Материал: О пифагорейской математике

Изучение геометрии, музыки и астрономии считалось существенным для понимания Бога, человека или Природы, и никто не мог полагать себя учеником Пифагора до тех пор, пока не овладевал в достаточной степени этими науками. Каждый претендент проверялся по этим трем предметам, и, если обнаруживалось его невежество, он быстро изгонялся. Ритуал посвящения в члены пифагорейского братства был окружен множеством таинств, разглашение которых сурово каралось. Когда к нему приходили младшие и желающие жить совместно, то он не сразу давал согласие, а ждал, пока их не проверит и не вынесет о них свое суждение. Философская школа Пифагора была в известной мере также серией инициаций, поскольку он заставлял учеников проходить через различные ступени и никогда не вступал с ними в личный контакт, пока они не достигали определенной ступени совершенства. Согласно его биографам, степеней было три. Во-первых, это касалось «Математики» - его ученикам вменялось в обязанность знание математики и геометрии, которое было тогда и могло бы быть сейчас, если бы масонство было должным образом внедрено, основанием, на котором воздвигалось все знание. Во-вторых, это касалось «Теории», которая имело дело с искусными приложениями точных наук. Наконец, речь шла о степени «Избранности», которая присваивалась кандидату тогда, когда он постигал свет полного просвещения, какого только можно было достичь. Ученики пифагорейской школы разделялись на «экзотериков», или учеников внешних степеней, и «эндотериков», тех, кто проходил третью степень инициации и был допускаем к секретной мудрости. Молчание, секретность и безусловное повиновение были кардинальными принципами этого великого ордена» Но и попав в орден после строгого отбора и испытательного периода, новички могли только из-за занавеса слушать голос учителя, видеть же его самого разрешалось только после нескольких лет очищения музыкой и аскетической жизни. Пифагорейский аскетизм сводился, прежде всего, к обету молчания. Пифагорейцы с равным усердием заботились и о физическом, и о духовном развитии. Именно в пифагорейской среде родился термин калокагатия, обозначавший греческий идеал человека, сочетающего в себе эстетическое (прекрасное) и этическое (добро) начала, гармонию физических и духовных качеств. Атмосфера высокой нравственности и самосовершенствования окружала пифагорейский союз, а ее благотворное дыхание ощущалось и далеко вне его.

В пифагорейское братство принимали не только мужчин, но и женщин. Ямвлих в жизнеописании Пифагора называет имена 17 женщин - пифагореянок. Но точное число учеников Пифагора неизвестно.

Пифагор был первым, кто вывел человечество из лабиринтов мифотворчества и богоискательства к берегам океана точного знания. Он показал, что именно разум, а не органы чувств приносит человеку истинное знание. Вот почему он советовал своим ученикам переходить от изучения «телесного», т.е. физических объектов, которые никогда не бывают в одном и том же состоянии, к изучению «бестелесного», т.е. к изучению абстрактных математических объектов, дающие человеку вечные непреходящие истины. Так математика становится у Пифагора орудием познания мира. А за математикой следует и философия, ибо философия есть не что иное, как распространение накопленного специального знания на область мировоззрения. Так рождается знаменитый пифагорейский тезис: «Все есть число» - кредо философии Пифагора.

и 2 не считались числами у пифагорейцев, потому что они представляют две надмирские сферы. Пифагорейские числа начинаются с 3, треугольника, и 4, квадрата. Сложенные между собой и плюс 1 и 2, они дают число 10, великое число всех вещей, архетип Вселенной. Три мира были названы вместилищами. Первый был вместилищем принципов, второй - разума, а третий - низший - вместилищем количеств.

Пифагор учил, что точка символизирует число 1, линия - число 2, плоскость - число 3, и многогранники - число 4.

1       2                3                                   4

Число у пифагорейцев трактуется одновременно как оформленное, материалистически организованное тело, и как душа, которая является организующим принципом тела. Однако в законченной форме учение о числовой гармонии можно видеть у Платона в его диалоге "Тимей". Платон использовал все пифагорейские учения, в частности он пользовался книгами Филолая, который исходит из антитезы предела и беспредельного. "Все существующее должно быть пределом или беспредельным или тем и другим вместе, так как оно состоит ни исключительно из одного предела, ни исключительно из одного беспредельного.

"Число-это закон и связь мира, сила, царящая над богами и смертными, условие всего определенного, всего познаваемого", - говорили пифагорейцы.

Основным содержанием пифагорейской математики является учение о числе. Легенда рассказывает, что на пифагорейцев очень сильное впечатление произвел тот факт, что звуки, издаваемые тремя струнами, образуют наиболее благозвучное сочетание, если числа, выражающие их длину, относятся между собой как 3:4:6, т.е. выражаются отношениями небольших целых чисел. Отсюда якобы и сложилось их учение о числе, как основе мира и человеческого миропонимания. Однако все обстояло гораздо сложнее.

Пифагорейское число имеет мало общего с современным понятием числа. Оно, прежде всего, неотделимо от вещи.

Каждая вещь обладает определенной совокупностью свойств, которые вместе взятые образуют целое. Но каждое свойство, взятое отдельно теряет свою связь с вещью, как с целостностью, то есть вещь распадается. Напротив, каждая часть вещи с ее свойствами, взятые как целое - являются ее элементами. Согласно античным представлениям, каждая вещь есть целость, состоящая из элементов. Элементы всегда находятся в определенном структурном взаимоотношении. Отношения элементов целости могут быть не только разнообразными, но и бесконечными.

