Материал: О пифагорейской математике

Но в том-то и прелесть пифагорейских доказательств, что они не требуют никаких предварительных знаний и в буквальном смысле очевидны.

Фигурное представление чисел помогало пифагорейцам открывать законы арифметических операций, а также легко переходить к числовой характеристике геометрических объектов-измерения площадей и объемов. Так, представим число 10 в двух формах:

* *

* *

* * * * * * * 5 • 2 = 2 • 5 = 10,

* * * * * * *

* *

легко "увидеть" переместительный закон умножения:

ab = ba.

В том же числе 10 можно "разглядеть" и распределительный закон сложения относительно умножения:

(2+3)Ì2 = 2Ì2 + 3Ì2 =10

Важнейшей частью пифагорейской арифметики было учение о четных и нечетных числах. Не случайно Платон в своих диалогах неоднократно определял арифметику как " учение о четном и нечетном". Четное и нечетное были для пифагорейцев не только основными понятиями теории чисел, но и важнейшими философскими категориями. Пара четное-нечетное наряду с такими, как предел-беспредельное, доброе-злое, включалась в 10 пар противоположностей, которые пифагорейцы считали началами всего сущего. Приведем в качестве примера первые пять положений учения о четном и нечетном:

) сумма четных чисел является четной;

) сумма четного количества нечетных чисел четна;

) сумма нечетного количества нечетных чисел нечетна;

) четное минус четное есть четное;

) четное минус нечетное есть нечетное;

Числа четные делятся на равные части, тем самым они выражают, по мнению пифагорейцев, некоторую неопределенность. В отличие от них нечетные делятся на неравные части, и они имеют середину. Числам нечетным приписывается определенность. Например, семь делится на части три и четыре, число четыре есть середина семи, так как до четырех содержится три единицы и после четырех надо прибавить еще три единицы, чтобы получить семь.

Основной результат учения о четном и нечетном можно сформулировать так: произведение двух чисел четно тогда и только тогда, когда, по крайней мере, один из сомножителей четен. Именно на эту теорему опирается доказательство знаменитой теоремы о несоизмеримости. ( Сторона и диагональ квадрата несоизмеримы.)

Пифагорейцы изучали некоторые особенные целые числа, как, например, дружественные числа. Это такие числа, одно из которых равно сумме множителей другого. Неоплатоник Ямвлих (около 250-325 гг. н.э.), принадлежащий поздней школе пифагорейцев - неоплатоников, приписывает Пифагору открытие дружественных чисел 220 и 284.

Вершиной пифагорейского учения о четном и нечетном является учения о совершенных числах. Совершенным называется натуральное число, равное сумме всех своих правильных (т.е. меньших этого числа) делителей.

Например:

6 = 1 + 2 + 3; 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14;

Если сумма делителей оказывалась больше самого числа, то его называли "сверхсовершенным", если она была равна числу - «совершенным", а если меньше - "недостаточным".

Огромную роль сыграло учение о четном и нечетном в доказательстве утверждения: если сумма 1 + 2 + 2 + ... + 2 = p является простым числом, то число 2p будет совершенным.

Доказательство этого утверждения сводится к доказательству двух утверждений:

) других делителей, кроме

1, 2, 2,..., 2, 2 ;

p, 2р,  p, ..., 2 p, (5)

у числа 2p нет:

) сумма делителей равна самому числу, то есть

1 + 2 + 2 + ... + 2 + p (1 + 2 + 2 + ... + 2)=2p. (6)

Первое утверждение доказывается с помощью учения о четном и нечетном

(Книга II предложение 21-34). Доказательство второго утверждения легко провести на "камешках".

В самом деле, так как по условию 1+2+2+ … +2=p, то, сокращая в (6) обе части равенства на p, имеем:

1+(1+2+2+…+2)=2. (7)

Теперь изобразим данную сумму фигурными числами:

┌─┬─┐ 1+1=2;└─┴─┘

┌─┬─┐

├─┴─┤ 1+1+2=4;

└───┘

┌─┬─┬───┐

├─┴─┤ │ 1+1+2+4=8;

└───┴───┘

┌─┬─┬───┐

├─┴─┤ │

├───┴───┤ 1+1+2+4+8=16;

│ │

└───────┘

откуда легко «усмотреть» равенство (7).

Учитывая (7), получим компактную форму записи совершенного числа 2p:

2p=2(1+2+2+…+2…+2)=2(2-1+2)=2(2)

Итак, число

q=2(2-1) (8)

является совершенным при тех значениях n, при которых число p=2-1 является простым. Легко найти первые подходящие значения n:

n=1 p=3 q=2p=6;

n=2 p=7 q=2 p=28;=4 p=31 q=2 p=496;=6 p=127 q=2 p=8128.

Первые четыре совершенных числа были известны пифагорейцам.

Изучение свойств натуральных чисел привело пифагорейцев к еще одной задаче, задаче о нахождении тройки чисел (положительных) x,y,z которые были решением уравнения x+y=z. Решение этой задачи приписывается Пифагору и поэтому тройки называются пифагорейскими тройками. Ясно, что если x,y,z какая-то тройка пифагоровых чисел, то nx,ny,nz, тоже пифагоровы тройки. Поэтому будем искать простые тройки, т.е. не имеющих общих сомножителей. Начало покажем, что в каждой из таких троек x,y,z один из "катетов"(x или y) должен быть четным, а другой-нечетным.

. Если предположим, что оба "катета" четные, то четным будет и число , а значит z-четное. Но это противоречит условию о том, что числа не имеют общих множителей.

