Монография: Общая теория измерений

1 ₁ = +0,67;

A₂ = 1;B₂ = 0;A₅ = 0;B₅ = 1;A₈ = 1;B₈ = 1;

1 ₂ = +2,67;

A₃ = 1;B₃ = 0;A₆ = 0;B₆ = 1;A₉ = 1;B₉ = 1;

1 ₃ = 0,33,

т.е.

1 + 0 = 2;0 + 1 = 0,33;

1 + 0 = +2;0 + 1 = +0,67;

1 + 0 = 0;0 + 1 = 0,33;

1 + 1 = +0,67;1 + 1 = +2,67;

1 + 1 = 0,33.

Теперь составим систему нормальных уравнений:

A₁₁ = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 6; A₁₂ = 1 + 1 + 1 = 3;

A₂₁ = 1 + 1 + 1 = 3;A₂₂ = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 6;

C₁ = 2 + 2 +0.67 + 2,67 0,33 = +3;

C₂ = 0,33 + 0,67 0,33 + 0,67 + 2,67 0,33 = +3.

Следовательно, нормальные уравнения примут вид

6 + 3 = 3;

3 + 6 = 3.

Вычислим определители Д, и :

;

;

и находим .

Следовательно, и .

Подставляя полученные оценки в исходные уравнения, вычислим невязки:

₁ = 2,33;₄ = 0,67 ;₇ = 0;

₂ = -1,67;₅ = -0,33;₈ = -2;

₃ = 0,33;₆ = 0,67;₉ = 1.

Вычислим оценки СКО результатов совокупных измерений: Д₁₁ =6; Д₂₂ = 6 (алгебраические дополнения элементов определителя Д):

.

Ввиду равноточности исходных уравнений и равенства оценок , , , можно не делать повторных вычислений, а записать, что .

Оценим доверительные границы погрешностей измерения для Р_д = 0,95 и t_p = 1,96:

.

Окончательно можно записать результаты измерения:

= 8957,3 1,4; = 455,7 1,4; = 4457 1,4; P_д = 0,95.

Задача 2. Найти с доверительной вероятностью P_д = 0,95 значения коэффициентов A, B, C в уравнении, связывающем сопротивление платинового термометра гр. 22 с его температурой

R(t) = R₀ (1 + A t + B t² + C t³).

При этом для t₀ = 0 C, R₀ = 100,00 Oм; t₁ = минус 50 C, R₁ = 80,00 Oм; t₂ = 30 C, R₂ = 111,85 Oм; t₃ = 60 C, R₃ = 123,60 Oм; t₄ = 90 C, R₄ = 135,24 Oм; t₅ = 120 C, R₅ = 146,78 Oм.

Решение. Данные измерения являются совместными. Запишем систему исходных уравнений в виде

A t_i + B t_i² + C t_i³ = F_i ;i =1,5,

Где

F_i = R_i / R₀ 1;

A (50) + B (50)² + C (50)³ = 0,210;

A 30 + B 30² + C 30³ = 0,118;

A 60 + B 60² + C 60³ = 0,236;

A 90 + B 90² + C 90³ = 0,352;

A 120 + B 120² + C 120³ = 0,468.

Систему исходных уравнений можно преобразовать в систему нормальных уравнений:

R₁₁ A + R₁₂ B + R₁₃ C = P₁;

R₂₁ A + R₂₂ B + R₂₃ C = P₂;

R₃₁ A + R₃₂ B + R₃₃ C = P₃,

где

R₁₁ = = 2,9500 10⁴; R₁₂ = R₂₁ = = 2,5750 10⁶;

R₁₃ = R₃₁ = R₂₂ = = 2,9299 10⁸; R₂₃ = R₃₂ = = 3,127710¹⁰;

R₃₃==3,580410¹²; P₁ = ; P₂== 1,004710⁴; P₃ = F_i = 1,1444 10⁶.

Систему можно записать в матричной форме [R] [X] = [P],

где X₁ = A; X₂ = B; X₃ = C.

Отсюда [X] = [P] [R]^-1,

и, решая, получим

= 3,9690410^-3 1/град.;

= 6,09710^-7 (1/град)²;

= 1,7010^-10 (1/град)³ .

Найдем определитель Д матрицы [R]:

Д = 3,899810²³.

Затем находим алгебраические дополнения матрицы [R]:

Д₁₁ = 1,075010¹⁹; Д₂₂ = 1,978010¹⁶; Д₃₃ = 2,012610¹².

Определим невязки уравнений связи:

_i = P_i A t_i + B t_i² + C t_i³; i =1,5;

₁ = 2,331810^-6; ₂ = -2,725410^-5; ₃ = 1,518910^-5;

₄ = -3,379210^-7; ₅ = 1,498810^-6.

Теперь можно найти оценки СКО результатов совместных измерений

(1/град);

(1/град)²;

(1/град)³.

Оценим доверительные границы погрешностей измерения. Для P_д = 0,95, t_р = 1,96

= 1,962,9810^-7 5,810^-7 (1/град);

= 1,964,9910^-9 9,810^-9 (1/град)²;

= 1,965,0310^-11 9,910^-11 (1/град)³.

Окончательно можно записать

A = (3,969040,00058) 10^-3 (1/град);P_д = 0,95;

B = (6,0970,098) 10^-7 (1/град)²;P_д = 0,95;

C = (1,700,99) 10^-10 (1/град)³;P_д = 0,95.

Задания

Задача 1. Проведены совокупные измерения емкости двух конденсаторов. Получены следующие результаты: С1 = 0,2071 мкФ;

С₂ = 0,2056 мкФ; C1+ C2 = 0,4111 мкФ; C1C2/(C1+C2) = 0,1035 мкФ, найти с доверительной вероятностью Р_д = 0,99 результаты совокупных измерений емкостей C1 и C2.

