Материал: О пифагорейской математике

В механике и оптике Герону принадлежат следующие достижения: доказательство того, что равномерное движение складывается по правилу параллелограмма; доказательство равенства углов падения и отражения.

3.4 Диофант

До 300 г. к сокровищнице арифметики в том объеме, в котором она имелась во времена расцвета греческой геометрии, были присоединены лишь отдельные открытия. Только у Диофанта александрийского мы встречаем нечто новое, представляющее большой интерес.

Родился Диофант вероятно в III в., о его жизни нет почти никаких сведений, наши представления ограничиваются стихотворением-задачей, в которой говорится, что его отрочество составляло 1/6 его жизни, борода начала расти спустя 1/12, женился он после 1/7, и спустя пять лет у него родился сын, который прожил 1/2 возраста отца, а последний умер спустя четыре года после смерти сына. Составив и решив уравнение получаем, что Диофант прожил 84 года.

Диофант напрямую не принадлежал к пифагорейской традиции, хотя многое заимствовал у пифагорейцев. Главной отличительной чертой было понятие числа. Диофанта фактически разрушает понимание числа как величины. Для него число несет отголосок функциональной зависимости и появляются дроби.

Сохранилось часть математического трактата Диофанта "Арифметика", состоящая из 13 книг (до нас дошли только 6 книг). Теоретическая основа труда Диофанта и цель его исследований заключается в том, чтобы избежать иррациональных количеств. При помощи этой теории он в состоянии дать примеры определенных задач, приводимых к уравнениям с рациональными решениями, и, кроме того, дать обширный ряд неопределенных задач, для которых можно всегда найти рациональные решения.

Специфика Диофанта заключается в том, что он занимается лишь специальными числовыми задачами и для их решения пользуется лишь чисто числовыми операциями, не устанавливая никогда общих теорем.

Диофант не нуждается в геометрическом представлении чисел, чем резко и отличается от пифагорейцев, однако заимствует свою терминологию из мира геометрических представлений, говоря, например, прямоугольник вместо произведения.

У Диофанта мы впервые встречаем систематическое использование алгебраических символов.

Диофант нашел решения около 130 неопределенных уравнений, принадлежащих более чем к 50 различным классам. Общих методов решения неопределенных уравнений или их классификации у Диофанта нет. Нет и доказательств справедливости полученного результата, его истинность проверяется непосредственной подстановкой.

В "Арифметике", помимо изложения начал алгебры, приведено много задач, сводящихся к неопределенным уравнениям различных степеней, и указаны методы нахождения решений таких уравнений в рациональных положительных числах. Неопределенные квадратные уравнения встречаются в "Арифметике" прежде всего в виде :

Ax+ Bx + C=y

В зависимости от значений коэффициентов A,B,C возникают различные случаи решения. В случае когда В=0 Диофант дает способ нахождения произвольного числа неполного уравнения, если известен один из них. Диофант замечает, что уравнение решается лишь тогда, когда А является суммой двух квадратов. В случае полного уравнения он не сводит его к неполному виду, а рассматривает лишь случай, когда либо А, либо С являются полными квадратами, либо когда таковым является выражение В - АС.

Кроме этих уравнений, Диофант решает и системы (см. [29],[32]):

Типично для Диофанта то, что его интересуют только положительные рациональные решения. Иррациональные решения он называет "невозможными" и тщательно подбирает коэффициенты так, чтобы получались искомые положительные рациональные решения. Имел также представление об отрицательных числах, например знал, что квадрат отрицательного числа равен положительному числу.

Имя Диофанта прочно закрепилось и в той части теории чисел, которая изучает приближения действительных чисел рациональными. Эти приближения называются диофантовыми. К теории диофантовых приближений относят вопросы, касающиеся решения в целых числах неравенств или их систем.

Именем Диофанта названы два больших раздела теории чисел: теория диофантовых уравнений и теория диофантовых приближений. Сочинение Диофанта были отправной точкой для теоретико-числовых исследований Ферма, Эйлера, Гаусса и др. математиков.

