Монография: Общая теория измерений

Буквенные обозначения единиц, входящих в произведение, следует отделять точками на средней линии, как знаками умножения.

Допускается буквенные обозначения единиц, входящих в произведение, отделять пробелами, если это не приводит к недоразумению.

В буквенных обозначениях отношений единиц в качестве знака деления должна применяться только одна косая или горизонтальная черта. Допускается применять обозначения единиц в виде произведения обозначений единиц, возведенных в степени (положительные и отрицательные).

При применении косой черты обозначения единиц в числителе и знаменателе следует помещать в строку, произведение обозначений единиц в знаменателе следует заключить в скобки.

При указании производной единицы, состоящей из двух (и более) единиц, не допускается комбинировать буквенные обозначения и наименования единиц, т. е. для одних единиц приводить обозначения, а для других - наименования.

Допускается применять сочетания специальных знаков ...°, ...' ...", % и ‰ с буквенными обозначениями единиц, например, ...°/с и т. д.

Задания

Задание 1. Переведите из одной единицы измерения в другую, с учетом обозначения кратных и дольных единиц путем возведения в степень:

Задание 2. Образуйте когерентные производные единиц в системе СИ, если даны следующие уравнения:

1. В = ?•?_0•H,

где В - магнитная индукция, Тл;

Н - напряженность магнитного поля, А/м;

??? ? - магнитная проницаемость вещества - безразмерная величина;

?₀ - магнитная константа (4•?•10^-7), Гн/м.

2. Второй закон Ньютона: F = m•a. Определить размерность и единицу силы.

3. Закон импульса: р = m•v. Определить размерность и единицу импульса материальной точки.

4. Атомы, ионы и молекулы под действием внешнего электрического поля способны приобретать электрический момент. В слабых полях этот момент пропорционален напряженности электрического поля Е и в СИ выражается формулой:

р = = ?•?₀•Е,

где ? - коэффициент, называемый поляризуемостью атома (иона, молекулы); ?₀ - электрическая постоянная.

Выразить ?, найти размерность и единицу поляризуемости.

Контрольные вопросы

1. Что такое эталон единицы массы?

2. Что относят к основным и дополнительным единицам СИ?

3. Что такое когерентные производные величины?

4. Какие правила образования десятичных кратных и дольных единиц, а также их наименований и обозначений (по ГОСТ 8.417-2002) вам известны?

Практическая работа № 2

Определение статистических параметров

распределения на основе построения гистограммы

Цель работы: определить характеристики дискретной случайной величины и выравнивание статистических распределений; определить интервальные оценки параметров распределения

Теоретические сведения

1. Характеристика дискретной случайной величины. Числовые характеристики. Среднее арифметическое п случайных величин определяется по формуле

Или

,

где х_i - значение измеряемой величины в середине интервала;

- частость появления значения х_1;

n - число измерений.

Несмещенной оценкой дисперсии является среднеквадратическое отклонение:

.

Смещенная оценка среднеквадратического отклонения результатов наблюдений определяется по формуле

,

где - статистическая вероятность попадания i-го результата в интервал.

Кроме определения числовых характеристик, для достижения наглядности строят различные графики статистического распределения, из которых чаще всего используют полигон, гистограмму и кумулятивную кривую.

Отношение частоты к общему числу наблюдений n называют частостью и обозначают .

Частость представляет собой эмпирическую оценку вероятности попадания результатов наблюдений x_i в i-й интервал. Очевидно, что

.

Для наглядности эмпирическое распределение можно представить графически в виде полигона или гистограммы распределения, а также ступенчатой функции распределения.

Полигон строят следующим образом: на оси абсцисс откладывают интервалы значений измеряемой величины, в серединах интервалов отмечают ординаты, пропорциональные частотам или частостям, и ординаты соединяют прямыми линиями, таким образом, он представляет собой ломаную линию, отрезки которой соединяют точки с координатами (х_i,; m_i).

Гистограмма представляет собой ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат отрезки, изображающие интервалы вариационного ряда, а вычеты равны частотам или частостям соответствующих интервалов, деленным на ширину интервала. При различных значениях высота прямоугольника будет пропорциональна эмпирической плотности вероятностей

.

