Материал: О пифагорейской математике

, откуда ab=

Рис. 5

Однако уже геометрическое произведение трех величин требовало пространственных построений, а произведение большего числа сомножителей вообще не поддавалось геометрической интерпретации в пространстве трех измерений. Вот почему античная геометрическая алгебра ограничивалась произведениями двух сомножителей, то есть основывалась на планиметрии, в которой все построения делались с помощью циркуля и линейки. По этой же причине геометрическая алгебра оказалась хорошо приспособленной для решения квадратных уравнений и фактически этим и ограничивалась.

Пифагорейцы рассматривали три типа геометрических задач, эквивалентных квадратным уравнениям:

. Построить квадрат, равновеликий прямоугольнику ab. На языке алгебры это означает решить уравнение

x= ab. (21)

2. К данному отрезку a приложить прямоугольник, равновеликий прямолинейной фигуре площади S, так чтобы "недостаток" был квадратом. Иначе, на отрезке a=AB построить прямоугольник ACDE площади S так, чтобы прямоугольник CBFD был квадратом. Обозначая сторону квадрата через x, приходим к уравнению

x (a-x) = S. (22)

3. К данному отрезку a приложить прямоугольник, равновеликий прямоугольной фигуре площади S, так, чтобы "избыток" был квадратом. Иначе, на отрезке a=AB построить прямоугольник ACDE площади S так, чтобы прямоугольник BCDF был квадратом (рис.6). Обозначая сторону квадрата через x, имеем

x (a+x) = S. (23)

Задачи 1-3 решались геометрически путем преобразования произведений ab, x (a-x) и x (a+x) в разности квадратов по формуле (20). Уравнение (21) при этом принимало вид:

,

то есть x, согласно теореме Пифагора, находился как катет прямоугольного треугольника с гипотенузой  и другим катетом . Построением такого треугольника и заканчивается II книга Евклидовских "Начал".

Для этого на отрезке AB=AC+CB=a+b как на диаметре стоим окружность (рис.7). Из точки C к прямой AB восстанавливаем перпендикуляр до пересечения с окружностью в точке D. Тогда в треугольнике ODC OD=, OC=. и, следовательно, по теореме Пифагора CD и есть искомая величина x. Таким образом, квадрат CDGH=x будет равновеликим прямоугольнику ACFE=ab. Итак, уравнение x=ab решено геометрически, или из величины ab геометрически извлечен квадратный корень.

Итак, одним из важнейших результатов открытия иррациональности было быстрое развитие геометрии. Понятие несоизмеримости, иррациональности связано с понятием бесконечности и непрерывности. Об этом говорил и Зенон в своих парадоксах.

В результате открытия "геометрической алгебры", на первое место выходит геометрия.

ГЕОМЕТРИЯ

"Пифагор преобразовывал геометрию, придавая ей форму свободной науки, рассматривая ее принципы чисто абстрактным образом и исследуя теоремы с нематериальной, интеллектуальной точки зрения. Именно он нашел теорию иррациональных количеств и конструкцию космических тел". Так оценивал вклад Пифагора в геометрию Прокл.

В самом деле, в школе Пифагора геометрия оформлялась в самостоятельную научную дисциплину. Именно Пифагор и его ученики первыми стали изучать геометрию систематически - как теоретическое учение о свойствах абстрактных геометрических фигур, а не как сборник прикладных рецептов по землемерию. При этом, что самое главное, свойства геометрических фигур устанавливались не путем измерений, а с помощью логических доказательств.

Обладая широчайшей областью практических приложений, геометрия первой из учений пифагорейцев, сбросила пелену "секретности" и стала популярной наукой.

Каково было содержание "Предание Пифагора", к сожалению, мы не знаем. Однако сохранились фрагменты из сочинений замечательного греческого математика середины V в. до н.э. Гиппократа с ионийского острова Хиоса. Так вот, в сочинениях Гиппократа Хиосского свойства плоских прямолинейных фигур предполагаются хорошо известными, тогда как свойства круга и хорд подробно изучаются. Поскольку до Гиппократа геометрией занимались только пифагорейцы, то естественно предположить, что все, что Гиппократ считал хорошо известным, было открыто пифагорейцами.