Задача 2. Найти с доверительной вероятностью Pд = 0,95 значения коэффициентов A, B, C в уравнении, связывающем сопротивление платинового термометра гр. 21 с его температурой

R(t) = R₀ (1 + A t + B t² + C t³).

При этом для t₀ = 0 C, R₀ = 46,00 Oм; t₁ = минус 20 C, R₁ = 42,34 Oм; t₂ = 20 C, R₂ = 49,64 Oм; t₃ = 40 C, R₃ = 53,26 Oм; t₄ = 60 C, R₄ = 58,86 Oм; t₅ = 100 C, R₅ = 63,99 Oм.

Контрольные вопросы

1. Что такое совокупные измерения?

2. Чем совместные измерения отличаются от совокупных?

3. Что собой представляет система исходных уравнений?

4. Что такое невязка уравнений связи?

5. Какова суть метода наименьших квадратов?

6. Каким образом составляется система нормальных уравнений и какие известны методы ее решения?

Практическая работа № 8.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ СИСТЕМАТИЧЕСКИХ

ПОГРЕШНОСТЕЙ

Цель работы: изучить систематические погрешности результатов наблюдений.

Теоретические сведения

Исключение известных систематических погрешностей из результатов наблюдений или измерений выполняем введением поправок к этим результатам. Поправки по абсолютному значению равны этим погрешностям и противоположны им по знаку. Введением поправок исключаем:

погрешность, возникающую из-за отклонений действительной температуры окружающей среды при измерении от нормальной;

погрешность, возникающую из-за отклонений атмосферного давления при измерении от нормального;

погрешность, возникающую из-за отклонений относительной влажности окружающего воздуха при измерении от нормальной;

погрешность, возникающую из-за отклонений относительной скорости движения внешней среды при измерении от нормальной;

погрешность, возникающую вследствие искривления светового луча (рефракции);

погрешность шкалы средства измерения;

погрешность, возникающую вследствие несовпадения направлений линии измерения и измеряемого размера.

Поправки по указанным погрешностям вычисляем в соответствии с указаниями табл. 1.

Таблица 1

^*L - непосредственно измеряемый размер, мм; l_ном - номинальная длина мерного прибора, мм; l_i - действительная длина мерного прибора, мм; Дl = l_i -l_ном; б₁, б₂ -коэффициенты линейного расширения средства измерения и объекта, 10^-6 град-¹; t₁,t₂ - температура средства измерения и объекта, °С; h - величина отклонения направления измерения от направления измеряемого размера, мм; Q - предельное значение допустимой силы ветра, Н; Р - сила натяжения мерного прибора (рулетки, проволоки), Н.

Поправки могут не вноситься, если действительная погрешность измерения не превышает предельной.

Задание

Задание. Определить систематические погрешности и записать результат с учетом различных параметров. Данные результатов измерений приведены в приложении, табл. 12.

Пример. Определить систематические погрешности и записать результат с учетом различных параметров.

Получен результат измерения длины стальной фермы x_i = 24003 мм. Измерение выполнялось трехметровой рулеткой из нержавеющей стали при t = минус 20 °С. При этом б₁ = 20,5·10-⁶, б₂ = 12,5·10^-6, t₁ = t₂= минус 20 єC, l_ном = 3000 мм, l_i = 3002 мм, h = 35 мм, P = 9 Н, Q = 1,2 Н.

Поправка на температуру окружающей среды

Действительную длину x_i фермы с учетом поправки на температуру окружающей среды принимаем равной

.

Поправка на относительную скорость внешней среды

Действительную длину x_i фермы с учетом поправки на относительную скорость внешней среды принимаем равной

.

Поправка на длину шкалы среднего измерения

Действительную длину x_i фермы с учетом поправки на длину шкалы средства измерения принимаем равной

Поправка на несовпадение направлений линии измерения и измеряемого размера

Действительную длину x_i фермы с учетом поправки несовпадения направлений линии измерения и измеряемого размера принимаем равной

Действительную длину x_i фермы с учетом всех поправок принимаем равной

Контрольные вопросы

1. Каковы основные признаки, по которым классифицируются погрешности измерений?

2. Какие существуют методы обнаружения и оценки систематических погрешностей?

3. Каковы правила суммирования систематических погрешностей.

Практическая работа № 9.

ПРЕДВАРИТЕЛЬНАЯ ОЦЕНКА ВИДА

РАСПРЕДЕЛЕНИЯ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЯ

Цель работы: изучить предварительную оценку вида распределения результатов измерений.

Теоретические сведения

Для предварительной оценки вида распределения по полученным данным строят гистограмму распределений или полигон распределения. Вначале производится группирование - разделение данных от наименьшего до наибольшего на r интервалов. Для количества измерений от 30 до 100 рекомендуемое число интервалов 7-9. Ширину интервала выбирают постоянной для всего ряда данных, при этом следует иметь в виду, что ширина интервала должна быть больше погрешности округления при записи данных. Ширину интервала вычисляют по формуле

.

Вычисленное значение h обычно округляют. Например, при h = 0,0187 это значение округляют до h = 0,02. Установив границы интервалов, подсчитывают число результатов измерений, попавших в каждый интервал. При построении гистограммы или полигона распределения масштаб этих графиков рекомендуется выбирать так, чтобы соотношение высоты графика к его основанию было примерно 3:5.

Задания

Задание. Построить гистограмму и полигон распределения по полученным экспериментальным данным ?????.КАКИМ

Пример. Построить гистограмму и полигон распределения по полученным экспериментальным данным, приведенным в табл. 1.

Определить ширину интервала

мм.

Построить гистограмму распределений (рис. 1), подсчитав число экспериментальных данных, попавших в каждый интервал.

Таблица 1