Материал: Основы математики. Учебный пособие

Если функция задана уравнением , разрешенным относи­тельно , то функция задана в явном виде (явная функция).

Под неявным заданием функции понимают задание функции в виде уравнения , не разрешенного относительно . Всякую явно заданную функцию можно записать как неявно заданную уравнением , но не наоборот.

Не всегда легко, а иногда и невозможно разрешить уравнение относительно (например, или ).

Если неявная функция задана уравнением , то для нахо­ждения производной от по нет необходимости разрешать урав­нение относительно : достаточно продифференцировать это уравнение по , рассматривая при этом как функцию , и полученное затем уравнение разрешить относительно .

Производная неявной функции выражается через аргумент и функцию .

Пример 2.1. Найти производную функции , заданную уравне­нием .

Решение: Функция задана неявно. Дифференцируем по равен­ство . Из полученного соотношения

.

следует, что , т.е. .

§3. Логарифмическое дифференцирование

В ряде случаев для нахождения производной целесообразно задан­ную функцию сначала прологарифмировать. А затем результат продифференцировать. Такую операцию называют логарифмическим дифференцированием.

Пример 3.1. Найти производную функции

.

Решение: Можно найти с помощью правил и формул дифферен­цирования. Однако такой способ слишком громоздкий. Применим ло­гарифмическое дифференцирование. Логарифмируем функцию:

.

Дифференцируем это равенство по :

.

Выражаем :

,

т.е.

.

Существуют функции, производные которых находят лишь логарифмическим дифференцированием. К их числу относится так на­зываемая степенно-показательная функция , где и – заданные дифференцируемые функции от . Найдем про­изводную этой функции:

, ,

,

т.е.

,

или

. (3.1)

Сформулируем правило запоминания формулы (3.1): производ­ная степенно-показательной функции равна сумме производной пока­зательной функции, при условии = const, и производной степенной, функции, при условии = const.

Пример 3.2. Найти производную функции .

Решение: Пользуясь формулой (22.1), получаем:

.

Отметим, что запоминать формулу (3.1) необязательно, легче запомнить суть логарифмического дифференцирования.

§4. Производные высших порядков

4.1. Производные высших порядков явно заданной функции

Производная функции есть также функция от и называется производной первого порядка.

Если функция дифференцируема, то, ее производная называ­ется производной второго порядка и обозначается (или , , , ). Итак, .

Производная от производной второго порядка, если она существу­ет, называется производной третьего порядка и обозначается (или , , …). Итак, .

Производная -го порядка (или -й производной) называется про­изводная от производной ( ) порядка:

.

Производные порядка выше первого называются производными высших порядков.

Начиная с производной четвертого порядка, производные обозначают римскими цифрами или числами в скобках ( или — производная пятого порядка).

Пример 4.1. Найти производную 13-го порядка функции .

Решение:

,

,

,

,

......................................................

.

4.2. Механический смысл производной второго порядка

Пусть материальная точка движется прямолинейно по закону . Как уже известно, производная равна скорости точки в данный момент времени: .

Покажем, что вторая производная от пути по времени есть ве­личина ускорения прямолинейного движения точки, т.е. .

Пусть в момент времени скорость точки равна , а в момент — скорость равна , т. е. за промежуток времени ско­рость изменилась на величину .

Отношение выражает среднее ускорение движения точки за время . Предел этого отношения при называется ускорением точки в данный момент и обозначается буквой : , т.е. .

Но . Поэтому , т. е. .

4.3. Производные высших порядков неявно заданной функции

Пусть функция задана неявно в виде уравнения .

Продифференцировав это уравнение по и разрешив полученное уравнение относительно , найдем производную первого порядка (первую производную). Продифференцировав по первую производную, получим вторую производную от неявной функции. В нее войдут , и .

Подставляя уже найденное значение в выражение второй произ­водной, выразим через и .

Аналогично поступаем для нахождения производной третьего (и дальше) порядка.

Пример 4.2. Найти , если .