Материал: Основы математики. Учебный пособие

Скачать файл

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Решение: Дифференцируем уравнение по : . Отсюда . Далее имеем: , т.е. (так как ), следовательно,

4.4. Производные высших порядков от функций, заданных параметрически

Пусть функция задана параметрическими уравнениями

Как известно, первая производная находится по формуле

. (4.1)

Найдем вторую производную от функции заданной параметрически.

Из определения второй производной и равенства (4.1) следует, что

т.е.

. (4.2)

Аналогично получаем

, , …

Пример 4.3. Найти вторую производную функции

Решение: По формуле (4.1)

Тогда по формуле (23.2)

Заметим, что найти можно по преобразованной формуле (4.2):

запоминать которую вряд ли стоит.

§5. Дифференциал функции

5.1. Понятие дифференциала функции

Пусть функция имеет в точке отличную от нуля производную . Тогда, по теореме о связи функции, ее предела и бесконечно малой функции, можно записать , где при , или .

Таким образом, приращение функции представляет собой сумму двух слагаемых и , являющихся бесконечно малыми при . При этом первое слагаемое есть бесконечно малая функция одного порядка с , так как , а второе слагаемое есть бесконечно малая функция более высокого порядка, чем :

Поэтому первое слагаемое называют главной частью приращения функции .

Дифференциалом функции в точке называется главная часть ее приращения, равная произведению производной функции на приращение аргумента, и обозначается (или ):

. (5.1)

Дифференциал называют также дифференциалом первого порядка. Найдем дифференциал независимой переменной , т.е. дифференциал функции .

Так как , то, согласно формуле (5.1), имеем , т.е. дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной: .

Поэтому формулу (5.1) можно записать так:

, (5.2)

иными словами, дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал независимой переменной.

Из формулы (5.2) следует равенство . Теперь обозначение производной можно рассматривать как отношение дифференциалов и .

5.2. Геометрический смысл дифференциала функции

Выясним геометрический смысл дифференциала.

Для этого проведем к графику функции в точке касательную и рассмотрим ординату этой касательной для точки (см. рис. 5.1). На рисунке , . Из прямоугольного треугольника имеем:

, т.е. .

Но, согласно геометрическому смыслу производной, . Поэтому .

Рис. 5.1

Сравнивая полученный результат с формулой (5.1), получаем , т.е. дифференциал функции в точке равен приращению ординаты касательной к графику функции в этой точке, когда получит приращение .

В этом и состоит геометрический смысл дифференциала.

5.3. Основные теоремы о дифференциалах

Основные теоремы о дифференциалах легко получить, используя связь дифференциала и производной функции ( ) и соответствующие теоремы о производных.

Например, так как производная функции равна нулю, то дифференциал постоянной величины равен нулю: .

Теорема 5.1. Дифференциал суммы, произведения и частного двух дифференцируемых функций определяются следующими формулами:

Пример 5.1 . Найти дифференциал функции

Решение: По формуле находим

Пример 5.2. Найти дифференциал функции

Вычислить при , .

Решение:

Подставив и , получим

Доказательство. Докажем, например, вторую формулу. По определению дифференциала имеем:

Теорема 5.2. Дифференциал сложной функции равен произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на дифференциал этого промежуточного аргумента.

Доказательство. Пусть и две дифференцируемые функции, образующие сложную функцию . По теореме о производной сложной функции можно написать

Умножив обе части этого равенства на , получаем . Но и . Следовательно, последнее равенство можно переписать так:

Сравнивая формулы и , видим, что первый дифференциал функции определяется одной и той же формулой независимо от того, является ли ее аргумент независимой переменной или является функцией другого аргумента.

Это свойство дифференциала называют инвариантностью (неизменностью) формы первого дифференциала. Формула по внешнему виду совпадает с формулой , но между ними есть принципиальное отличие: в первой формуле — независимая переменная, следовательно, , во второй формуле есть функция от , поэтому, вообще говоря, .