Для расчета среднего квадратического отклонения результата измерения используется формула
.
Среднее квадратическое отклонение является основной характеристикой размера случайных погрешностей результата измерений.
Чтобы установить принадлежат (или не принадлежат) результаты наблюдений тому или иному распределению, необходимо сравнить экспериментальную функцию распределения с предполагаемой теоретической. Сравнение осуществляется с помощью критериев согласия.
В случае проверки принадлежности результатов наблюдений к нормальному распределению предпочтительным, при числе результатов n > 50, является один из критериев: ч2 Пирсона или щ2 Мизеса - Смирнова. В работе используется критерий Пирсона.
При числе результатов наблюдений 50 < n < 15 производят приближенную проверку их принадлежности к нормальному распределению путем оценки коэффициента асимметрии и эксцесса.
При n ? 15 гипотеза о принадлежности результатов наблюдений к какому-либо распределению не проверяется. Если при этом имеется априорная информация о том, что нет причин, которые могли бы вызвать заметное отклонение распределения результатов от нормального закона, для обработки результатов наблюдений используется распределение Стьюдента.
Для проверки принадлежности результатов наблюдений к нормальному распределению с помощью критерия согласия Пирсона необходимо сначала построить гистограмму.
Построение гистограммы включает в себя следующие этапы.
1. Исправленные результаты наблюдений располагаются в порядке возрастания x1, x2,…, xn, где xi <= xi + 1.
2. Вычисляется диапазон изменения значений результатов наблюдений: Rn = xn ? x1.
3. Весь этот диапазон разбивается на r интервалов одинаковой длины (оценить необходимое количество интервалов можно по правилу: r =1+3,32Чlgn с последующим округлением в большую сторону до ближайшего целого нечетного числа). Обычно r лежит в диапазоне от 7 до 15.
4. Определяется ширина интервала:
.
5. Определяются границы интервалов [xj - 1, xj] так, чтобы верхняя граница j-го интервала xjв = j ? Д, а его нижняя граница совпадала с верхней границей (j - 1)-го интервала: xjн = x (j ?1)в
6. Для каждого j-го интервала (j = 1, 2,..., r) вычисляются числа nj - частость попадания результата наблюдений в интервал.
7. Строится гистограмма. Для этого по оси результатов наблюдений в порядке возрастания номеров откладываются интервалы Дj, и на каждом интервале строится прямоугольник высота которого, пропорциональна nj.
По результатам анализа гистограммы высказывается гипотеза о виде закона распределения экспериментальных данных и о численных характеристиках этого закона (для нормального распределения такими характеристиками являются математическое ожидание и дисперсия). После этого используют критерий согласия для проверки гипотезы.
Критерий согласия ч2 Пирсона имеет вид:
,(1)
где r - число интервалов;
- частота i-го интервала;
n - число испытаний;
- теоретическая вероятность попадания случайной величины в i-й интервал.
Определяют теоретическую вероятность попадания случайной величины Х в каждый интервал
Или
.
По таблицам ч2 - распределения находят критическое значение критерия согласия ч2кр. В технической практике обычно задаются уровнем значимости б = 0,05. Значения ч2кр, для этого уровня значимости, приведены в приложении, табл.6.
Если ч2 < ч2кр принимают гипотезу о том, что результаты наблюдений принадлежат нормальному распределению, характеризующемуся математическим ожиданием и дисперсией, в противном случае - гипотеза отвергается.
Доверительные границы е (без учета знака) случайной погрешности результата измерения находят по формуле
?
где t - квантиль распределения Стьюдента, который зависит от доверительной вероятности P и числа наблюдений n. Значения величины t при Р = 0,95 и 0,99 приведены в приложении, табл. 4).
Hеисключенная систематическая погрешность результата измерения образуется из составляющих, которыми могут быть неисключенные систематические погрешности метода, средств измерения и другие. За границы составляющих неисключенной систематической погрешности принимают, например, пределы основных и допoлнительных погрешностей средств измерений. При суммировании составляющие неисключенной систематической погрешности рассматриваются как случайные величины с равномерными законами распределения. Границы неисключенной систематической погрешности и результата измерения рассчитывавют по формуле
,
где иi - граница i-ой неисключенной систематической погрешности, K - коэффициент, определяемый принятой доверительной вероятностью (при Р = 0,95 полагают к = 1,1).
Доверительная граница погрешности результата измерения устанавливается в зависимости от соотношения .
Если , то неисключенными систематическими погрешностями пренебрегают и принимают, что доверительная граница погрешности результата измерения Д = е.
Если , то случайной погрешностью пренебрегают и принимают, что доверительная граница погрешности результата измерения Д = и.
Если , то доверительные границы погрешности результата измерения вычисляются по формуле
,
где К - коэффициент, зависящий от соотношения случайной погрешности и неисключенной систематической погрешности;
- оценка суммарного среднего квадратического отклонения результата измерения.
Коэффициент К рассчитывается по формуле
.
Оценка осуществляется по формуле
.
Результат измерения записывается в виде х = x ± Д при доверительной вероятности P, где x - собственно результат измерения. Отметим, что числовое значение результата измерения должно оканчиваться цифрой того же разряда, что и значение погрешности Д.
Если данные о виде функции распределения случайной и неисключенного остатка систематической составляющих погрешности результата измерения отсутствуют то, результаты измерения представляют в виде x; ; n; и.
