Монография: Общая теория измерений

2) Заполняем табл. 2.

Таблица 2

3) По формуле (1) определить критерий согласия Пирсона ?²_э = 14,15.

4) Для уровня значимости б = 0,05 и числа степеней свободы k = 7 - 3 = 4 в приложении табл. 6 найти ?²_б = 9,488.

5) Так как ?²_э >?²_б - гипотеза о согласованности эмпирического распределения с теоретическим отвергается.

Задание 2. Произведено 50 измерений напряжения радиосигнала одним и тем же прибором. Результаты измерений приведены в приложении табл. 2. Проверить гипотезу о согласованности эмпирического распределения с теоретическим, используя составной критерий.

Пример. По данным практической работы № 2 проверить гипотезу о согласованности эмпирического распределения с теоретическим, используя составной критерий.

Решение. 1) Результаты наблюдений группируем в интервальный вариационный ряд.

2) Построить гистограмму или полигон.

3) Исходя из вида диаграммы выдвинуть гипотезу о нормальном законе распределения результатов.

4) Вычислить оценки среднего арифметического= 11,9 и среднего квадратического отклонения S = 1,81.

5) По формуле (3) найти смещенную оценку среднего квадратического отклонения результатов наблюдений S = 1,79.

6) Определить значение составного критерия d по формуле (2):

.

7) Задать уровень значимости q_I = 0, 05.

По приложению, табл. 8 для числа опытов n = 50 найти: ; .

Поскольку 0,7518 < 0,765 < 0,8481, переходим к проверке по критерию II.

8) Задать уровень значимости q_II = 0, 05.

9) По приложению табл. 10, для q_II = 0, 05 и n = 50 найти

Р = 0,98 и m = 2.

10) По приложению табл. 9, для Р = 0,98, определить значение верхней квантили интегральной функции нормированного распределения Лапласа = 2,33.

11) Рассчитать величину .

12) Число разностей , превышающих значение 4,17, равно 3, что превышает предельно допустимое значение m = 2.

Поскольку критерий II не выполнен, распределение исследуемой совокупности результатов измерений не соответствует нормальному закону. Результирующий уровень значимости составного критерия: q ? 0,05 + 0,05 = 0,1.

Контрольные вопросы

1. Каков порядок проверки гипотезы о виде закона распределения с помощью критериев согласия?

2. Каков порядок проверки гипотезы о согласованности теоретического и эмпирического распределений?

3. Чем отличается эмпирическая кривая от теоретической?

Практическая работа № 4.

Обработка равнорассеянных

и неравнорассеянных рядов наблюдений

Цель работы: провести обработку равнорассеянных и

неравнорассеянных наблюдений.

Теоретические сведения

Равнорассеянными называют результаты наблюдений х, которые получены одним или группой наблюдателей с помощью одних и тех же методов и средств измерений в неизменных условиях внешней среды.

Однако во многих случаях результаты измерений могут быть представлены несколькими сериями, которые получены для разных условий, например, с помощью различных средств измерений. В этих случаях необходимо решить две задачи: первая задача - проверка равноточности этих серий, в случае отрицательного заключения вторая задача - обработка полученных неравноточных результатов.

Для проверки гипотезы о равнорассеянности наблюдений применяется распределение Фишера. Распределению Фишера подчиняется отношение

,

где u и - независимые случайные величины, подчиняющиеся - распределению с и степенями свободы соответственно.

Распределение Фишера задается в виде процентных точек в табличной форме в зависимости от числа степеней свободы большей дисперсии и от числа меньшей дисперсии для разных значений доверительной вероятности = 1 - или уровня значимости , априорно принимаемых при проверке гипотезы о равнорассеянности дисперсий (приложение, табл. 7).

Условие принятия гипотезы о равнорассеянности выражается следующим неравенством:

,

т. е. если при выбранном уровне значимости отношение большей дисперсии к меньшей будет меньше значения , полученного из таблицы распределения Фишера, это означает, что различие оценок незначимо, и они являются двумя независимыми оценками одной и той же дисперсии.

Другой способ оценки равноточности дисперсий заключается в нахождении доверительных границ для истинной дисперсии ?^?_X по формуле

.

Нижнюю и верхнюю границы для ?^?_X находим по формуле

.

Задаваясь уровнем значимости = 1 - Р или доверительной вероятностью Р, можно найти предельное значение t_Р вприложении табл. 5, и если , то гипотеза о равенстве математических ожиданий принимается.

Вычисляют величину на основании двух средних арифметических:

.

Если результаты наблюдений распределены нормально, то имеет распределение Стьюдента с степенями свободы, асимптотически переходящее в нормальное при большом числе наблюдений с математическим ожиданием М () = 0 и дисперсией .

Распределением Стьюдента пользуются и в том случае, когда проверка равенства дисперсий в группах дала отрицательные результаты. Тогда необходимо проверить разность всех сочетаний групп, поскольку незначимость различия между Х_max и Х_min в группах еще не означает, что между другими средними различия тоже будут незначительными. Причиной этого является различие дисперсий в отдельных группах наблюдений.

Значимое различие групповых средних говорит о том, что на формирование результатов оказывает влияние сильнодействующая причина или ряд причин (факторов). Следует провести анализ условий измерения, попытаться найти причины систематической погрешности, определить ее значение и ввести поправку в соответствующие результаты.