В дальнейшем, следовавшие за Диофантом математики Римской эпохи были больше комментаторами, чем самостоятельными созидателями. К ним относятся например: Порфирий, Ямвлих, Прокл. Но наиболее яркими были Ямвлих и Прокл.

3.5 Ямвлих

Порфирий (233-304 гг.), ученик виднейшего представителя мистической философской школы неоплатонизма Плотина, написал комментарии к "Началам" Евклида. Его учеником был Ямвлих, который родился около 240-245 г. на севере Сирии в городе Халкиде. Было очень много споров о дате его рождения, остановились на данной.

Однако, спорными оказались не только даты жизни Ямвлиха, но и его место его ученичества и сами его учителя. Наиболее приемлемым считается, что Ямвлих учился в Александрии и Риме, где учился у Анатолия, а затем у Порфирия. Александрия к этому времени стала центром платонизма. Что незамедлительно сказалось на Ямвлихе. Нельзя было учится в Александрии и не быть платоником.

Ямвлих продолжает и углубляет основную тенденцию всего неоплатонизма, а именно тенденцию о трех ипостасях - единого, ноуменальной сферы и души.

К математическим трактатам Ямвлиха относится трактат "Телогумены арифметики" ("Арифметическая теология"), причем считается, что большая часть произведения приписывается кому-нибудь из учеников (точных сведений на этот счет нет). Данный трактат имеет очень большую ценность, так как это единственное дошедшее до нас произведение, в котором учение о числах, преимущественно пифагорейское учение о числах, изложено полно и разнообразно.

Трудность изучения возникает во-первых из-за разрозненности, иногда противоречивости материала; во-вторых, отсутствие внутренней системы; с одной стороны, речь идет о числах, тем не менее выводы делаются иной раз из чисел, а иногда выводы ничего общего с арифметикой не имеют, а носят философский характер.

Трактат включает в себя учение о единицы, двоицы, троицы и т.д. до девятерицы. Очень важно выделить учение о единице, которая мыслится как принцип всякого числа. Но это не просто единица как начало числового ряда это неделимая единица. Т.е. представить себе какое-нибудь отдельное число не значит представить его в виде механической суммы ничем не связанных единиц. Допустим говоря "миллион" мы не представляем себе огромное количество единиц, а представляем в виде одного неделимого целого.

Ямвлих также написал девять сочинений о союзе пифагорейцев, из которых сохранилось четыре. Наибольший интерес для истории математики представляет книга IV "О введении в арифметику Никомаха". Здесь Ямвлих приводит различные предложения пифагорейцев о квадратных и "продолговатых" числах, т.е. о числах вида n(n+1).

3.6. Прокл

Вторым великим комментатором данного периода был Прокл, родившийся родился в 412 г. в Византии (Константинополь), получил обычное образование для юноши хорошего происхождения (отец его был адвокатом), затем отправился в Александрии, где изучал риторику, латинский язык и право. Отправившись в Константинополь начинает изучать философию, а возвратившись в Александрию становится учеником Герона, который обучает его математики. Так как толкования философских текстов, предлагаемые его учителями, представлялись Проклу "недостойными философской мысли", Прокл отправляется в Афины, где продолжает свое обучение, приступив к таинствам Платонова учения. Впоследствии, после смерти Сириана, возглавлявшего Академию, Прокл становится главой Платоновской Академии в Афинах. (см. [6])

Прокл продолжает и углубляет философию Платона, особенно это касается философии числа. Им написаны комментарии ко всем диалогам Платона. Для математики наибольшее значение имеют его комментарии к книге "Начал" Евклида, являющиеся одним из важнейших источников истории геометрии. При составлении своих "Комментариев" Прокл пользовался рядом трудов, которые были затем утеряны, и сведения о них дошли до нас лишь благодаря Проклу.

"Комментарии" к первой книге Евклида начинаются двумя введениями (книгами). В первом говорится об отношении математики к философии, во втором - о геометрии ее предмете.

