Материал: О пифагорейской математике

И все-таки самой яркой страницей в научной биографии Архита является решение делосской проблемы. Если ребро данного куба равно a, а ребро искомого-x, то задача об удвоении куба приводит к уравнению

 (27)

Сегодня его решение без труда найдет каждый школьник

 (28)

но вот построит ли он циркулем и линейкой ?

Пифагорейцы не знали иррациональных чисел, поэтому они искали геометрическое решение задачи. В V в. до н.э. Гиппократ Хиосский показал, что решение делосской проблемы можно свести к отысканию двух средних пропорциональных x и y, называемых вставками, которые, будучи "вставленными" между данными a и 2a, образуют непрерывную пропорцию

 (29)

В самом деле, из первого равенства имеем x =ay, а из второго y =2ax. Следовательно,

Итак, первая вставка x и есть ребро искомого куба.

Архит заметил, что если из вершины M прямоугольного треугольника, опирающегося на диаметр, опустить перпендикуляр в точку C, а из C опустить перпендикуляр на другой катет (рис.18), то получится пять подобных треугольников. Назовем их треугольниками Архита. Достаточно рассмотреть три из них:

∆ADC ~ ∆AMC ~ ∆AMB,

отсюда

Это и есть непрерывная пропорция вида (29).

Рис. 18

Пусть теперь AB=2a и пусть точка M движется по полуокружности диаметра 2a от точки B к точке A. Тогда точка C будет двигаться по диаметру AB от точки B к точке A, а длина отрезка AD примет все возможные значения от 2a (при M=B) до 0 (при M=A). Следовательно, найдется такое промежуточное положение точки M, при котором AD=a. Тогда AC=x= и AM=y=.Это и будет решение делосской проблемы. Осталось только найти его.

Для этого Архит фиксирует в плоскости окружность диаметра, AB=2a. Назовем ее . На диаметре AB строится окружность  в перпендикулярной плоскости (по этой окружности и будет пробегать точка M). Далее Архит начинает вращать  вокруг точки A, причем положение точки M на  определяется положением тоски C, которая все время движется по .Таким образом, точка M пробегает  от точки B к точки A (рис19). Поверхность, которую окружность  опишет в пространстве, будет тором с внутренним диаметром, равным нулю. Поверхность, описываемая в пространстве перпендикуляром CM, будет круговым цилиндром с радиусом a и образующей CM. Наконец, траектория точки M будет линия пересечения  тора и цилиндра. Линия  в плоскостях, перпендикулярных плоскости окружности , определяет совокупность треугольников Архита (рис.19), у которых наибольшая гипотенуза постоянна AB=2a, а катет AD изменяется от 2a(когда ) до 0 (когда ).

Остается "поймать" нужное положение точки M на,  при котором AD=a. Для этого Архит делает следующее построение (рис.20) (Для большей наглядности на рисунках прямая  показана не как касательная.) Из точки A на . откладывается хорда =a, прямая  продолжается до пересечения в точке  с касательной к . в точке B, и затем строится конус с образующей и осью AB. Угол полураствора конуса =60° (так как ∆ прямоугольный, как опирающийся на диаметр, и AB=2a, =a). Конус пересекает цилиндр по некоторой линии . Так вот, пространственные линии  и  пересекаются и их точка пересечения M* и дает искомое положение точки M на окружности  или торе. Докажем это.

Пусть  - произвольная точка на  (рис. 21). Образующая цилиндра, проходящая через , пересекает . в точке . Пусть <=α (α ≤ 60), перпендикуляр, опущенный из точки  на , попадает в точку , а перпендикуляр, восстановленный из точки  к , попадает в точку  и пусть проходящее через  круговое сечение конуса пересекает AB в точке . Тогда линия  также будет определять совокупность треугольников Архита, которые также располагаются в плоскостях, перпендикулярных плоскости окружности . Рассмотрим подробнее эти треугольники.

Из Δ находим

 (30)

Из Δ, учитывая (30), имеем

. (31)

Из Δ, учитывая (31), находим

. (32)

Из Δ, обозначая < и учитывая (30) и (32), имеем

 (33)

Наконец, из Δ, учитывая (30) и (33), находим

.

Итак, точки  линии  определяют треугольники Архита, у которых катет  постоянен и равен a: =a, а наибольшая гипотенуза  изменяется от a (при ) до 8a (при ).

Таким образом, линия  определяет треугольники Архита с постоянной гипотенузой AB=2a, а линия  в тех же плоскостях определяет треугольники Архита, у которых наибольшая гипотенуза  изменяется от a до 8a, а катет  =a постоянен. Из соображений непрерывности следует, что найдется такая точка M*, на  в которой AB*=2a. При этом точка  треугольников Архита, определяемых  (см. рис.21), попадает на окружность, то есть лежит на поверхности тора (см. рис.20 ). Следовательно, линии  и  пересекаются и в точке их пересечения у треугольников Архита AB*=2a, AD*=a и, значит, AC*=a, что и дает решение делосской проблемы.

Итак, проекция точки пересечения цилиндра, тора и конуса на окружность  - точка C* - определяет решение задачи об удвоении куба. Таково решение делосской проблемы Архита- жемчужины античной геометрии.

