Материал: О пифагорейской математике

Начиная с III в. до н.э. и до середины прошлого века "Начала" были образцом строго логического изложения геометрии. Евклид исходил из определений геометрических понятий и аксиом. Характер определений у Евклида различен. В большинстве случаев они описательные, например: "Точка есть то, что не имеет частей" книга I. Но встречаются словесные определения, вроде определения 19 книги I: "Прямоугольные фигуры суть те, которые содержатся между прямыми", и аксиоматические, т.е. те, которые могут быть сформулированы в виде аксиом, например, определение I книги III: "Равные круги суть те, у которых диаметры равны или прямые из центра (радиусы) равны". Если определения предписаны почти каждой книге (кроме VIII, IX, XII и XIII), постулаты (их пять) и аксиомы (их девять) помещены впереди всего труда - в первой книге.

Постулаты - это требования построить некоторые простейшие фигуры. Построения, допустимые постулатами, предполагают линейку без делений, не допускающую измерения расстояний. Циркуль предназначался для описания из данной точки окружностей с данным радиусом.

Ограничения, наложенные на употребление линейки и циркуля, по-видимому, были связаны с тем, что эти инструменты заменили собой веревку, первоначально служившую как для проведения прямых, так и для описания окружностей.

Первые три постулата гласят: "Что от всякой точки до всякой точки «можно» провести прямую линию"; "Что ограниченную прямую «можно» непрерывно продолжать по прямой"; "Что из всякого центра и всяким раствором «может быть» описан круг". Четвертый постулат выдвигает требование равенства всех прямых углов между собой, которое теперь не считается постулатом, а доказывается. Смысл пятого постулата заключается в том, что точка пересечения двух прямых считается построенной, если при пересечении третьей прямой внутренние односторонние углы в сумме меньше двух прямых. Этот постулат получил название постулата параллельности. Попытки доказательства данного постулата делались еще со времен Евклида и продолжались на протяжении двух тысячелетий, пока в 1826 г. Русский математик Н.И. Лобачевский не создал свою неевклидову геометрию. Из этого вытекало, что пятый постулат доказать нельзя.

Каждое геометрическое предложение формулируется в общих выражениях, затем конкретно указывается на чертеже что дано и что требуется доказать или построить. После доказательства следует заключение, повторяющее начальную формулировку и заканчивающееся словами: "что и требовалось доказать" или "что и требовалось сделать".

На протяжении многих столетий до 19 в. изучение геометрии велось по "Началам" Евклида. Наши современные учебники имеют много общих черт с "Началами": планиметрия и стереометрия излагаются раздельно; теоремам предшествуют определения и аксиомы. Многие теоремы по содержанию совпадают с теми, которые имеются в "Началах".

2.3.2 Архимед

Величайшим математиком эпохи эллинизма был Архимед (287-212 гг. до н.э.), живший в Сиракузах, где он был советником царя Гиерона. Он - один из немногих ученых древности, которых мы знаем не только по имени, сохранились немногие сведения о его жизни. Архимед был убит, когда римляне взяли Сиракузы, при осаде которых было использовано защитниками техническое искусство ученого. Подобная склонность к практическим применениям представляется весьма необычной, если учесть как относились к этому ученые раннего периода.

Наиболее важный вклад Архимеда в математику относится к той области, которую теперь мы называем интегральным исчислением:

теоремы о площадях, плоских фигур и об объемах тел. Архимед впервые ввел понятие и рассмотрение верхней и нижней сумм, ограничивающих искомую величину (площадь или объем), разность между которыми становилась сколь угодно малой. Для прямой, окружности, конических сечений и спирали он доказал важнейшее свойство непрерывных величин: т.е. то, что они между двумя своими значениями принимают все промежуточные значения. Архимед нашел также способ сведения большого класса задач на экстремум к задачам на построение касательной.

В "Измерении круга" он нашел приближенное выражение для окружности, пользуясь вписанными и описанными правильными многоугольниками.

Одной ярко выраженной особенностью математического творчества Архимеда является его связь с механикой, гидростатикой и астрономией, сближение теории с практикой, вычислительной математике и развитие ее приемов.

В математике Архимеду принадлежит сочинение относящееся к полуправильным многогранникам, т.е. таких выпуклых многогранников, все грани которых - правильные многоугольники, более чем одного вида. Архимед нашел тринадцать таких тел, ограниченных 8,14,26,32,38,62 или 92 гранями, имеющими форму треугольников, квадратов, пятиугольников, шестиугольников, десятиугольников или двенадцати угольников.

Обилие вычислений у Архимеда отличает его от большинства математиков Греции.

.3.3 Эратосфен

Также одним из выдающихся математиков периода эллинизма был Эратосфен. О нем сохранилось сравнительно много биографических данных, родившемся в 276 или 275 (а по другим сведениям в 284) г. до н.э. в Кирене, на северном побережье Африки. Прожил почти всю свою жизнь в Александрии. Некоторое время Эратосфен провел в Афинах. Умер около 194 г. до н.э., ослепший и в полной нищете.

Дарования Эратосфена были разносторонни; Архимед их высоко ценил, но выдающихся трудов Эратосфен не создал.

До нас дошли лишь два собственно математических открытия Эратосфена: это его знаменитое "решето" ("коскинон") и его решение делийской проблемы. Решето Эратосфена представляет собой известный прием для нахождения всех простых чисел, меньших чем заданное число n, кроме числа 2, которое нужно добавить.

В комментарии к сочинению Архимеда "О шаре и цилиндре" Евтохий рассказывает историю делийской проблемы, ее легендарное возникновение и решения, предложенные Архитом, Евдоксом и Менехмом, причем все это в виде письма Эратосфена Птолемею. Хотя само письмо является подложным, но содержащееся в нем решение Эратосфена подлинно. Решение Эратосфена является механическим и осуществляется при помощи простого прибора, названного "месолабон". Эратосфен придавал своему открытию столь большое значение, что воздвиг колонну, посвященную Птолемею, с надписью, излагающей суть построения, и бронзовым изображением прибора.

Эратосфен является также автором сочинения "Платоникос", в котором основные математические понятия, в частности пропорции, а также принципы музыки рассматривались в свете платоновой философии.

Наряду с чисто математическими нельзя, однако, не упомянуть и астрономические работы Эратосфена, среди которых находится прославившее его имя измерение Земли, описанное им в отдельном сочинении. Это - первое исторически установленное определение размеров Земли. Эратосфен нашел, что длина большой окружности земного шара равна 250 000 египетских стадий, т.е. в зависимости от различных оценок, даваемых этой мере, заключена между 39 и 46 тысячами километров; эта оценка более точна, чем у Архимеда, и должна считаться необыкновенно удачной.

Сочинение "Измерение Земли" содержало и многие другие сведения по математической географии и астрономии. Эратосфен занимался также хронологией; ему приписывают разработку взамен старого египетского календаря с високосным годом в 366 дней каждый четвертый год. Этот календарь, приводивший в соответствие календарные даты с действительными временами года, был введен указом от 7 марта 238 г. до н.э., объявленном на собрании жрецов в Канопе.

2.3.4 Аполлоний

Третьим и последним из великих математиков эпохи эллинизма наряду с Евклидом и Архимедом был Аполлоний Пергский. Ели Евклиду мы обязаны знакомством с элементарной геометрией древних, то их теорию конических сечений мы знаем по великому труду Аполлония.

Аполлоний из Перги (ок. 260-170 гг. до н.э.),по-видимому, вел обучение в Александрии, где изучал математику у учеников Евклида, и в Пеогаме. Ярчайшим его достижением является трактат из восьми книг о конических сечениях ("О кониках"). Сохранилось семь книг из восьми, три из них только в арабском переводе.

Первые четыре книги содержат систематическое изложение главных свойств данных сечений. Эти свойства служат для приложения теории к решению задач на построение посредством пространственных мест. Навина исходной точки исследования Аполлония заключается в следующем : вместо того, чтобы рассматривать сечения конусов вращения плоскостями, находящихся в определенном положении, Аполлоний сразу же приступает к изучению произвольных плоских сечений. Затем, чтобы связать с этими сечениями некоторое планиметрическое свойство, способное лечь в основу для дальнейших исследований, Аполлоний обобщает прием изучения сечений, перпендикулярных к плоскости симметрии конуса, на произвольные сечения. Это обобщение позволяет относить конические сечения к любому ее диаметру и сопряженным с ним хордам.

Книга первая "Конических сечений" открывается определением кругового конуса, причем конус рассматривался по обе стороны от вершины. Здесь же выводились основные понятия теории конических сечений, вершина конического сечения, его диаметры, сопряженные диаметры.

Аполлоний получает эллипс, гиперболу или параболу в зависимости от того, пересекает ли плоскость одну только полость конуса, обе его полости или она параллельна одной из образующих конуса. Мы называем данные кривые, следуя Аполлонию, который впервые ввел эти термины. Данные названия выражают одно из свойств этих кривых, связанное с площадями и выражаемое, в наших обозначениях, уравнениями :

y=px, y=px+

(у Аполлония p и d - отрезки; знак "+" дает гиперболу, знак "-"дает эллипс). Парабола здесь значит "приложение", эллипс - "приложение с недостатком", гипербола - "приложение с избытком".

В первой книге Аполлоний также доказывает, что вид уравнения, которым характеризуется каждое из трех конических сечений, не зависит от линий (диаметра и сопряженной ему хорды), к которым оно отнесено. Т.е. доказывается инвариантность этого свойства при переходе от одной системы координат к другой.

Вторая книга начинается разделом об асимптотах гиперболы, а далее Аполлоний находит касательные и асимптоты к кривым второго порядка.

В III книге содержатся предложения о равенстве площадей прямоугольных фигур, образованных касательными и секущими конических сечений, выводятся фокусы эллипса, гиперболы и исследуются их свойства.

В IV книге Аполлоний определяет число точек пересечения двух кривых второго порядка и доказывает, что это число не превышает 4. Этот вопрос был важен для греков, так как именно точки пересечения нужны были для решения таких задач, как задача удвоения куба, для которой эти кривые и были изобретены. Четвертой книгой как бы завершалась более элементарная часть учения о конических сечениях.