В том случае когда различие дисперсий значимо, а различие средних арифметических незначимо, группы результатов называются неравнорассеянными.

Ряды получающихся при этом результатов наблюдений называются неравнорассеянными, если оценки их дисперсий значительно отличаются друг от друга, а средние арифметические являются оценками одного и того же значения измеряемой величины.

Если средние неравнорассеянных рядов наблюдений мало отличаются друг от друга, то говорят о высокой воспроизводимости измерений, которая количественно характеризуется параметрами рассеивания результатов.

Рассмотрим некоторые случаи, приводящие к необходимости обработки результатов неравнорассеянных измерений.

1. Если при точных измерениях необходимо убедиться в отсутствии неисключенных систематических погрешностей, то измерения проводятся несколькими исследователями или группами исследователей. Если средние арифметические полученных рядов наблюдений незначительно отличаются друг от друга и ничто не указывает на наличие систематических погрешностей, то заманчиво объединить все полученные результаты и на основе их математической обработки получить более достоверные сведения об измеряемой величине.

2. Аналогичные измерения были выполнены в разных лабораториях различными методами и получены отличающиеся друг от друга результаты. Естественно, и в этом случае, используя все имеющиеся данные, попытаться получить более достоверные значения измеряемых величин.

3. Измерения, относящиеся к образцовым мерам и измерительным приборам, часто повторяются через некоторое время. В конце концов накапливаются ряды наблюдений и возникает необходимость объединить их. Точность рядов наблюдений различна, с одной стороны, из-за того что для впервые проводимых измерений характерно большее рассеивание результатов, а с другой - из-за того что с течением времени средства измерения стареют или заменяются новыми.

Во всех описанных ситуациях приходится прибегать к методам обработки результатов неравнорассеянных рядов наблюдений, задача которых в общем случае заключается в нахождении наиболее достоверного значения измеряемой величины и оценки воспроизводимости измерений.

Для практической обработки результатов неравнорассеянных рядов наблюдений необходимо ввести параметр вес:

,

где n - число наблюдений в ряду;

- средние квадратические (стандартные) отклонения результатов наблюдений в отдельных рядах.

.

Веса характеризуют степень нашего доверия к соответствующим рядам наблюдений. Чем больше число наблюдений в каждом данном ряду и чем меньше дисперсия результатов наблюдений, тем больше степень доверия к полученному при этом среднему арифметическому и с тем большим весом оно будет учтено при определении оценки истинного значения измеряемой величины.

Весовые коэффициенты для трех рабочих термометров определяются по формуле

,

где б_j - безразмерные относительные весовые коэффициенты;

n - число наблюдений.

Среднее взвешенное для трех рабочих термометров определяется по формуле

.

Дисперсия среднего взвешенного для трех рабочих термометров определяется по формуле

.

Среднее квадратичное отклонение определяется по формуле

.

Задания

Задание 1. Даны результаты трех групп наблюдений дециметрового интервала штрихового эталона метра с визированием на штрихи по фотоэлектрическому микроскопу. Каждая группа наблюдений объединяет результаты наблюдений, полученные в течение 10-15 мин в утренние часы после стабилизации температуры. Результаты наблюдений (отклонения в микрометрах), также результаты вычисления представлены в приложении табл. 11. Необходимо оценить равнорассеянность результатов наблюдений.

1. Вычислить оценки дисперсий для каждой группы результатов (СКО).

2. Определить соотношение дисперсий ; ; .

3. Эти отношения имеют распределение Фишера с = 4 и = 4 степенями свободы. Уровень значимости 5 % ( = 0,05), из таблиц распределения Фишера (см. приложение, табл. 7) определить: .

4. Проверить по распределению Стьюдента значимость различий средних арифметических каждой группы и вычислить разности ; ; .

5. По приложению табл. 5 для доверительной вероятности, соответствующей принятому уровню значимости, Р = 1 - = 0,95 и для найти . Сравнить полученные расчетом различия средних t с предельным различием.

Задание 2. Произведены измерение температуры на рабочем и образцовом термометрах для 20 точек (см. приложение, табл. 7). Для трех рабочих термометров в соответствии с заданным законом изменения температуры:

необходимо найти наилучшую оценку для объединенных результатов измерений (весовые коэффициенты для трех рабочих термометров);

определить среднее взвешенное для трех рабочих термометров;

определить дисперсию среднего взвешенного для трех рабочих термометров;

определить среднее квадратичное отклонение;

результаты представить в таблице, сделать выводы.

Пример 2. При испытаниях центробежного насоса на постоянном режиме работы измерялась частота вращения ротора с помощью индуктивного датчика и магнитоиндукционного тахометра. Предварительной обработкой двух рядов наблюдений, объемами 20, установлено, что распределения не противоречат нормальному. Результаты измерений: = 297,3 рад/с, = = 296,9 рад/с; оценки СКО средних: = 0,6 рад/с;

= 1,2 рад/с.

Требуется определить наиболее достоверное значение частоты вращения ротора и оценить погрешность при доверительной вероятности P = 0,95. Прежде чем приступить к совместной обработке рядов наблюдений, необходимо определить значимость различий средних и дисперсий . Допустимость различия оценок дисперсий проверяем по критерию Фишера.