2.2.2 Музыка

Музыка и математика. Сегодня эти два слова редко стоят вместе. Между тем в пифагорейской "математике" именно музыке суждено было стать первым, и, пожалуй, единственным физическим свидетелем, подтверждающим справедливость пифагорейского тезиса: «Все есть число". Родство с арифметикой в пифагорейской "математе" обогатило музыку методами построения ее фундамента - музыкальной гаммы, фундамента, на котором и было возведено прекрасное здание искусства музыки.

Согласно преданию, сам Пифагор обнаружил, что приятные слуху созвучия - консонансы (от лат. consonantia- созвучие) - получается лишь в том случае, когда длины струн, издающих эти звуки, относятся как целые числа первой четверки, то есть как 1:2, 2:3, 3:4. При этом также было замечено, что, чем меньше число n в отношении  (n=1,2,3), тем созвучнее интервал. Это открытие потрясло Пифагора. Еще бы: ведь столь эфемерное физическое явление, как звук и тем более приятное созвучие, поддавалось числовой характеристике. Именно это открытие впервые указывало на существование числовых закономерностей в природе, и именно оно послужило отправной точкой в развитии пифагорейской философии.

Закон целочисленных отношений в консонансах был открыт Пифагором. Он ставил эксперименты, не меняя натяжение струны с помощью различных грузов, а меняя длину струны на монохорде.

Монохорд был одним из перовых музыкальных инструментов древних греков. Он представлял собой длинный ящик, необходимый для усиления звука, над которым натягивалась струна. Снизу струна поджималась передвижкой подставкой. Таким образом, струна имела постоянное натяжение, но разную длину.

Видимо, на монохорде и было впервые обнаружено, что струна, вдвое короче данной струны, звучит на октаву выше. Но полной ясности в том, каков физический смысл чисел n в отношении , определяющим консонанс, у древних долгое время не было. Одни толковали их как силу натяжения струны, другие - как длину струны, третьи - как высоту тона, хотя никто не знал, что такое высота тона. Ясность в этом вопросе наступила, пожалуй, только после Архита, который сущность высоты тона видел не в длине струны и не в силе ее натяжения (ведь один и тот же тон можно получить на струнах разной длины и разного натяжения), а в скорости ее движения, то есть в скорости ударения струны по частичкам воздуха. Сегодня эту "скорость движения" мы называем частотой колебания струны. Далее Архит установил, что высота тона (или частота колебания струны) обратно пропорциональна ее длине.

Два закона легли в основу пифагорейской теории музыки:

. Две звучащие струны дают консонанс лишь тогда, когда их длины относятся как целые числа, составляющие треугольное число 10=1+2+3+4, то есть как 1:2, 2:3, 3:4. При этом интервал тем созвучнее, чем меньше число n в отношении

 (n=1, 2, 3,). (34)

2. Высота тона определяется частотой колебания струны, которая обратно пропорциональна длине струны l:

 (35)

Гаммой, или звукорядом, называется последовательность звуков (ступеней звукоряда) некоторой музыкальной системы, расположенных начиная от основного звука (основного тона) в восходящем или нисходящем порядке. Интервалом между тонами называется порядковый номер ступени верхнего тона относительно нижнего в данном звукоряде, а интервальным коэффициентом I двух тонов - отношение частоты колебаний верхнего тона к частоте нижнего:

 (36)

Интервальные коэффициенты (34) и соответствующие им интервалы в средние века были названы совершенными консонансами и получили латинские названия:

Октава

Квинта

Кварта

Звуки в музыкальной системе связаны между собой определенными зависимостями. Одни из них являются неустойчивыми и тяготеют к другим - устойчивым. В каждой музыкальной системе существует наиболее устойчивый, основной тон, именуемый тоникой, с которого начинается данная система. Ладом называется приятная для слуха взаимосвязь музыкальных звуков, определяемая зависимостью неустойчивых звуков от устойчивых, и прежде всего от тоники, и имеющая определенный характер звучания - наклонение. Наиболее распространенные лады состоят из семи основных ступеней. Наконец, математическое выражение системы звуковысотных отношений (лада) называется музыкальным строем.

В основу музыкальной шкалы - гаммы - пифагорейцы положили интервал октавы. Октава настолько созвучный консонанс, что верхний звук кажется уменьшенной корней нижнего, поэтому его и принято называть октавным повторением нижнего тона и обозначать той же нотой. Далее октаву предстояло разделить на какие-то благозвучные части. И здесь пифагорейцы, конечно, обратились к средним величинам.

Составляя арифметическое среднее для основного тона  и его октавного повторения :

мы обнаруживаем прекрасный результат: это арифметическое среднее дает следующий совершенный консонанс - квинту.

 и т.д.

Пифагорейцы не только нашли строгие математические методы построения музыкальных ладов, которые практически без изменения вошли в современную музыку, но и заложили основы учения об этосе каждого лада. В пифагорейской теории музыки был достигнут союз математики и искусства, союз, принесший неоценимую пользу и науке математике, и искусству музыке.

2.2.3 Астрономия