Вычислить отношение дисперсий по формуле
.
По приложению, табл. 7 при принятом уровне значимости q = 0,05 и числах степеней свободы находим квантиль распределения Фишера, она равна:
,
поскольку , то при уровне значимости q = = 0,05 делаем вывод, что гипотеза о равноточности рядов наблюдений отвергается.
Допустимость различия средних определяем по критерию Стьюдента (см. приложение, табл. 5) находим квантиль Стьюдента при вероятности P = 0,95 и числе степеней свободы k = =.
Гипотеза о допустимом различии средних подтверждается, так как
,
;
1,49 < .
Следовательно, два ряда наблюдений относятся к неравноточным измерениям одной и той же величины, так как оценки дисперсий недопустимо различны, а оценки математических ожиданий выборок имеют допустимое различие.
Обрабатываем результаты неравноточных измерений по вышеизложенным правилам.
Определяем вес каждого результата измерения (примем, ) по формуле
.
Вычислить величину среднего взвешенного по формуле
,
Найти оценку СКО среднего взвешенного:
,
Доверительная граница погрешности результата измерения (без учета знака) при вероятности Р = 0,95 будет равна (при k =1,9599; Р = 0,95, см. приложение, табл. 5 найти :S) по
,
рад/с,
где число степеней свободы найдено по формуле
,
.
Результат обработки неравноточных рядов наблюдений должен быть представлен в форме:
рад/с; рад/с; Р = 0,95.
Результата принадлежит интервалу:
294,9 < < 299,5.
Контрольные вопросы
1. Как можно установить соответствие прибора требованиям того или иного класса точности?
2. Что такое неравнорассеянные наблюдения?
3. Какие виды ситуаций, приводящих к необходимости обработки результатов неравнорассеянных измерений, вы можете назвать?
4. Какие требования по точности предъявляют к образцовому прибору?
5. Что понимают под воспроизводимостью и сходимостью результатов наблюдений?
6. К какому виду измерений относят неравнорассеянные наблюдения?
7. Что такое равнорассеянные наблюдения?
8. В каком случае пользуются распределением Стьюдента?
9. Каким образом задается распределение Фишера?
Практическая работа № 5.
Обработка многократных равноточных
результатов измерений
Цель работы: изучить один из методов обработки многократных равноточных измерений; получить навыки обработки многократных равноточных результатов измерений; закрепить полученные навыки обработки многократных равноточных результатов измерений, проведя расчеты по вариантам.
Теоретические сведения
Результаты многократных наблюдений, получаемые при прямых измерениях величины Х, называются равноточными (равнорассеянными), если они являются независимыми, одинаково распределенными случайными величинами. Измерения проводятся одним наблюдателем в одинаковых условиях внешней среды и с помощью одного и того же средства измерения.
Статистическая обработка группы результатов наблюдения при равноточных измерениях, нормальном распределении, выполняется в следующей последовательности.
1. Производят n измерений хi величины х.
2. Вычисляют среднее арифметическое значение , принимая его за оценку истинного значения измеряемой величины:
. (1)(1)
3. Вычисляют отклонения каждого результата измерения относительно среднего арифметического (абсолютную погрешность):
. (2)
4. Вычисляют среднее квадратическое отклонение среднего арифметического значения:
. (3)(2)
5. Задают доверительная вероятность Рд.
6. Вычисляют размах доверительного интервала через коэффициент Стьюдента tnp:
. (4)(3)
Значения коэффициента Стьюдента tnp выбирают из табл. 1.
Таблица 1
|
n-1 |
Рд =0,95 |
Рд =0,99 |
n-1 |
Рд =0,95 |
Рд =0,99 |
|
|
3 |
3,182 |
5,841 |
16 |
2,120 |
2,921 |
|
|
4 |
2,776 |
4,604 |
18 |
2,101 |
2,878 |
|
|
5 |
2,571 |
4,032 |
20 |
2,086 |
2,845 |
|
|
6 |
2,447 |
3,707 |
22 |
2,074 |
2,819 |
|
|
7 |
2,365 |
3,499 |
24 |
2,064 |
2,797 |
|
|
8 |
2,306 |
3,355 |
26 |
2,056 |
2,779 |
|
|
10 |
2,228 |
3,165 |
28 |
2,048 |
2,763 |
|
|
12 |
2,179 |
3,055 |
30 |
2,043 |
2,750 |
|
|
14 |
2,145 |
2,977 |
? |
1,960 |
2,576 |
7. Определяем относительную погрешность:
. (5)
Результат записывают в виде:
Х= при Pд=К, =К %. (6)
Задания
Задание. Значения xi взять из табл. 2 в соответствии с номером варианта и занести их в табл. 3.
