Материал: О пифагорейской математике

И все - таки самым интригующим свойством правильных тел является то, что их существует всего пять. Доказательством этого факта завершается последняя X111 книга "Начал" Евклида. В самом деле, сумма плоских углов S при вершине выпуклого многогранника должна быть строго меньше 360 , а число граней при вершине m>3. Значит, гранями правильных тел могут быть только три правильных многоугольника: треугольник, квадрат, и пятиугольник, ибо уже для шестиугольника S=120º 3=360º. Из правильных треугольников можно составить три правильных тела: m=3 - тетраэдр, m=4 - октаэдр и m=5 - икосаэдр (m=6 S=60º 6=360º). Из квадратов и правильных пятиугольников - только по одному (куб и додекаэдр) при m=3 (при m=4 S=90º 4=360º) - для квадратов и S=108º 4=432º - для пятиугольников.

Трудно найти человека, у которого имя Пифагора не ассоциировалось бы с теоремой Пифагора. Пожалуй, даже те, кто в своей жизни навсегда распрощался с математикой, сохраняют воспоминания о «пифагоровых штанах» - квадрате на гипотенузе, равновеликом двум квадратам на катетах. Причина такой популярности теоремы Пифагора триедина: это простота - красота - значимость. В самом деле, теорема Пифагора проста, но не очевидна. Это сочетание двух противоречивых начал и придает ей особую притягательную силу, делает ее красивой. Но, кроме того, теорема Пифагора имеет огромное значение: она применяется в геометрии буквально на каждом шагу, и тот факт, что существует около 500 различных доказательств этой теоремы (геометрических, алгебраических, механических и т.д.), свидетельствует о гигантском числе ее конкретных реализаций. Открытие теоремы Пифагором окружено ореолом красивых легенд. Прокл, комментируя последнее предложение первой книги «Начал» Евклида, пишет: «Если послушать тех, кто любит повторять древние легенды, то придется сказать, что эта теорема восходит к Пифагору; рассказывают, что он в честь этого открытия принес в жертву быка». Впрочем, более щедрые сказители одного быка превратили в одну гекатомбу, а это уже целая сотня. И хотя еще Цицерон заметил, что всякое пролитие крови было чуждо уставу пифагорейского ордена, легенда эта прочно срослась с теоремой Пифагора и через две тысячи лет продолжала вызывать горячие отклики. Так, оптимист Михаил Ломоносов (1711--1765) писал: «Пифагор за изобретение одного геометрического правила Зевсу принес на жертву сто волов. Но ежели бы за найденные в нынешние времена от остроумных математиков правила по суеверной его ревности поступать, то едва бы в целом свете столько рогатого скота сыскалось». А вот ироничный Генрих Гейне (1797-1856) видел развитие той же ситуации несколько иначе: «Кто знает! Кто знает! Возможно, душа Пифагора переселилась в беднягу кандидата, который не смог доказать теорему Пифагора и провалился из-за этого на экзаменах, тогда как в его экзаменаторах обитают души тех быков, которых Пифагор, обрадованный открытием своей теоремы, принес в жертву бессмертным богам».

Сегодня теорема Пифагора обнаружена в различных частных задачах и чертежах: и в египетском треугольнике в папирусе времен фараона Аменемхета первого (ок. 2000 до н.э.), и в вавилонских клинописных табличках эпохи царя Хаммурапи (XVIII в. до н.э.), и в древнеиндийском геометрическо-теологическом трактате VII -V вв. до н.э. «Сульва сутра» («Правила веревки»). В древнейшем китайском трактате «Чжоу-би суань цзинь», время создания которого точно не известно, утверждается, что в XII в. до н. э. китайцы знали свойства египетского треугольника, а к VI в. до н.э. и общий вид теоремы. Несмотря на все это, имя Пифагора столь прочно сплавилось с теоремой Пифагора, что сейчас просто невозможно представить, что это словосочетание распадется. То же относится и к легенде о заклании быков Пифагором. Да и вряд ли нужно препарировать историко-математическим скальпелем красивые древние предания. Сегодня принято считать, что Пифагор дал первое доказательство носящей его имя теоремы. Увы, от этого доказательства также не сохранилось никаких следов.

