Материал: О пифагорейской математике

арифметическая: a-b=c-d;

геометрическая: a:b=c:d; (12)

гармоническая:

Помимо пропорций пифагорейцы особое внимание уделяли непрерывным пропорциям, или средним величинам, то есть таким пропорциям, у которых средние члены совпадали (b=c). Пифагорейцы не только изучали математические свойства средних, но и наполняли их глубоким эстетическим содержанием. Об этом красноречиво свидетельствует следующий отрывок из платоновского "Тимея": "Невозможно, чтобы две вещи совершенным образом соединились без третьей, так как между ними должна появиться связь, которая скрепляла бы их. Это наилучшим образом может выполнить пропорция..."

Полагая в (12) b=c и переобозначая d через c, получим следующие выражения для средних:

арифметическое среднее: a-b=d-c => b=

геометрическое среднее: a:b=b:c => b=  (13)

гармоническое среднее:

Арифметическое среднее понималось пифагорейцами арифметически: как отрезок b, меньший большего отрезка a и больший меньшего c на одну и туже величину a-b=b-c. Геометрическое среднее (b=ac) - геометрически: как площадь квадрата со стороной b, равновеликого прямоугольнику со сторонами a и c. Наконец, гармоническое среднее - как арифметическое среднее для обратных величин. Гармоническое среднее играло большую роль в пифагорейской теории музыки гармонии, откуда и происходит его название.

Среди множества геометрических средних уникальным свойством обладает одно, делящее данный отрезок a на две части x и a-x в геометрической пропорции, то есть так, что отношение целого отрезка a к его большей части x равняется отношению большей части x к меньшей a-x:

a:x=x:(a-x) (14)

Эта геометрическая пропорция приводит к уравнению:

x+ax-a=0,

которое имеет один положительный корень:

x=aφ ; φ =

Заметим, что  = Ф = , то есть φ·Ф=1.

Найдем разложение φ в непрерывную дробь. Рассмотрим бесконечную непрерывную дробь:

 (15)

в знаменателе которой нетрудно обнаружить выражение 1+х, т.е.

Отсюда находим уравнение

и его положительный корень х=φ. Следовательно, дробь (15) и есть искомое разложение для φ.

Эта удивительная пропорция, в эпоху Возрождения, была названа Леонардо да Винчи (1452-1519) золотым сечением.

Отметим одно любопытное свойство всех трех средних величин, которое, как утверждает Ямвлих во "Введении в никомахову арифметику", Пифагор привез из Вавилона. Пусть даны две величины a>d. Составим их среднее арифметическое b= и среднее гармоническое c=.

Легко показать, что b>c:

b>c <=  >,

то есть a>b>c>d. Кроме того, легко видеть, что

то есть выполняется основное свойство пропорции (bc=ad), и, следовательно, среднее арифметическое и среднее гармоническое двух величин a и d образуют с ними геометрическую пропорцию:

a: (16)

Эта пропорция играла значительную роль в пифагорейской теории музыки, отчего ее часто называют музыкальной.

Построение средних геометрических было средством извлечения квадратных и кубических корней у древних греков. Фактически извлечение квадратного корня сводилось к построению одной средней геометрической к двум данным величинам: a:x=x:b, x= . Извлечение кубического корня сводилось к построению двух средних геометрических к двум данным величинам: a:x=x:y=y:b. Отсюда x=  и y= .

Гармоническое среднее (a-b):(b-c)=a:c определялось Архимедом и Платоном. Гармоническое среднее связывалось с законами музыкальных созвучий, а также и тем, что куб имеет 12 ребер, 8 вершин и 6 граней, где 8-среднее гармоническое чисел 12 и 6. Если 12 и 6 крайние члены пропорции находятся в отношении 2:1 длин струн актавы, то среднее арифметическое 9-образует кварту (отношение 4:3), а среднее гармоническое 8-квинту (отношение 3:2); вся пропорция имеет вид 12,9,8,6.(Э.Кольман) Пропорции помогали пифагорейцам "извлекать числа из вещей" и щедро раскрывали перед ними свои сокровища. Возможно, что именно изучение геометрической пропорции и геометрической средней привело пифагорейцев к их главному и трагическому открытию - открытию несоизмеримости.

Открытие несоизмеримости, то есть обнаружение таких величин, отношение которых не может быть выражено с помощью отношения целых чисел, является наивысшим достижением пифагорейской школы и поворотным этапом в развитии всей математики.

В последствии эта ситуация была названа первым кризисом в математике.

Точно не известно, решение какой конкретной задачи привело пифагорейцев к открытию несоизмеримости. Это могло быть сделано в любом из пифагорейских учений: т.к. в арифметике при нахождении средней геометрической чисел 1 и 2, и в геометрии при отыскании общей меры диагонали и стороны квадрата, и в музыке при попытках разделить октаву пополам, что также приводит к нахождению средней геометрической между числами 1 и 2.

ТЕОРЕМА. Сторона AB и диагональ AC квадрата несоизмеримы, т.е. отношение AC:AB не выражается отношением целых чисел.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

Допустим противное. Пусть AC и AB соизмеримы,

то есть их отношение равно отношению целых

чисел: AB=m:n, (17)

причем числа m и n одновременно не являются

четными, так как иначе дробь можно было бы

сократить на 2. Возводя (12) в квадрат, имеем

По теореме Пифагора , т.е. , и, значит,

m:n=2 => m=2n,

то есть m четно. Согласно учению о четном и нечетном (произведение двух чисел четно тогда и только тогда, когда, по крайней мере, один из сомножителей четен) m также четно, то есть m=2k, откуда m=4k. Тогда

4k=2n, или 2k=n,

то есть n четно, и, следовательно (учение о четном и нечетном), n также четно. Итак, m и n одновременно являются четными, что противоречит предположению о не сократимости. Это противоречие доказывает теорему.

Как видим, доказательство несоизмеримости носит чисто пифагорейский характер, так как целиком основано на учении о четном и нечетном. Но и в этом открытии была трагедия пифагорейцев, родившись в недрах пифагорейского учения, это доказательство наносило смертельный удар породившему его учению. Это открытие опрокидывало всю философскую систему пифагорейцев, которые были убеждены, что элементы чисел являются элементами всех вещей, и весь мир в целом является гармонией и числом". Но никаких чисел, кроме целых и их отношений, пифагорейцы не знали.

Согласно преданию, несоизмеримость открыл сам Пифагор и это открытие долго держалось в тайне. Лишь ученик Пифагора Гиппас, как утверждает Ямвлих, "открыл недостойным участия в учениях природу пропорции и несоизмеримости". За это, продолжает Ямвлих, пифагорейцы "его столь возненавидели, что не только изгнали его из общего товарищества, но даже соорудили ему могилу, как будто некогда бывший их товарищ, в самом деле, ушел из земной жизни".

Но, будучи истинными рыцарями науки, пифагорейцы пытались преодолеть кризис, вызванный открытием несоизмеримости. Они стали изучать эти "неразумные" величины, которые мы сегодня называем иррациональными (от лат. irrationalis - неразумный). Так, иррациональность отношения диагонали и стороны квадрата пифагорейцы объясняли тем, что оба этих отрезка состоят из бесчисленного множества точек и поэтому их отношение сводится к отношению двух бесконечно больших целых чисел. Хотя эта мысль не выдержала критики для геометрических объектов, находящихся в рациональных отношениях, по отношению к иррациональным числам она является справедливой. Действительно, всякое иррациональное число можно с любой степенью точности представить в виде отношения двух целых, причем, чем больше будут эти числа, тем точнее их отношение будет выражать иррациональное число.

К концу Vв.до н.э. пифагореец Теодор из Кирены(? -369 до н.э.), математик, астроном и музыковед, учитель Теэтета, показал, что стороны квадратов, площади которых равны 3, 5, 6,…,15, несоизмеримы со стороной единичного квадрата, т.е. числа √3, √5, √6,…, √15 иррациональные. Мы не знаем доказательства Теодора, но ясно, что он рассматривал каждую иррациональность в отдельности. Существуют различные гипотезы относительно того, почему Теодор не смог доказать иррациональность следующего числа: √17 и выше. Наиболее убедительная из них утверждает, что все доказательства Теодора основывались только на учении о четном и нечетном, а первое число, для которого этот способ не проходит, как раз и есть √17.