. X, y - нечетные, следовательно z четное, но и этого не может быть, так как если x=2p+1, y=2q+1, то. Получим, что z представляет число, которое при делении на 4 дает остаток 2. Между тем, если считать z=2r, то z=4r и значит z: 4. Опять противоречие. Остается, что один из катетов четный, другой нечетный. Поэтому x+y - нечетное, а значит z - нечетное.

Числа (z+y) и (z-y) взаимно просты. Если бы они не были взаимно просты, то имели бы общий делитель, предположим d. Тогда

z+y=dk, а z-y=dm.

Выражая из этих равенств z и y получаем:

z= y=

а это означает, что d является общим делителем z и y, а это противоречит условию задачи. Но если произведение взаимно простых чисел есть точный квадрат, то каждое число есть квадрат целого числа, то есть: z+y=m, z-y=n. Решив систему:

получаем z= , y=, тогда x=mn

Пифагор представил следующие правило для нахождения сторон прямоугольного треугольника:

Пропорции

Характерной особенностью пифагорейского мышления было не просто стремление все измерить, но и соизмерить, то есть сравнивать измеренные величины и тем самым раскрывать внутренние связи между ними. Вот почему пропорции, то есть равенства отношений, стали изучаться раньше, чем сами отношения. Пифагорейцы разрабатывали: 1) арифметическое учение о пропорциях с 3-мя типами этого рода пропорций: арифметической, геометрической и гармонической; 2) пропорции 5-ти правильных геометрических тел; 3) музыкальные пропорции внутри октавы; 4) пропорции основных физических элементов, то есть земли, воды, воздуха и эфира.

Для того чтобы составить представление о существе этих пропорций и об их теснейшей взаимосвязи, нужно базироваться на платоновских материалах. Филолай о пяти правильных телах и присущих им пропорциях, о непрерывной и прерывной пропорции. Диадическое начало, понимаемое у пифагорейцев и у Платона как отношение 1:2, повторяется везде совершенно одинаково. Как от точки мы переходим к прямой, пользуясь этим отношением, так от прямой к плоскости и от плоскости к телу.

Если считать за точку 1, а 2 за прямую, то 2·2=4 будет плоскостью, а 4·2=8 будет телом. От обычной пропорции диада отличается только тем, что обладает зрительным характером, в данном случае геометрическим. С помощью диады греки объединяли переход от одного измерения пространства к другому, то есть диада есть принцип становления, в отличие от нестановящегося и устойчивого бытия, которое они называли "монадой".

Итак, дробь как число для пифагорейцев не существовала, поскольку единица была неделимой. Поэтому дробь (а/b) понималась не как доля единицы, а как отношение двух целых чисел.

Отношение a:b и c:d называли равными, если у a и b существовал такой общий делитель p, а у c и d-делитель q, что

a=mp; c=mq

b=np; d=nq (то есть )

(в частности, при n=1 a=mb, c=md). Тогда пары целых чисел разбивались на пресекающиеся классы пар, имеющих одинаковые отношения:

Наименьшая пара - полностью определяет свой класс. Сегодня эту пару (несократимую дробь) мы бы назвали рациональным числом, определяющим данный класс. В основе большей части доказательств теории отношений лежал универсальный способ нахождения наибольшего общего делителя двух чисел. Этот способ и сегодня с успехом применяется в теории чисел и называется алгоритмом Евклида. Суть алгоритма Евклида состоит в том, что а делят на b с остатком, затем b делят на этот остаток и т.д. В современном виде это можно записать вот так, где r остаток при делении.

 (9)

Евклид доказал, что:

1)      если r=1, то НОД (а,b)=1, т.е. числа а и b взаимно простые;

)        если r =0, то НОД (а,b)=r.

Запишем систему в виде:

 (10)

подставляя последующие равенства в предыдущие, получим

 (11)

где m целая часть от деления. Дробь (11) называется непрерывной. Из самого принципа построения непрерывной дроби видно, что если она конечна, то, значит, числа a и b имеют общую меру, то есть число  является рациональным. Бесконечная непрерывная дробь будет получатся в случае, если a и b несоизмеримы, то есть когда число иррациональное. Таким образом, непрерывная дробь является прекрасным критерием рациональности или иррациональности числа. Однако переход от алгоритма Евклида к непрерывным дробям был осуществлен только через 2000 лет, в эпоху Возрождения.

Понятие величины (отрезка прямой, опр-е см. V кн. "Начал" Евклида) определялось с помощью аксиом равенства и неравенства, и в частности двумя знаменитыми аксиомами.

."Говорят, что величины имеют отношение между собой, если они, взятые кратно, могут превзойти друг друга" ("Начала", книга V, определение 4). Иначе, для любых a и b существуют такие числа m и n, что ma>b и nb>a.

."Говорят, что величины находятся в том же отношении первая ко второй и третья к четвертой, если равнократные первой и третьей одновременно больше, или одновременно равны, или одновременно меньше равнократных второй и четвертой каждая каждой при какой бы то ни было кратности, если взять их в соответственном порядке" ("Начала", книга V, определение 5). Иначе, a:b=c:d, если для любых m и n справедливо одно из утверждений:

ma>nb => mc>nd;=nb => mc=nd;<nb => mc<nd.

Эта аксиома, ставшая через 23 века отправным пунктом современной теории действительных чисел, позволяла сравнивать отношения несоизмеримых величин. Оставалось только назвать отношение a:b числом (рациональным, если a и b имели общую меру, и иррациональным в противном случае). Однако это сделал только Ньютон в своей "Всеобщей арифметике" в 1707г.: " Под числами мы понимаем не столько множество единиц, сколько отвлеченное отношение какой-нибудь величины к другой величине того же рода, принятой нами за единицу". Но вернемся к пропорциям. И так, пифагорейцы знали три вида пропорций: