Монография: Общая теория измерений

Решение.

1) Размах экспериментальных данных:

,

В.

2) Среднее арифметическое

В.

3) Несмещенная оценка дисперсии

В.

4) Несмещенная оценка среднего квадратического отклонения

В.

5) Число интервалов

.

6) Ширина интервала

В.

7) Рассчитать границы интервалов, середины интервалов, подсчитать число результатов, попавших в каждый интервал, для каждого интервала определяем статистическую вероятность. Полученные результаты занести в табл. 3.

8) По данным табл. 3 построить гистограмму и статистическую функцию распределения (рис. 1).

Таблица 3

Рис. 1. Гистограмма и статистическая функция распределения

Задание 2. Произведено 50 измерений напряжения радиосигнала одним и тем же прибором. Результаты измерений приведены в приложении табл. 2. Выравнять статистический ряд.

1. Построить гистограмму. По виду гистограммы (определить) выбрать теоретический закон распределения.

Если закон распределения нормальный, то его плотность равна:

.

2. Вычислить и .

3. Вычислить f(х) для середин интервалов.

Для этого вводим переменную и, используя свойство нормального распределения f(х), по приложению, табл. 3 находим значения f(t).

В случае использования интервалов применить зависимость f(х), где h - ширина интервала.

Для удобства вычисления свести в табл. 4.

Таблица 4

- значения теоретической функции распределения, найденное по таблицам функции Лапласа (приложение, табл. 4).

4. Построить графики теоретической функции распределения F(х) и эмпирической F^/(х).

5. Для построения значений F^/(х) можно воспользоваться данными первой работы.

6. По виду статистических кривых сделать заключение о нормальности распределения экспериментальных данных.

Пример 2. По данным примера 1 выравнять статистический ряд.

Решение.

1. По виду гистограммы (рис. 2) предполагаем, что закон распределения нормальный.

2. По данным примера 1:= 11,9 и = 1,81.

3. Заполнить табл. 5.

Таблица 5

4. Построить графики теоретической функции распределения F(х) и эмпирической F^/(х).

Рис. 2. Теоретическая (1) и эмпирическая (2) интегральные функции распределения

5. По виду статистических кривых можно сделать заключение о нормальности распределения экспериментальных данных, хотя для окончательного заключения требуется проверка по критериям согласия.

Задание 3. Произведено 50 измерений напряжения радиосигнала одним и тем же прибором. Результаты измерений приведены (см. приложение, табл. 2). Найти доверительный интервал.

Пример 3.

По данным примера 1 найти доверительный интервал.

Решение.

1) По данным примера 1: = 11,9 и = 1,81.

2) Так как закон распределения результата измерения нормальный, то стандартное отклонение

.

3) Доверительная вероятность Р = 1 - 0,05 = 0,95.

4) По приложению табл. 5, для Р = 0,95 и числа степеней свободы k = 49, = 2,01.

5) Полуширина доверительного интервала

.

6) Доверительный интервал

.

Контрольные вопросы

1. Что такое кумулятивная кривая?

2. В каком случае используется выравнивание статистических распределений?

3. Что представляет собой аргумент ?

4. Что понимают под доверительным интервалом?

5. Какова последовательность определения интервальной оценки параметров распределения?

Практическая работа № 3.

Проверка гипотезы о виде закона распределения

вероятностей результата измерения

Цель работы: провести проверку гипотезы о согласованности теоретического и эмпирического распределений с помощью критерия Пирсона и проверку гипотезы о согласованности эмпирического и теоретического распределения по составному критерию.

Теоретические сведения

Проверка гипотезы о предполагаемом законе неизвестного распределения производится так же, как проверка гипотезы о параметрах распределения, т. е. при помощи специально подобранной случайной величины - критерия согласия.

Критерием согласия называют критерий проверки гипотезы о предполагаемом законе неизвестного распределения.

Среди наиболее известных критериев следует отметить критерий Пирсона ч² , критерий Колмогорова, составной критерий d, критерий Мизеса - Смирнова щ².

Порядок проверки гипотезы о виде закона распределения с помощью критериев согласия может быть следующим:

1) выбирают меру расхождения между теоретическим и эмпирическим законами распределения u;

2) задают уровень значимости критерия б;

3) вычисляют меру расхождения для исследуемого статистического распределения u_э;

4) находят табличное значение u_б , отвечающее заданному уровню значимости б;

5) делают вывод относительно проверяемой гипотезы о согласованности теоретического и эмпирического распределений:

если u_э > u_б - гипотеза отклоняется;

если u_э < u_б - гипотеза принимается.