Пифагорейцы проявляли повышенный интерес к правильным телам. Правильные геометрические формы благодаря их "правильности", то есть наличию зеркальной или поворотной (а часто и той и другой) симметрии, как нельзя более отвечали всей пифагорейской философии о закономерном, структурно-упорядоченном гармоничном устройстве мироздания. Пифагорейцы доказали теорему о том, что плоскость можно сплошь (то есть без "дырок" и наложений) покрыть лишь тремя правильными многоугольниками: треугольниками, квадратами и шестиугольниками. Не представляет труда и построение этих правильных фигур, а также фигур, получаемых из них удвоением сторон.

Но вот построение правильного пятиугольника уже не столь очевидно. Мы не знаем, как строили правильный пятиугольник пифагорейцы. Но известно, что пятиконечную звезду - свой главный символ и опознавательный знак (пентаграмму) - они складывали из трех равнобедренных треугольников. А это пересекается с методом построения правильного пятиугольника, описанным у Евклида ("Начала" кн., пред. 11). Так что метод Евклида, возможно, восходит к пифагорейцам. Рассмотрим его.

Пусть дан вписанный в окружность равнобедренный треугольник ACD <C=<D=2<A. Проведем биссектрисы CE и DB углов C и D соответственно. Тогда углы 1-5 (рис.8) будут равны, а, следовательно, будут равны соответствующие им дуги и стягивающие их хорды, то есть AB=DC=CD=DE=EA. Итак, вписанный в окружность пятиугольник ABCDE будет равносторонним. Поскольку <6=<2 и <7=<5 как углы, опирающиеся на одинаковые дуги AE и AB соответственно, то все углы 1-7 будут равными и, следовательно, каждый угол пятиугольника ABCDE будет составлен из трех равных углов, то есть <A=<B=<C=<D=<E=3<1.

Рис. 8

Таким образом, построенный пятиугольник является равносторонним и равноугольным, то есть правильным. Позднее были найдены и другие способы построения правильного пятиугольника. Один из них описан в другом выдающемся сочинении античности - "Альмагесте" Птолемея, которое, подобно "Началам" Евклида в геометрии, является энциклопедией античных знаний по астрономии. Другой, в 1525 г., был открыт художником и ученым - Альбрехтом Дюрером. Однако он указал приближенный способ построения правильного пятиугольника.

Почему именно пентаграмму пифагорейцы выбрали в качестве символа приветствия и тайного опознавательного знака? Знакомство с математическими свойствами пентаграммы поможет ответить на этот вопрос.

Пусть окружность разделена на пять равных частей. Соединяя последовательно точки деления, получим правильный пятиугольник, диагонали которого образуют пятиконечную звезду, или звездчатый пятиугольник. Это и есть пентаграмма. Легко видеть, что внутри пятиконечной звезды вновь образуется правильный пятиугольник, диагонали которого дают новую звезду, и т.д., (рис. 9)

Рассмотрим треугольник ABC. Он равнобедренный, так как хорды AB и AC стягивают равные дуги. Далее,<A=36°, <B=<C=72° как вписанные в окружность углы, опирающиеся на дуги в 72°(=360°:5) и в 144°(=72°∙2) соответственно. Но <BCD равен 36° как опирающийся на дугу FB в 72°, и, следовательно, CD является биссектрисой в Δ ABC и отсекает от него

ΔBCD ~ ΔABC. Из подобия этих треугольников имеем AB:BC=BC:DB. Учитывая, что BC=CD=AD (так как в Δ ADC <A=<C и, следовательно, CD=AD), приходим к пропорции

 (24)

то есть данный отрезок AB так относится к его большей части AD, как большая часть относится к меньшей AB. Иначе говоря, точка D делит отрезок AB в золотой пропорции. Равнобедренный треугольник, у которого углы при основании (72°) вдвое больше угла при вершине (36°), обладает уникальным свойством: биссектриса угла при основании делит противоположную сторону в золотом сечении. За это свойство этот треугольник был прозван средневековыми математиками возвышенным.

Именно золотое свойство возвышенного треугольника и использовал Евклид для его построения, а значит, и для построения правильного пятиугольника (см. рис.8). В самом деле, если данный отрезок AB точкой D разделить в золотой пропорции, а затем циркулем из точки B сделать засечку радиусом AD, а из точки A - радиусом, AB то точка пересечения C и будет вершиной возвышенного треугольника ABC. Далее остается лишь описать окружность около ABC и провести биссектрисы углов B и C до пересечения с окружностью. Окружность разделена на пять равных частей, и, значит правильный пятиугольник готов.

