставляя в полученные равенства и равенство (7.1), имеем:

, , , ,

...

т.е. , , , ,

...

.

Подставляя найденные значения в равенство (7.1), по­лучим разложение многочлена -й степени по степеням ( ):

. (7.2)

Формула (7.2) называется формулой Тейлора для многочлена степени .

Пример 7.1. Разложить многочлен по степеням .

Решение: Здесь , , , . Поэтому , , , . Следовательно,

,

т.е.

.

7.2. Формула Тейлора для произвольной функции

Рассмотрим функцию . Формула Тейлора позволяет, при определенных условиях, приближенно представить функцию в ви­де многочлена и дать оценку погрешности этого приближения.

Теорема 7.1. Если функция определена в некоторой окрест­ности точки и имеет в ней производные до ( )-го порядка включительно, то для любого из этой окрестности найдется точка такая, что справедлива формула

( , ). (7.3)

Формула (7.3) называется формулой Тейлора для функции . Эту формулу можно записать в виде ,

где

называется многочленом Тейлора, а

называется остаточным членом формулы Тейлора, записан­ным в форме Лагранжа. есть погрешность приближенного равенства . Таким образом, формула Тейлора дает воз­можность заменить функцию у = многочленом с соот­ветствующей степенью точности, равной значению остаточного члена .

При получаем частный случай формулы Тейлора — фор­мулу Маклорена:

. (7.4)

где находится между 0 и ( , ).

При формула Тейлора (7.3) имеет вид или , т.е. совпадает с формулой Лагранжа конечных приращений. Рассмотренная ранее формула для приближенных вычислений (см. «дифференциал функции») является частным случаем более точной формулы

.

Пример 7.2. Найти число с точностью до 0,001.

Решение: Запишем формулу Маклорена для функции . Находим производные этой функции: , , …, . Так как , , …, , то по формуле (7.4) имеем:

.

Положим :

.

Для нахождения с точностью 0,001 определим из условия, что остаточный член меньше 0,001. Так как , то .

Поэтому при имеем

.

Итак, получаем приближенное равенство

,

т.е. .

Приведем разложения по формуле Маклорена некоторых других элементарных функций:

,

,

,

Примерные варианты контрольных заданий по теме

«Дифференцирование функций»

Вариант 1

1. Вычислить производные

а) б) , -?

в) г)

2. Найти дифференциал

а) б)

Вариант 2

1. Вычислить производные

а) б) , -?

в) г)

2. Найти дифференциал

а) б)

Вариант 3

1. Вычислить производные

а) б) , -?