Но уже в самом начале IV в. до н.э. (по-видимому, в 399 г. до н.э., в год казни Сократа) юным и талантливым учеником Теодора Теэтетом было получено общее доказательство иррациональности чисел вида , где N-целое число, не являющееся полным квадратом. В доказательстве Теэтет, по-видимому, опирался на основную теорему созданной им же теории делимости: произведение двух целых чисел AB делится на простое число P тогда и только тогда, когда, по крайней мере, один из сомножителей делится на P. Если бы знать эту теорему, то доказательство иррациональности  (NM) фактически не отличается от доказательства иррациональности √2. Позднее Теэтет доказал иррациональность чисел вида , а также рассмотрел иррациональности вида   ,  N, и предпринял попытку классификации иррациональностей. Эти результаты Теэтета собраны в X-ой, наиболее трудной, книге "Начал" Евклида.

Итак, открытие несоизмеримости не загнало пифагорейцев в тупик, напротив, стимулировало развитие новых, красивых и глубоких теорий. Открытие несоизмеримости было едва ли не первым теоретическим результатом, который невозможно получить с помощью опыта. Более того, оно противоречило всей измерительной практике, ибо в жизни все величины соизмеримы в пределах точности измерительного инструмента.

Открытие несоизмеримости оказало решающее влияние на все дальнейшее развитие греческой математики. Поскольку некоторые геометрические объекты не измерялись отношением целых чисел, то есть естественно было предположить, что геометрические объекты являются величинами более общей природы, чем рациональные числа. Поэтому в пифагорейской школе предпринимается попытка построить всю математику, основываясь не на арифметике, а на геометрии. Для этого величины (и в первую очередь числа) представлялись отрезками, площади и все алгебраические операции (в том числе и извлечение корня) интерпретировались геометрически. Так в пифагорейской школе родилась "геометрическая алгебра".

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ АЛГЕБРА

Почему все доказательства теоремы Пифагора были геометрическими? Почему древние греки боялись алгебры и фактически свели ее к геометрии?

Чтобы выйти из тупика, в который пифагорейцев поставила задача о несоизмеримости, рассматривались два пути:

) либо расширить понятие числа так, чтобы новыми числами стало возможный характеризовать отношение любых двух геометрических отрезков;

) либо строить математику на основе геометрии, определив для геометрических величин все алгебраические операции.

Числа стали мыслится в виде отрезков, полученных повторением конечного числа раз некого единичного отрезка. Сложение чисел-отрезков производилось путем приставления одного отрезка к другому вдоль некоторой прямой, вычитание путем отбрасывания от большего отрезка меньшего. Умножение представлялось в виде построения прямоугольника на этих отрезках, площадь которого и выражала произведение чисел. Складывать и вычитать, позволялось только однородные величины (либо отрезки, либо площади). Деление определялось как задача "приложения площадей": "приложить" к данному отрезку c прямоугольник, равновеликий данному прямоугольнику ab, то есть найти вторую сторону x прямоугольника так, чтобы xc=ab. "Геометрическое деление": к стороне a=AB прямоугольника ab приставляется отрезок c, на котором достраивается прямоугольник BCEF (рис. 1).

Затем проводится диагональ FC до пересечения с продолжением стороны AD в точке K и строится внешний прямоугольник AKGF. Тогда закрашенные на рисунке прямоугольники ABCD и CEGH оказываются равновеликими, так как они получились из равных треугольников AFK и FKG путем отбрасывания двух равных ab=cx частей:

Δ BCF = Δ FCE и ΔCDK = ΔCKH.

Итак, сторона FG, равная стороне CH искомая сторона x.

Геометрически вводились и многие алгебраические соотношения.

Например:

a(b+c+d)=ab+ac+ad; (18)

(a+b)=; (19)

 (20)

Геометрическая интерпретация тождеств:

┌─────┬──────────┬─────────┐

│ │ │ │

a│ ab │ ac │ ad │

│ │ │ │ a(b+c+d)=ab+ac+ad

│ │ │ │

└─────┴──────────┴─────────┘c d

Рис. 3

Доказательство первых двух тождеств очевидно из рисунков 3 и 4.

Для доказательства третьего к прямоугольнику ab=ABCD достроим квадрат b=BCFE, найдем точку G делящую отрезок AE пополам, то есть AG=GE=, и построим квадрат GHKE= (рис.5). По построению прямоугольник AGMD равен прямоугольнику BEKL, поэтому исходный прямоугольник ABCD равновелик гномону GEKLCM, так как у них GBCM - общая часть, а остальные части равны. Но гномон GEKLMC является разностью двух квадратов: GEKH= и MCLH=. Таким образом,