Всего в первой книге пятнадцать пунктов. Некоторые авторы отмечают ее сходство с Ямвлихом. Однако у Прокла отмечается почти полное отсутствие специальных и подчеркнутых отсылок к пифагорейским учениям, столь характерное для Ямвлиха. Прокл почти всегда ссылается на тексты Платона.

План второй книги состоит из 11 пунктов. В отличие от первой книги она более разнородна. В ней можно выделить три части: первая посвящена философии геометрии; вторая представляет собой "каталог геометров"; третья посвящена конкретно Евклиду, его сочинениям, характеристике "Начал" в целом и их первой книге.

Приступая затем к ее комментированию, Прокл разбирает по порядку исторически и критически каждое определение, постулат и аксиому, после чего переходит к предложениям. Как правило, он сначала объясняет доказательство, данное Евклидом, а потом указывает несколько конкретных примеров для упражнения, и в конце опровергает возражения, которые делались или могут быть сделаны относительно аргументов доказательства. Лишь в одном случае он добавляет самостоятельно от себя новое, а именно, пытаясь доказать V постулат о параллельности после того, как он привел попытку Птолемея и возражения против нее. Прокл, при доказательстве опирался на неявное предположение о том, что расстояние между непересекающимися прямыми, лежащими в одной плоскости, ограничено, что равносильно доказываемому постулату. Попытка Прокла также как и Птолемея оказалась неудачной. (см. [6], [32])

Попытки доказательства пятого постулата продолжались вплоть до открытия великим русским ученым Лобачевским Неевклидовой геометрии. Это открытие поставило точку на пятом постулате Евклида

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

"Лучший метод для предвидения будущего развития математических наук заключается в изучении истории и нынешнего состояния этих наук". А. Пуанкаре

Очевидно, что незнание опыта развития науки, неумение его анализировать делает нас беспомощными перед задачами будущего. Отсюда вытекает необходимость изучения истории любой науки и, конечно, математика не является исключением. Мы, естественно не претендуем на полноту изложения и анализа, тем не менее, надеемся, что в данной работе достаточно адекватно отразили историю развития и отличительные особенности более, чем тысячелетней научной и философской традиции пифагорейства. Вообще говоря, в методологии каждой науки принято различать 4 уровня ее структурного состава:

. факты, накопленные в результате экспериментов и наблюдений в ходе развития этой науки;

. гипотезы, т.е. основанные на обобщении этих фактов научные предложения, которые объясняют их и которые подвергаются в дальнейшем проверке опытом;

. теории и законы, т.е. подтвердившиеся гипотезы;

. методология, т.е. общетеоретические и философские истолкования этих законов и теорий, характеризующее общий подход к изучению данного предмета.

Все эти элементы тесно связаны и находятся в постоянном развитии. В работе была сделана попытка раскрыть содержание всех четырех пунктов на всех этапах развития пифагорейства. И хотя их общая характеристика была уже дана выше, все-таки хотелось еще раз остановиться на этом.

Бессмертную славу неоплатоникам-пифагорейцам принесла не только их непревзойденная философия числа и не только дедуктивно-аксиоматический метод, дошедший до нас почти в неизменном виде в "Началах" Евклида.