В оставшихся четырех книгах Аполлоний рассматривает подобные сечения двух прямых подобных конусов; хорды, параллельные сопряженным диаметрам и доказывает теоремы о постоянстве суммы квадратов сопряженных диаметров и площади построенного на них параллелограмма и др.

Аполлоний занимался усовершенствованием системы счисления, значительно облегчил умножение больших чисел в греческой нумерации.

Теория конических сечений Аполлония была положена в основу "Введения" Ферма и "Геометрии" Декарта. У Аполлония не было общих произвольно взятых координат, но были координатный угол и координатные линии, всегда ориентированные по двум сопряженным направлениям кривой второго порядка. Этим он и предвосхитил идеи аналитической геометрии.

ГЛАВА 3. ЭЛЛИНИЗМ (ПОЗДНЕЕ ПИФАГОРЕЙСТВО)

После завоевания римлянами главных эллинистических стран характер математики в Александрии стал отличатся от математики периода эллинизма. Основной причиной изменения характера математики было широкое усвоение традиций математиков и астрономов Вавилона. В результате этого усвоения область практического применения математики расширилась, в особенности за счет применения к астрономии. На первое место начинает выдвигаться вычислительная математика, в частности возникает нужная астрономии тригонометрия.

Рассмотрение александрийской математики римской эпохи начнем с одного из самых ранних математиков Никомаха из Герасы.

3.1 Никомах

Никомах из Герасы (около 100 г.), его "Введения к арифметике" наиболее полное из сохранившихся изложений пифагорейской арифметики. Там рассматриваются большей частью те же вопросы, что и в арифметических книгах Евклида, но в отличие от Евклида Никомах пользуется арифметическими обозначениями.

"Введение к арифметике" следует считать не столько научным произведением, сколько популярным введением в пифагорейское учение о числах. По уровню изложения оно далеко отстает от Евклида. Никомах не дает настоящих доказательств, а только подтверждает предложения конкретными примерами. Из содержания "Введения к арифметике", кроме классификации чисел и отношений между ними, включая и многоугольные, пирамидальные и другие фигурные числа, заслуживает внимания, что Никомах, не давая формулы суммирования кубов чисел, тем не менее указывает, что в ряду нечетных чисел 1, 3, 5, 7, 9, 11, ... кубами являются 1, 3+5=2, 7+9+11=3, ... Однако, одним из крупнейших произведений Александрийской школы римского периода являются сочинения Птолемея.

3.2 Птолемей

Знаменитый греческий астроном, географ и оптик Птолемей, производивший свой наблюдения с 127 г. по 151 г. в Александрии, написал "Математическое собрание в XIII книгах", получившие позднее арабизированное название "Альмагест" ("Величайшее построение"). Это труд является превосходным изложением всех астрономических знаний того времени.

Книга I "Альмагеста" излагает теорию плоской и сферической тригонометрии, необходимой для составления таблиц хорд (синусов) и пользование ею.

Кроме "Альмагеста" Птолемей оставил нам "Съемку" и "Планисферий" - астрономические сочинения, широко применяющие математику. Первое сочинение излагает теорию ортогональной проекции небесной сферы на три взаимно перпендикулярные плоскости: меридиана, горизонта и вертикального круга. С помощью этих проекций решалась задача нахождения положения Солнца над горизонтом в определенный день и час для определенной широты.

"Планисферий" сохранился лишь в переводе с арабского и содержит сведения о проекции северной небесной полусферы на плоскость экватора из точки, помещенной в южном полюсе.

Однако, Птолемей занимался не только астрономией, но и уделял время математике. Как свидетельствует Прокл (см.[6]) у Птолемея был труд посвященный доказательству V постулата Евклида о параллельности. Итак, Птолемей сделал первую попытку из тех многочисленных попыток доказать V постулат, которые делались математиками разных веков и народов.

3.3 Герон

Одним из виднейших математиков эпохи эллинизма, писавшим почти по всем вопросам математики, механики, астрономии, был Герон Александрийский, родившийся в III в н.э. Сочинения Герона носили больше прикладные, чем теоретические цели. Им было создано практическое и теоретическое руководство по геодезии, служившее этой цели на протяжении многих веков.

В чисто теоретической области Герон оставил после себя комментарии к "Началам" Евклида. В другом сочинении, "Определения", он излагает геометрические термины, опираясь на учение Евклида. Ценность этого сочинения в том, что здесь даны различные определения отдельных геометрических понятий в их историческом развитии. (см. [32])

Наиболее важным геометрическим сочинением Герона является его "Метрика" (учение об измерении) в трех книгах. В них содержатся правила измерения площадей и объемов поверхностей; формула для вычисления площади неравностороннего треугольника, так называемая "формула Герона", которая была известна еще Архимеду. Причем, все эти правила строго доказываются. Другое же сочинение Герона, "Геометрия", напротив не содержит ни каких доказательств и даже формулировок в общем виде, а представляет собой набор конкретных задач.