Монография: Общая теория измерений

Составим вариационный возрастающий ряд из результатов измерений: 36,007; 36,008; 36,009; 36,010; 36,011; 36,012.

Найдем расчетное значение критерия для значения 36,012:

.

Как следует из табл. 5, по этому критерию результат 36,012 не является промахом при всех уровнях значимости.

2. Предварительная оценка вида распределения результатов измерений или случайных погрешностей

При числе измерений меньше 15 предварительная оценка вида распределения результатов наблюдений не производится.

3. Оценка закона распределения по статистическим критериям

При n < 15 принадлежность экспериментального распределения к нормальному не проверяется.

4. Определение доверительных границ случайной погрешности

При числе измерений n = 11 используем распределение Стьюдента, при этом доверительные границы случайной погрешности .

Коэффициент Стьюдента при доверительной вероятности Рд = 0,95 и при n = 11 равен 2,23.

Тогда доверительные границы случайной погрешности

.

5. Определение границ неисключенной систематической погрешности результата измерения

Границы неисключенной систематической погрешности принимаются равными пределам допускаемых основных и дополнительных погрешностей средства измерения. Для рычажного микрометра допускаемая погрешность равна ± 0,7 мкм.

6. Определение доверительных границ погрешности результата измерения

Погрешность результата измерения определяется по следующему правилу. Если границы неисключенной систематической погрешности < 0,8 Sx, то следует пренебречь систематической составляющей погрешности и учитывать только случайную погрешность результата. В нашем случае = 1,4 мкм, а = 2 мкм, т. е. соотношение < 0,8 выполняется, поэтому систематической погрешностью пренебрегаем.

7. Запись результата измерения

Результат измерения: при доверительной вероятности Р = 0,95.

Контрольные вопросы

1. Как определить доверительные границы случайной погрешности?

2. Перечислите последовательность обработки результатов прямых многократных измерений.

3. Перечислите правила построения графиков.

4. Каким образом проводится проверка на наличие грубых погрешностей в результатах измерения по критерию Диксона?

Практическая работа № 12

Проверка гипотезы о согласованности эмпирического и теоретического распределения по составному критерию

Цель работы: изучить гипотезу о согласованности эмпирического и теоретического распределения по составному критерию.

Теоретические сведения

Для проверки нормальности закона распределения результата измерения по составному критерию рассчитывается соотношение

и проверяется выполнение условия

d_min ? d ? d_max,

где d_min и d_max зависят от вероятности Р, с которой принимается решение.

Значения d_min и d_max находим по таблице.

Таблица

Если условие выполняется, то дополнительно проверяются “хвосты” теоретического и эмпирического законов распределения вероятности. При 10 ? n ? 20 считается допустимым отклонение одного из независимых значений результата измерения х_i от х больше, чем на 2,5S, а при 20 < n < 50 допускается не более двух отклонений, т. е. проверяется условие допускается не более 2-х отклонений, т. е. проверяется условие

.

При выполнении обоих условий гипотеза о согласованности эмпирического и теоретического распределения принимается с вероятностью

Р Р* + Р*^х - 1,

где Р* - вероятность, с которой определяются d_min и d_max Р* = =0,98.

Если хотя бы одно из этих условий не выполняется, то гипотеза не принимается.

Задание 1. Проверить гипотезу о нормальности закона распределения вероятности результата измерения по составному критерию. Повторные измерения силы тока дали следующие результаты, представленные в табл. 15 приложения, массив экспериментальных данных взять в соответствии со своим вариантом.

Задание 2. Проверить гипотезу о согласованности эмпирического распределения результатов прямых измерений приведённых в табл. 1 приложения с теоретическим. Для проверки использовать критерий Пирсона. Результаты вычислений занести в таблицу.

Таблица

Пример: проверить гипотезу о согласованности эмпирического распределения результатов прямых измерений приведённых в табл. 1 с теоретическим для уровней значимости q = 1 - P = = 0,1; 0,05; 0,01.