Остается показать, как во время Евклида делили отрезок в золотой пропорции. Величина x, делящая отрезок a в золотом сечении, запишем условие золотого сечения:

а : х = х : (а-х)

Эта пропорция приводит к уравнению:

положительный корень, которого можно представить в виде

 (25)

Греки это решение находили геометрически. Подкоренное выражение в (25), согласно теореме Пифагора, можно рассматривать как гипотенузу треугольника с катетами а и  (или как диагональ двойного квадрата со стороной ). Отнимая с помощью циркуля от гипотенузы отрезок , мы и найдем искомую величину х. Остается только (опять - таки с помощью циркуля) перенести отрезок х на отрезок а. (рис. 11). Золотое сечение отрезка а построено.

Рис. 10

Вернемся к пентаграмме. Принимая сторону AF=AD=1 исходного правильного пятиугольника за единицу, полагая DB=x и, следовательно, AB=1+x и подставляя все это в (24), приходим к уравнению

которое имеет единственный положительный корень :

x=

Так как

1-φ =1-  и

, то

 ,

и мы окончательно находим

AD=DC=CB=AF=...=1;

x=DB=AF=EF=...= φ;

ED=EG=GH=...=1- φ =  .

повторяя наши рассуждения для Δ DGH, в котором DG=φ, легко видеть,

что стороны внутренней звезды будут равны φ, а стороны ее внутреннего правильного пятиугольника - φ и т.д.

Таким образом, последовательность правильных пятиугольников и вписанных в них звезд образует бесконечно убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем =0,618...<1, или ряд золотого сечения:

,

причем стороны правильных пятиугольников образуют ряд четных степеней:

,

а стороны звезд - ряд нечетных степеней:

Итак, пентаграмма обладает массой интереснейших математических свойств:

. Лучи пентаграммы делят друг друга в золотой пропорции:

2. Сторона правильного пятиугольника, сторона вписанной в него пентаграммы и сторона образованного пентаграммой внутреннего пятиугольника также относятся в золотой пропорции:

3. Лучи пентаграммы, выходящие из одной точки, образуют возвышенный треугольник.

. Последовательность сторон правильных пятиугольников и вписанных в них пентаграмм образует ряд золотого сечения:

, (26)

который является бесконечно убывающей геометрической прогрессией со знаменателем φ<1 и обладает аддитивным свойством:

 (n=0,1,2,..).

5. Отрезки пентаграммы AB=Ф, AD=1, AE= и ED= связаны между собой всеми видами средних (11), известных пифагорейцам, а именно

AD=  - арифметическое среднее;

 - геометрическое среднее;

 - гармоническое среднее.

Подведем итог. Мы видим, что пентаграмма буквально соткана из золотой пропорции и всей видов средних. К математике присоединялась и числовая мистика: число 5=2+3 было для пифагорейцев числом любви как сумма первого женского (2) и первого мужского (3) чисел.

Перейдем теперь к правильным многогранникам. Их всего пять, и Пифагор знал лишь три тела - тетраэдр, гексаэдр, куб и додекаэдр, позднее Теэтет открыл и два оставшихся - октаэдр и икосаэдр.

По-видимому, сама природа подсказала пифагорейцам форму правильных тел: кристаллы поваренной соли имеют форму куба, кристаллы кварцев - октаэдра, а кристаллы пирита - додекаэдра.

Название правильному многограннику дается по числу его граней

Геометрическая характеристика правильных многогранников

Буква m в таблице обозначает число граней при вершине.

Пифагорейцы заметили, что в кубе число вершин (8) есть среднее гармоническое числа граней (6) и числа ребер (12) и поэтому назвали куб гармоническим телом. Позднее, ко времени Евклида было замечено, что куб и октаэдр, а также додекаэдр и икосаэдр дуальны (двойственны),т.е. число граней одного тела равно числу вершин другого и наоборот. Тогда одно тело может быть получено из другого, если центры тяжести граней одного принять за вершины другого или наоборот. Тетраэдр дуален сам себе.

Как построение правильного многоугольника начинается с окружности, точно также и сфера является основой для построения правильного многогранника. Как в правильном многоугольнике центры вписанной и описанной окружностей совпадают, так и в правильном многограннике совпадают центры вписанной и описанной сфер.