Таблица 2
|
Число измер. |
№ варианта |
||||||||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
|
1 |
90,3 |
94 |
64 |
74 |
54 |
54 |
84 |
14 |
|
|
2 |
90 |
94,25 |
64,23 |
74,25 |
54,25 |
54,5 |
84,25 |
14,25 |
|
|
3 |
89,8 |
94,3 |
64,3 |
74,3 |
54,3 |
54,23 |
84,3 |
14,3 |
|
|
4 |
89,9 |
94,4 |
64,4 |
74,4 |
54,4 |
54,45 |
84,4 |
14,4 |
|
|
5 |
90,4 |
95 |
65 |
75 |
55 |
55,2 |
85 |
15 |
|
|
6 |
90 |
94,5 |
64,5 |
74,5 |
54,5 |
45,5 |
84,5 |
14,5 |
|
|
7 |
90,3 |
94,9 |
64,9 |
74,9 |
54,9 |
54,9 |
84,9 |
14,9 |
|
|
8 |
89,1 |
93,7 |
63,7 |
73,7 |
53,7 |
53,7 |
83,7 |
13,7 |
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
|
9 |
90,5 |
94,8 |
64,8 |
74,8 |
54,8 |
54,9 |
84,8 |
14,8 |
|
|
10 |
90,4 |
95,5 |
65,5 |
75,5 |
55 |
55 |
85 |
15 |
|
|
11 |
90,35 |
93,5 |
63,5 |
73,5 |
53,5 |
53,5 |
83,5 |
13,5 |
|
|
12 |
90,5 |
94,5 |
64,5 |
74,5 |
54,5 |
53 |
84,5 |
13,3 |
|
|
13 |
90 |
93 |
63 |
73 |
53 |
53,6 |
83 |
13 |
|
|
14 |
90,05 |
95 |
65 |
75 |
55 |
53,45 |
85 |
15 |
|
|
15 |
89,9 |
94 |
64 |
74 |
54 |
54 |
84 |
14 |
Определить значения величин: , (xi-), (xi-)2, , S, . Выполнить расчеты по формулам. Результат занести в табл. 3.
Таблица 3
|
№ |
xi |
(xi-) |
(xi-)2 |
S |
,% |
|||
|
1 |
||||||||
|
… |
||||||||
|
… |
||||||||
|
15 |
Результат записать в виде при Рд = К, = К %. Расчеты сделать для двух значений вероятности Рд.
Пример. Составить таблицу для записи в нее результатов наблюдений и расчетных значений (табл. 4).
Таблица 4
|
n |
xi |
(xi-) |
(xi -)2 |
S |
,% |
|||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
|
|
1 |
99 |
-0,6 |
0,36 |
|||||
|
2 |
101 |
1,4 |
1,96 |
|||||
|
3 |
99,5 |
-0,1 |
0,01 |
|||||
|
4 |
98 |
-1,6 |
2,56 |
|||||
|
5 |
100,5 |
0,9 |
0,81 |
|||||
|
6 |
98,5 |
-1,1 |
1,21 |
1: 0,45 |
1: 0,45 |
|||
|
7 |
99,6 |
99,6 |
0 |
0 |
0,21 |
|||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
|
|
8 |
99 |
-0,6 |
0,36 |
2: 0,63 |
2: 0,63 |
|||
|
9 |
99,3 |
-0,3 |
0,09 |
|||||
|
10 |
99,7 |
0,1 |
0,01 |
|||||
|
11 |
100,6 |
1 |
1 |
|||||
|
12 |
100,3 |
0,7 |
0,49 |
|||||
|
13 |
100,2 |
0,6 |
0,36 |
|||||
|
14 |
99 |
-0,6 |
0,36 |
|||||
|
15 |
99,8 |
0,2 |
0,04 |
По формуле (1) вычисляем .
По формуле (3) вычисляем S = 0,21.
Р1 = 0,95, n = 15, следовательно tnp1 = 2,145;
Р2 = 0,99, n = 15, следовательно tnp2 = 2,977.
По формуле (4) вычисляем и : = 0,45; = = 0,63.
По формуле (5) вычисляем и : = 0,45 %; = = 0,63 %.
Записываем результат:
Х1 = 99,60,45, Рд = 0,95, =0,45 %.
Х2 = 99,60,63, Рд = 0,99, =0,63 %.
Контрольные вопросы
1. Какие результаты многократных измерений называются равноточными?
2. Привести схему статистической обработки результатов наблюдений.
3. Как определяется оценка среднего квадратического отклонения среднего арифметического?
4. Как определяется коэффициент Стьюдента?
5. Как определяется оценка среднего квадратического отклонения результата измерения?
Практическая работа № 6.
Обработка результатов прямых измерений
с многократными наблюдениями
Цель работы: изучить методику обработки результатов прямых измерений с многократными наблюдениями.
Теоретические сведения
В измерительной практике для повышения качества измерений часто обращаются к измерениям с многократными наблюдениями, т.е. к повторению одним и тем же оператором однократных наблюдений в одинаковых условиях с использованием одного и того же средства измерения. В результате соответствующей обработки полученных данных удается уменьшить влияние случайной составляющей погрешности на результат измерений. При этом могут быть использованы различные процедуры обработки. Ниже кратко описана стандартная методика выполнения прямых измерений с многократными независимыми наблюдениями и основные положения по обработке результатов наблюдений и оцениванию погрешностей результатов измерений.
Исключение систематических погрешностей из результатов наблюдений проводится либо расчетным путем (см. практическую работу № 2), либо по результатам поверки. После исключения систематических погрешностей все дальнейшие вычисления проводятся для исправленного ряда наблюдений.
Среднее арифметическое ряда наблюдений (результатов наблюдений) рассчитывают по формуле
,
где xi - i-й исправленный результат наблюдения; x - среднее арифметическое исправленного ряда наблюдений; n - число результатов наблюдений.
Среднее квадратическое отклонение ряда наблюдений рассчитывают по формуле
.
Среднее квадратическое отклонение является основной характеристикой размера случайных погрешностей результатов наблюдений.