Изучая пифагорейскую математику мы на каждом шагу убеждаемся в поразительном их умении находить глубокие, "вечные" проблемы мироздания. До сегодняшнего дня ждет своего решения проблема совершенных чисел, единственную пока формулу для которых нашли пифагорейцы. Ждет объяснения (математиков и философов) тайна "золотого сечения". Лишь в 19 веке было строго доказано, что все три знаменитые задачи древности (трисекция угла, квадратура круга, удвоение куба), также восходящие к трудам пифагорейцев, неразрешимы с помощью циркуля и линейки. Однако пифагорейцы умели не только ставить задачи, но блестяще их решать, как показано в данной работе. Кроме того, они создавали универсальные методы, пригодные для решения не просто отдельных, а целого класса задач. Несмотря на скудность источников, мы также можем явно проследить процесс дифференциации отдельных математических дисциплин в рамках единой математики, осуществленный пифагорейцами и их последователями. Так уже в школе Пифагора из арифметики была выделена в отдельную область теории чисел, т.е. совокупность математических знаний, относящихся к общим свойствам операций с натуральными числами. В это же время происходит интенсивная систематизация геометрических сведений. Были написаны специальные книги, в которых излагались накопившиеся к этому времени геометрические знания, причем уже делались попытки аксиоматизации. Открытие пифагорейцами иррациональности послужило толчком к созданию геометрической алгебры. Ее первичными элементами были отрезки прямой, а одним из ее методов был метод приложения площадей. Это в свою очередь повлекло за собой необходимость создания общей теории отношений, способной оперировать с несоизмеримыми величинами, т.е. с иррациональными. Такая теория была создана Евдоксом во второй половине IV в. до н.э.

Недостаточность геометрической алгебры как общей математической теории была особенно подчеркнута выделением класса задач, не поддающихся решению с помощью циркуля и линейки. В попытках решить эти задачи были открыты "луночки" Гиппократа, "конические сечения " Аполлония, в свою очередь конические сечения предопределили появление координатной сетки. А методы Архимеда для нахождения площадей криволинейных фигур на плоскости представляют собой зачаток интегрального исчисления, построенного через две тысячи лет трудами Ферма, Ньютона, Лейбница и др.

Если апофеозом всей математики стали "Начала" Евклида, то апофеозом физики стали труды Архимеда по механике.

Достижения пифагорейцев не ограничиваются только математическими или физическими. Ими была создана теория музыки, которая более 2 тысячелетий является фундаментом искусства музыки. Нельзя также себе представить развитие греческой науки без астрономии.

Пифагорейцы впервые выделили астрономию как науку. И здесь им принадлежит множество открытий: измерение Земли, создание календаря Эратосфеном, определение времени солнцестояния и т.д. Но главным достижением является построение геоцентрической модели мира, достаточно эффективно служившей вплоть до появления коперниковской системы. Даже уже сказанного достаточно для вывода о том, что своими открытиями пифагорейцы заложили фундамент европейской науки.

Совершенство и одновременно простота многих открытий пифагорейства делает их вполне доступными современным школьникам. Опыт, хотя и небольшой, позволяет сделать вывод о значительном повышении уровня усвоения материала учениками при введении элементов истории математики, значительный интерес вызывают оригинальные доказательства древних, особенно изложенных в занимательной форме.

Так будем помнить сами и дадим нашим ученикам знание того неоспоримого и часто забываемого факта, что Древняя Греция - колыбель нашей науки, а открытия эллинского гения не только сопоставимы с современными, но и часто превышают их по глубине проникновения в самую суть природы вещей.

ЛИТЕРАТУРА

1. Лосев А.Ф. / История античной эстетики т. 1 М., 1994 г.

. Лосев А.Ф. / История античной эстетики. т. 2 М., 1994 г.

. Лосев А.Ф. / Миф. Сущность. Число./

. Прокл / Комментарий к первой книге "Начал" Евклида. Введение / Греко-латинский кабинет, М. 1994г.

. Евклид "Начала" I-VI книги. / Перевод и комментарии Д.Д. Мордухай-Болтовского. / М.; Л.: Гостехиздат, 1949 г.

Евклид "Начала" VII-X книги. / Перевод и комментарии Д.Д. Мордухай-Болтовского. / М.; Л.: Гостехиздат, 1949 г.

. Евклид "Начала" VII-X книги. / Перевод и комментарии Д.Д. Мордухай-Болтовского. / М.; Л.: Гостехиздат, 1949 г.

. Лебедев В.И. / Очерки по истории математики. Знаменитые задачи древности.

. Лебедев В.И. / Очерки по истории математики. Кто автор первых теорем.

. Цейтен Г.Г. / История математики в древние и средние века. перев. Юшкевича П. Государственное технико-теоретическое издательство . М.,1932 г.

. Стройк Д.Я. / Немного истории.