Решение

Так как число измерений n не превышает 50, для проверки гипотезы о виде закона распределения будем использовать составной критерий d, рекомендованный ГОСТ 8.207 - 76 “ГСИ. Прямые измерения с многократными наблюдениями. Методы обработки результатов наблюдений. Основные положения”.

1) Результаты наблюдений (см. приложение табл. 2) группируем в интервальный вариационный ряд;

2) строим гистограмму или полигон;

3) исходя из вида гистограммы выдвигаем гипотезу о нормальном законе распределения результатов;

4) по формулам (1) и (3) вычисляем оценки среднего арифметического и среднего квадратического отклонения ? (см. пример 1, практическая работа №2);

5) смещенная оценка среднеквадратического отклонения результатов наблюдений S определяется по формуле

,

S = 1,79;

6) определяем значение составного критерия d по формуле

;

7) гипотеза о принадлежности эмпирического распределения нормальному справедлива, если выполняется условие:

,

где , - квантили распределения .

По табл. 2 приложения для числа опытов n = 50 находим: ; .

Поскольку 0,7518 < 0,7650 < 0,8481, гипотеза о принадлежности эмпирического распределения нормальному справедлива с вероятностью 95 %.

Контрольные вопросы

1. Сущность и виды проверки статистических гипотез.

2. Выбор критериев для проверки статистических гипотез.

3. Перечислите основные принципы расчета критериев для проверки статистических гипотез.

4. Что представляет собой гипотезу о нормальном законе распределения результатов?

Практическое занятие № 13

ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ ПРОИЗВЕДЕННЫХ ИЗМЕРЕНИЙ

Цель работы: произвести оценку произведенных измерений.

Теоретические сведения

1. Оценка точности измерений производится:

- до начала измерений путем обработки результатов специально выполненных наблюдений;

- после окончания измерений путем обработки результатов наблюдений, выполненных в процессе этих измерений.

2. Для оценки точности измерений используются многократные наблюдения параметра в одном из установленных сечений (мест) или двойные наблюдения параметра в разных сечениях (местах) одного или нескольких объектов измерений.

Общее число наблюдений М, необходимое для оценки точности результата измерений, составляет:

для предварительной оценки - 20;

для оценки точности выполненных измерений - не менее 6.

Для уменьшения влияния систематических погрешностей на результат измерения наблюдения производятся в прямом и обратном направлениях, на разных участках шкалы отсчетного устройства, меняя установку и настройку прибора и соблюдая другие приемы, указанные в инструкции по эксплуатации на средства измерения. При этом должны быть соблюдены условия равноточности наблюдений (выполнение наблюдений одним наблюдателем, тем же методом, с помощью одного и того же прибора и в одинаковых условиях).

Перед началом наблюдений средства измерений следует выдерживать на месте измерений до выравнивания температур этих средств и окружающей среды.

3. Оценка точности измерений производится путем определения действительной погрешности измерения и сравнения ее с предельной погрешностью.

В случаях, когда нормирована относительная погрешность измерения, определяется действительная относительная погрешность.

4. Действительная погрешность измерения при многократных наблюдениях определяется по формуле

,

где - среднее квадратическое отклонение измерения; t - коэффициент (принимают по табл. 1).

Таблица 1

Среднее квадратическое отклонение (СКО) измерения при многократных наблюдениях параметра определяется по формуле

,

где x_j - результат наблюдения; x - результат измерения, полученный по многократным наблюдениям параметра (среднее арифметическое); М - число равноточных результатов наблюдений, выполняемых для предварительной оценки; m - число наблюдений параметра, выполняемых при контроле в данном сечении (месте).

Если при измерениях используются средства и методы, для которых из специально выполненных ранее измерений или из эксплуатационной документации установлено среднее квадратическое отклонение наблюдения Sмет , то действительная погрешность измерения определяется по формуле

5. Действительная погрешность результата измерения при двойных наблюдениях параметра в одном из установленных сечений (местах) оценивается по формуле

,

где - абсолютное значение остаточной систематической погрешности, численное значение которой определено из обработки ряда двойных наблюдений.

Задание. Произвести оценку точности произведенных измерений, заполнить таблицу, используя данные табл. 2.

Таблица 2