Я рассмотрю некоторые классические доказательства теоремы Пифагора, известные из древних трактатов. Сделать это полезно еще и потому, что в современных школьных учебниках дается алгебраическое доказательство теоремы. При этом бесследно исчезает первозданная геометрическая аура теоремы, теряется та нить Ариадны, которая вела древних мудрецов к истине, а путь этот почти всегда оказывался кратчайшим и всегда красивым. Итак, Теорема Пифагора.

Рис. 11

"Квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик сумме квадратов, построенных на его катетах".

Простейшее доказательство теоремы получается в простейшем случае равнобедренного прямоугольного треугольника. Вероятно, с него и начиналась теорема. В самом деле, достаточно просто посмотреть на мозаику равнобедренных прямоугольных треугольников (рис. 11), чтобы убедиться в справедливости теоремы. Например, для ∆ABC: квадрат, построенный на гипотенузе АС, содержит 4 исходных треугольника, а квадраты, построенные на катетах,- по два. Теорема доказана.

Древнекитайское доказательство. Математические трактаты Древнего Китая дошли до нас в редакции II в. до н.э. Дело в том, что в 213 г. до н.э. китайский император Ши Хуан-ди, стремясь ликвидировать прежние традиции, приказал сжечь все древние книги. Во II в. до н.э. в Китае была изобретена бумага и одновременно начинается воссоздание древних книг. Так возникла тематика в девяти книгах» - главное из сохранившихся математико-астрономических сочинений в книге «Математики» помещен чертеж (рис. 12, а), доказывающий теорему Пифагора.

Рис. 12

Ключ к этому доказательству подобрать нетрудно. В самом деле, на древнекитайском чертеже четыре равных прямоугольных треугольника с катетами а, b и гипотенузой с уложены так, что их внешний контур образует квадрат со стороной а+b, а внутренний - квадрат со стороной с, построенный на гипотенузе (рис. 12, б). Если квадрат со стороной с вырезать и оставшиеся 4 затушеванных треугольника уложить в два прямоугольника (рис. 12, в), то ясно, что образовавшаяся пустота, с одной стороны, равна с², а с другой - а²+Ь², т.е. с²=а²+Ь². Теорема доказана. Заметим, что при таком доказательстве построения внутри квадрата на гипотенузе, которые мы видим на древнекитайском чертеже (рис. 12, а), не используются. По-видимому, древнекитайские математики имели другое доказательство. Именно если в квадрате со стороной с два заштрихованных треугольника (рис.12, б) отрезать и приложить гипотенузами к двум другим гипотенузам (рис.12, г), то легко обнаружить, что полученная фигура, которую иногда называют «креслом невесты», состоит из двух квадратов со сторонами а и b, т.е. с²=а²+Ь²

На рисунке 13 воспроизведен чертеж трактата «Чжоу-би». Здесь теорема Пифагора рассмотрена для египетского треугольника с катетами 3, 4 и гипотенузой 5 единиц измерения. Квадрат на гипотенузе содержит 25 клеток, а вписанный в него квадрат на большем катете - 16. Ясно, что оставшаяся часть содержит 9 клеток.

Это и будет квадрат на меньшем катете

Древнеиндийское доказательство. Математики Древней Индии заметили, что для доказательства теоремы Пифагора достаточно использовать внутреннюю часть древнекитайского чертежа. В написанном на пальмовых листьях трактате «Сиддханта широмани» («Венец знания») крупнейшего индийского математика XII в. Бхаскары помещен чертеж (рис.14,а) с характерным для индийских доказательств словом «смотри!».

Рис. 13

пифагор математический философия число

Как видим, прямоугольные треугольники уложены здесь гипотенузой наружу и квадрат с² перекладывается в «кресло невесты» а²-b² (рис.14, б). Заметим, что частные случаи теоремы Пифагора (например, построение квадрата, площадь которого вдвое больше площади данного квадрата) встречаются в древнеиндийском трактате «Сульва сутра» (VII -V вв. до н.э.).

Доказательство Евклида

Приведено в предложении 47 первой книги «Начал». На гипотенузе и катетах прямоугольного треугольника АВС строятся соответствующие квадраты (рис. 15) и доказывается, что прямоугольник BJLD равновелик квадрату ABFH, а прямоугольник ICEL - квадрату АСКС. Тогда сумма квадратов на катетах будет равна квадрату на гипотенузе. В самом деле, затушеванные на рисунке треугольники ABD и BFC равны по двум сторонам и углу между ними: FB=AB, BC==BD и ÐFBC=d+ÐABC=ÐABD. Но S_ABD=1/2 S_BJLD, так как у треугольника ABD и прямоугольника BJLD общее основание BD и общая высота LD. Аналогично S_FBC=1\2 S_ABFH (BF-общее основание, АВ-общая высота).

Рис. 15

Отсюда, учитывая, что S_ABD=S_FBC , имеем S_BJLD= S_ABFH. Аналогично, используя равенство треугольников ВСК. и АСЕ, доказывается, что S_JCEL=S_ACKG. Итак, S_ABFH+S_ACKG=S_BJLD+S_JCEL= S_BCED , что и требовалось доказать. Доказательство Евклида в сравнении с древнекитайским или древнеиндийским выглядит чрезмерно сложным. По этой причине его нередко называли «ходульным» и «надуманным». Но такое мнение поверхностно. Теорема Пифагора у Евклида является заключительным звеном в цепи предложений 1-й книги «Начал». Для того чтобы логически безупречно построить эту цепь, чтобы каждый шаг доказательства был основан на ранее доказанных предложениях, Евклиду нужен был именно выбранный им путь.

Еще давно была изобретена головоломка, называемая сегодня «Пифагор». Нетрудно убедиться в том, что в основе семи частей головоломки лежат равнобедренный прямоугольный треугольник и квадраты, построенные на его катетах, или, иначе, фигуры, составленные из 16 одинаковых равнобедренных прямоугольных треугольников и потому укладывающиеся в квадрат. Такова лишь малая толика богатств, скрытых в жемчужине античной математики - теореме Пифагора. Далее я рассмотрю несколько алгебраических доказательств теоремы.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ ПИФАГОРА

Пусть Т- прямоугольный треугольник с катетами а, b и гипотенузой с (рис.16, а). Докажем, что с²=а²+Ь².

Построим квадрат Q со стороной а+Ь (рис.16, б). На сторонах квадрата Q возьмем точки А, В, С, D так, чтобы отрезки АВ, ВС, CD, DA отсекали от квадрата Q прямоугольные треугольники Т₁, Т₂, Т₃, Т₄ с катетами а и b. Четырехугольник ABCD обозначим буквой Р. Покажем, что Р - квадрат со стороной с.

Все треугольники Т₁, Т₂, Т₃, Т₄ равны треугольнику Т (по двум катетам). Поэтому их гипотенузы равны гипотенузе треугольника Т, т. е. отрезку с. Докажем, что все углы этого четырехугольника прямые.

Пусть a и b- величины острых углов треугольника Т. Тогда, как вам известно, a+b= 90°. Угол у при вершине А четырехугольника Р вместе с углами, равными a и b, составляет развернутый угол. Поэтому a+b=180°. И так как a+b= 90°, то g=90°. Точно так же доказывается, что и остальные углы четырехугольника Р прямые. Следовательно, четырехугольник Р - квадрат со стороной с.

Квадрат Q со стороной а+Ь слагается из квадрата Р со стороной с и четырех треугольников, равных треугольнику Т. Поэтому для их площадей выполняется равенство S(Q)=S(P)+4S(T).

Так как S(Q)=(a+b) ²; S(P)=c² и S(T)=1/2(ab), то, подставляя эти выражения в S(Q)=S(P)+4S(T), получаем равенство (a+b)²=c²+4(1/2)ab Поскольку (a+b)²=a²+b²+2ab, то равенство (a+b)²=c²+4(1/2)ab можно записать так: a²+b²+2ab=c²+2ab. Из равенства a²+b²+2ab=c²+2ab следует, что с²=а²+Ь².

ЕЩЕ ОДНО АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

Пусть АВС - данный прямоугольный треугольник с прямым углом С. Проведем высоту CD из вершины прямого угла С (рис.17).

По определению косинуса угла (Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе) соsА=AD/AC=AC/AB. Отсюда AB*AD=AC². Аналогично соsВ=BD/BC=BC/AB. Отсюда AB*BD=ВС². Складывая полученные равенства почленно и замечая, что AD+DB=AB, получим: АС²+ВС²=АВ(AD + DB)=АВ². Теорема доказана.

В заключении еще раз хочется сказать о важности теоремы. Значение ее состоит, прежде всего, в том, что из нее или с ее помощью можно вывести большинство теорем геометрии. К сожалению, невозможно здесь привести все или даже самые красивые доказательства теоремы, однако хочется надеется, что приведенные примеры убедительно свидетельствуют об огромном интересе сегодня, да и вчера, проявляемом по отношению к ней.

Все задачи, связанные с решением квадратных уравнений, решались пифагорейцами геометрически с помощью циркуля и линейки. Геометрические методы этих уравнений были хорошо разработаны, причем никаких проблем с несоизмеримостью при геометрических построениях не возникало. Казалось, в геометрической алгебре надолго воцарился безоблачный покой.

Однако уже в V в. до н.э. появились задачи, которые никак не удавалось решить с помощью циркуля и линейки. Это знаменитые три классические задачи древности, которые были окончательно решены только в XIX в., то есть через два с половиной тысячелетия! Вот эти задачи:

1. Удвоение куба. Построить куб, объем которого в два раза больше объема данного куба.

2.       Трисекция угла. Произвольный угол разделить на три равные части.

.        Квадратура круга. Построить квадрат, равновеликий данному кругу.

Остановимся подробно лишь на первой задачи, поскольку ее поразительное по красоте решение было найдено на рубеже - вв. до н.э. последним и наиболее выдающимся представителем пифагорейской школы Архитом. Что касается двух других классических задач, то они также были решены примерно в это же время софистом Гиппием из Элиды и его учеником Диностратом. Гиппий дал способ построения особой линии, называемой квадратрисой, (должна быть сноска) с помощью которой и было найдено решение задач о трисекции угла и квадратуре круга. Но ни решение Архита, ни решение Гиппияи Динострата не были классическими решениями задач древности, так как они либо привлекали другие построения, кроме построений циркулем и линейкой, либо (как у Архита) выходили их плоскости в пространство.

Начиная с эпохи Возрождения, с возрождением интереса к античному наследию и развитием математики, страсти вокруг классических задач разгораются с новой силой. Простота постановки задач завораживала и притягивала как магнит. Поток "решений" рос как снежный ком, так что в 1775г. Парижская Академия наук. Лишь в 1837 г. французский математик Пьер Ванцель (1814-1848) доказал, что задачи удвоения куба и трисекции угла сводятся к решению кубических уравнений

которые неразрешимы в квадратных радикалах и, значит, не могут быть решены с помощью циркуля и линейки. Еще через 50 лет, в 1882 г., немецкий математик Карл Линдеман (1852-1939) доказал трансцедентность (от лат. transcendent - выходящий за пределы) числа (т.е. тот факт, что число не удовлетворяет никакому алгебраическому уравнению с целыми коэффициентами), а значит, и невозможность построения квадратуры круга с помощью циркуля и линейки.

Но вернемся к задаче об удвоении куба. Эту задачу называют делосской проблемой, ибо с ней связана красивая легенда. Однажды на острове Делос вспыхнула эпидемия чумы. Испуганные жители острова обратились за советом к Дельфийскому оракулу, который сказал, что нужно удвоить золотой жертвенник богу Аполлону, имеющий форму куба. Простодушные делосцы отлили еще один куб и поставили его на первый. Однако чума не унималась. Тогда они вновь обратились к оракулу, и оракул ответил, что они не решили поставленной задачи: новый жертвенник имел вдвое больший объем, но не имел формы куба. Не найдя нужного решения, жители Делоса обратились к Платону, но великий философ ответил уклончиво: "Боги недовольны вами за то, что вы мало занимаетесь геометрией". Платон сам не знал решения задачи, которую вскоре блестяще решил его друг Архит.

Архит из Тарента (ок. 428-365 гг до н.э.) ярчайшая личность в античной истории. Живое воплощение пифагорейского идеала, последний представитель раннего пифагорейства. Математик и механик, философ и музыкант, полководец и политический деятель, Архит первым упорядочил механику на основе математики, работал над деревянной моделью летающего голубя. Архит является автором арифметической теории пропорций, изложенной в VII книге "Начал" Евклида.