Задание
Задание 1. В соответствии с этой методикой обработку ряда наблюдений следует выполнять в следующей последовательности:
1. Исключить известные систематические погрешности из результатов наблюдений.
2. Вычислить среднее арифметическое исправленных результатов наблюдений, принимаемое за результат измерения.
3. Вычислить оценку среднего квадратического отклонения результата наблюдения.
4. Вычислить оценку среднего квадратического отклонения результата измерения.
5. Проверить гипотезу о том, что результаты наблюдений принадлежат нормальному распределению.
6. Вычислить доверительные границы случайной составляющей погрешности результата измерения.
7. Вычислить границы неисключенной систематической погрешности результата измерения.
8. Вычислить доверительные границы погрешности результата измерения.
9. Представить результат измерения в соответствии с установленными требованиями.
При выполнении этой последовательности действий руководствуются следующими правилами:
? проверку гипотезы о принадлежности результатов наблюдений нормальному распределению проводят с уровнем значимости б, выбираемым в диапазоне от 0,02 до 0,10.
? при определении доверительных границ погрешности результата измерения доверительную вероятность Р принимают равной 0,95.
? в тех случаях, когда измерение нельзя повторить, помимо границ, соответствующих доверительной вероятности Р = 0,95, допускается указывать границы для Р = 0,99 .
Варианты для расчета представлены в практической работе № 5.
Контрольные вопросы
1. Каковы требования к совокупности операций, чтобы их можно было назвать измерением?
2. Дайте определение и назовите составляющие систематической погрешности.
3. Возможно ли для случайной погрешности, распределенной по нормальному закону, ввести понятие «пределы максимально допустимой погрешности»?
4. Разъясните термин «доверительные границы». Объясните выражение «доверительные границы погрешности составляют 0,2 мм с вероятностью 0,95».
5. В соответствии с разделом 3 МИ 1317-2004 запишите правильно результат измерения: U = (12,234500±0,054292) В, P = 0,95.
6. Каков правильный результат измерения, если среднее значении по 20 наблюдениям 109,23 А, оценка среднего квадратического отклонения результата измерения 0,94, а необходимая доверительная вероятность 0,99?
7. С какой целью и в каких случаях выполняют многократные равноточные измерения?
8. Перечислите и дайте краткую характеристику основным этапам обработки результатов многократных равноточных измерений.
9. На какой закономерности случайной погрешности основаны критерии обнаружения грубых погрешностей?
10. Справедливо ли утверждение «Проведение многократных равноточных измерений позволяет исключить из результата случайную погрешность»? Дайте пояснение.
11. Что такое систематическая погрешность?
12. По какому алгоритму объединяют границы случайной и систематической погрешности измерений? Почему арифметическое сложение погрешностей является неправильным? Ответ поясните примером.
Практическая работа №7.
ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИЙ
ПРИ СОВОКУПНЫХ И СОВМЕСТНЫХ ИЗМЕРЕНИЯХ
Цель работы: изучить обработку результатов наблюдений совокупных и совместных измерений.
Теоретические сведения
При изучении темы необходимо особо обратить внимание на следующее:
- отличие cовокупных и совместных измерений от прямых и косвенных;
- примеры совокупных и совместных измерений;
- метод наименьших квадратов.
Решение типовых задач
Задача 1. Совокупные измерения углов трехгранной призмы выполнены с трехкратным повторением наблюдений. Результаты наблюдений следующие:
1 = 8955;1 = 455;1 = 4457;
2 = 8959;2 = 456;2 = 4455;
3 = 8957;3 = 455;3 = 4458.
Найти с доверительной вероятностью Рд = 0,95 результаты совокупных измерений углов , , .
Решение. Если найти каждый из углов как среднее арифметическое результатов соответствующих наблюдений, то получим:
0 = = 8957;0 = = 455.33;
0 = = 4456,67.
Сумма углов треугольника должна удовлетворять условию + + = 180. У нас же получилось 0 + 0 + 0 = 17959. Это несовпадение - результат погрешностей измерений. Необходимо изменить полученные значения 0, 0, и 0 с тем, чтобы точно известное условие было выполнено.
Примем = 0 + ; = 0 + ; = 0 + , и будем искать значения поправок , , .
Получаем:
1 = 1 0 = 2;1 = 1 - 0 = 0.33;1 = 1 - 0 = +0.33;
2 = 2 0 = +2;2 = 2 0 = +0.67;2 = 2 - 0 = 1.67;
3 = 3 0 = 0; 3 = 3 0 = 0.33;3 = 3 - 0 = +1.33.
Уравнение связи имеет вид 0 + + 0 + + 0 + = 180.
Следовательно, + + = 180 17959 = 1.
Исключим из исходных уравнений , пользуясь соотношением =1 , и в каждом уравнении укажем оба неизвестных. Получаем следующую систему исходных уравнений:
A1 + B1 = 1;A4 + B4 = 1;
A2 + B2 = 2;A5 + B5 = 2;
A3 + B3 = 3;A6 + B6 = 3;
A7 + B7 = 1 1; A8 + B8 = 1 2;
A9 + B9 = 1 3,
где
A1 = 1;B1 = 0;A4 = 0;B4 = 1;A7 = 1;B7 = 1;