Ступенчатую функцию распределения строят следующим образом: в середине каждого интервала по оси абсцисс ордината возрастает скачком на значение, соответствующее , и оттуда проводят горизонтальную прямую до середины следующего интервала, где она возрастает. Высота ординаты в каждой точке соответствует эмпирической интегральной функции распределения

.

Значение называют кумулятивной частотой.

2. Выравнивание статистических распределений. При использовании вероятностных методов оценки полученных результатов важной задачей является нахождение функции распределения по данному статистическому ряду. Такая операция называется выравниванием статистического распределения, а искомую функцию распределения или плотность распределения называют выравнивающими.

Вид полигона или гистограммы позволяет сделать вывод о возможности выравнивания с помощью того или иного закона распределения.

Выравнивание статистического распределения проводится в следующем порядке:

1) выбирают теоретический закон распределения;

2) вычисляют параметры распределения;

3) строят графики выравнивающей функции распределения F(х) или плотности f(х) = р(х) для значений , где - середина интервала (для интервального вариационного ряда );

4) сравнивают графики теоретической функции распределения F(х) и эмпирической F^/(х) или f(х) = р(х) и гистограммы.

Сравнение графиков показывает, насколько теоретический закон распределения удовлетворительно отражает экспериментальные данные. Если расхождение между F(х) и F^/(х) невелико, можно считать, что F(х) определено правильно.

Выравнивающая функция распределения сглаживает все те случайные отклонения, свойственные F^/(х), которые происходят из-за ограниченного объема наблюдений.

3. Определение интервальных оценок параметров распределения. Определение интервальной оценки параметров распределения состоит в том, чтобы построить интервал значений, в котором с заданной вероятностью будет находиться параметр распределения. Такой интервал называется доверительным. а его границы - верхними и нижними доверительными границами. С вероятностью Р = 1 - б доверительный интервал содержит известное значение параметра.

Вероятность Р называют доверительной, а б - уровнем значимости. Порядок получения интервальной оценки параметров распределения может быть следующий:

1) определяют оценку среднего значения результата измерения

;

2) определяют оценку среднего квадратического отклонения результата измерения;

;

3) устанавливают закон распределения результата измерения и проверяют согласованность эмпирического распределения с теоретическим;

4) если закон распределения результата измерения нормальный, то определяют стандартное отклонение по формуле

;

5) если закон распределения результата измерения отличный от нормального, то определяют стандартное отклонение по формуле

;

6) задают доверительную вероятность Р = 1 - б;

7) для определения доверительного интервала используют соотношение

,

где - полуширина доверительного интервала;

- аргумент функции Лапласа, отвечающий вероятности (1 + Р) / 2, который в литературе называют квантилью нормального распределения, если закон распределения нормальный. Если эмпирическое распределение подчинится закону распределения вероятности Стьюдента, то - аргумент интегральной функции распределения Стьюдента.

Если эмпирическое распределение подчиняется иному закону, то - аргумент, входящий в неравенство П.Л. Чебышева.

Значение аргумента определяют по таблицам функции Лапласа, Стьюдента и неравенства Чебышева.

При нормальном распределении определяют (приложение, табл. 5).

В то же время , поэтому доверительной вероятности Р отвечает интервал, равный

.

Задания

Задание 1. Произведено 50 измерений напряжения радиосигнала одним и тем же прибором. Результаты измерений приведены (приложение, табл. 2).

Вычислить среднее арифметическое, выборочную дисперсию и построить полигон распределения, гистограмму и статистическую функцию распределения.

Массив экспериментальных данных взять в соответствии с вариантом, заданным преподавателем или в соответствии с шифром зачетной книжки студента.

Количество интервалов определяется по формуле Старджесса:

.

Ширина интервала определяется по формуле

.

Для удобства вычисления значения границ интервала, частоту попадания в интервалы и середину интервалов свести в табл. 1.

Таблица 1

Для построения статистической функции распределения можно воспользоваться формулой

,

где .

Пример 1. Даны результаты прямых измерений напряжения некоторых физических величин (табл. 2).

Таблица 2

Требуется вычислить среднее арифметическое значение, выборочную дисперсию, среднее квадратическое отклонение, построить гистограмму и статистическую функцию распределения.