1. Проверка гипотезы о согласованности теоретического и эмпирического распределений с помощью критерия Пирсона.

При числе измерений n ? 50 используется критерий согласия Пирсона (критерий ?²):

,(1)

где r - число интервалов;

- частота i-го интервала;

n - число испытаний;

- теоретическая вероятность попадания случайной величины в i-й интервал.

При случайная величина имеет распределение Пирсона с S = r - k - 1 степенями свободы, где k - число параметров распределения.

Результаты наблюдений группируют в интервальный вариационный ряд; интервалы, в которых m_i < 5, объединяют с соседними; число степеней свободы при этом уменьшается.

Строят гистограмму или полигон и выдвигают гипотезу о виде закона распределения. Вычисляют оценки параметров распределения, (для теоретического нормального распределения такими оценками являются среднее арифметическое и среднее квадратическое отклонение ??.

,

.

Определяют теоретическую вероятность попадания случайной величины Х в каждый интервал

Или

;

По формуле (1) определяют величину расхождения ?²_э.

Задают уровень значимости критерия б. Определяют число степеней свободы k = r - S - 1,

где r - число интервалов выборки;

S - число параметров предполагаемого распределения, которые оценены по данным выборкам.

Для нормального распределения принимают S = 2, . Рекомендуется, чтобы каждая группа содержала не менее 5-8 частот; малочисленные группы следует объединять в одну, суммируя эмпирические частоты.

Мера расхождения сравнивается с табличной ?²_б, найденной (приложение, табл. 6) по заданному уровню значимости б (q) = = 1 - Р (рекомендуется выбирать q = (0,01 - 0,02) и числу степеней свободы k;

9) делают вывод о проверяемой гипотезе:

если ?²_э >?²_б - гипотезу отвергают;

если ?²_э < ?²_б - гипотезу принимают.

2. Проверка гипотезы о согласованности эмпирического и теоретического распределения по составному критерию.Методы обработки результатов наблюдений. Основные положения”. При проверке задаются уровнем значимости q_I (б_I) (для критерия I) и q_II (б_II) (для критерия II). Уровень значимости составного критерия должны удовлетворять условию: q ? q_I + q_II · (б ? б_I + б_II).

Гипотеза о согласованности опытного распределения с теоретическим нормальным проверяется следующим образом.

1) Проверяют выполнение критерия I.

Для этого определяют значение d по формуле

(2)

где - смещенная оценка среднего квадратического отклонения результатов наблюдений определяется по формуле

. (3)

Подставляя выражение (3) в формулу (2) получают

.

Нулевая гипотеза о принадлежности эмпирического распределения нормальному справедлива, если выполняется условие:

,

где , - квантили распределения (приложение, табл. 8).

2) Проверяют выполнение критерия II.

Гипотеза о нормальности распределения по критерию II подтверждается, если не более m разностей превзошли значения ,

где - верхняя квантиль интегральной функции нормированного распределения Лапласа; S - несмещенная оценка СКО результата наблюдений определяемая по формуле

.

Верхняя квантиль интегральной функции нормированного распределения Лапласа , отвечающая вероятности Р/2, находится по приложению, табл. 9.

Для нахождения максимально допустимого количества разностей m, задаются уровнем значимости q_II и для известного n (приложение, табл. 10) находят значения P и m.

Результирующий уровень значимости составного критерия: q ? q_I + q_II. Если окажется, что хотя бы один из критериев не выполняется, то считают, что распределение исследуемой совокупности результатов измерений не соответствует нормальному закону.

Задания

Задание 1. Произведено 50 измерений напряжения радиосигнала одним и тем же прибором. Результаты измерений приведены в приложении табл. 2). Проверить гипотезу о согласованности эмпирического распределения с теоретическим. Вычисления свести в табл. 1.

Таблица 1

Значения функции Лапласа определить по приложению табл. 4). Суммирование чисел в графе 7 дает ?²_э. Сделать вывод о согласованности эмпирического закона распределения с теоретическим.

Пример. По данным практической работы № 2 проверить гипотезу о согласованности эмпирического распределения с теоретическим.

Решение.

1) По данным примера 1: = 11,9 и = 1,81.