Целость можно называть множеством. С современной точки зрения: " Упорядоченное множество-то, в котором каждые два элемента находятся в определенном отношении; а вполне упорядоченное множество-то, в котором каждая его часть обладает первым элементом. Каждая вещь есть не что иное, как бесконечное и вполне упорядоченное множество.

Между двумя элементами, как бы они не были близки друг к другу, мыслим всегда и третий элемент; а в каждой из двух образовавшихся половин после разделения цельного расстояния между двумя элементами тоже мыслимо помещение еще нового элемента и т.д. То есть расстояние между 2 элементами может быть бесконечно уменьшаемо до той предельной точки, которая уже не допускает помещения новой точки; т.е. дробление доводится до полной неразличимости элементов, до полной их взаимопронизанности.

Число не есть просто результат счета, но всегда содержит в себе идею порядка и поэтому является структурной целостью. Число способно создавать или, по крайней мере, расчленять вещи, делая их познаваемыми. Числа обуславливают свойства вещей и явлений. Чувственным вещам окружающего мира пифагорейцы приписывали отношения целых чисел.

«Симметричные геометрические тела имели для пифагорейцев и последующих греческих мыслителей величайшее значение. Для того чтобы быть совершенно симметричным, геометрическое тело должно иметь равное число граней, встречающихся в углах, и эти грани должны быть правильными многоугольниками, то есть фигурами с равными сторонами и углами. Пифагор, вероятно, был первым, кто сделал величайшее открытие, что есть только пять таких тел.

Пифагорейцы провозглашали борьбу против падения нравов, и ратовали за суровый образ жизни, прославляя самообладание, смелость и коллективную дисциплину. Они были связаны строгими обязательствами, в частности, члены этого общества должны были хранить в тайне учение своего учителя. Живя сообществом, приверженцы Пифагора совершали тайные обряды и занимались изучением философии и наук. У них было общее имущество, и свои научные открытия они делали общим (внутри своего общества) достоянием. Труды, обычно приписываемые Пифагору, таким образом, относятся не только к легендарному Пифагору, но вообще к трудам этой школы между 585 и 400 гг. до н.э. (раннее пифагорейство)

Таков был пифагорейский союз - любимое детище великого эллинского мудреца. Воистину, то был союз истины, добра и красоты. В умножении знания, постижении гармонии физического и духовного совершенства годы летели как мгновения. Казалось, так было всегда и так будет вечно. Ничто не предвещало близкой беды.

В первоначальном виде союз просуществовал недолго, он распался в результате народного восстания (510 г. до н.э.). Пифагор со своими учениками переместился в Тарент. Но вскоре и в этом городе народ поднимается против аристократии. Пифагору пришлось срочно оставить и Тарент, он поспешил в город Мерапонт.

Когда ему было около 60 лет, Пифагор женился на одной из своих учениц, и у них родилось семь детей. Его жена была замечательно способной женщиной, которая не только вдохновляла его всю оставшуюся жизнь, но и после его убийства продолжала распространять его учение. Как это часто случается с гениями, своей искренностью Пифагор вызвал и политическую, и личную враждебность со стороны граждан Кротона. Среди желавших принять посвящение был Килон, человек богатый, но злой, желая спьяну вступить в братство, которому Пифагор отказал в этом, и тогда тот решил уничтожить как человека, так и его учение. Через ложные слухи этот человек возбудил в простых людях недовольство философом. Без всякого предупреждения банда убийц ворвалась в небольшую группу строений, где обитали великий учитель и его ученики, подожгли здания и убили Пифагора.

Относительно того, как умер Пифагор, общего мнения нет. Некоторые говорят, что он был убит собственными учениками; другие говорят, что он бежал из Кротона с небольшой группой последователей и, попав в засаду, сгорел в подожженном доме. Еще одна версия говорит о том, что в горящем доме ученики образовали мост из тел, живыми войдя в огонь, для того, чтобы их учитель прошел по нему и спасся, и только впоследствии Пифагор умер от разрыва сердца, скорбя по поводу кажущейся тщетности своих усилий по просвещению и служению человечеству.

Выжившие его ученика пытались продолжать его учение, но они всякий раз подвергались гонениям, и к сегодняшнему дню мало что осталось от свидетельств величия этого философа. Говорят, что его ученики никогда не произносили его имени, а использовали слова Мастер или Этот Человек. Это происходило, возможно, потому, что по преданию имя Пифагора состояло из специальным образом упорядоченных букв и имело огромное священное значение. Журнал «Word» опубликовал статью Т. Пратера, в которой показывается, что Пифагор посвящал своих учеников-кандидатов посредством определенной формулы, скрытой в буквах его имени. Это может быть объяснением того, почему имя Пифагор столь высоко почиталось.

После смерти Пифагора его школа постепенно распалась, но те, кто был облагодетельствован его учением, хранили память о великом философе так же, как они во время жизни почитали человека. Прошло время, и Пифагор стал считаться уже не человеком, а богом, и его рассеянные по свету ученики были объединены общим восхищением все превосходящим гением своего учителя.

1.2 Классика греческой науки (пифагорейская школа)

1.2.1 Математика

Пифагорейцы создали науку о числе, положили начало арифметике, очистив ее от практических приложений, что впоследствии стало уделом "Логистики", которую греки не признавали настоящей наукой.

Числа пифагорейцы мыслили зримо, и иллюстрировали свое виденье в виде камешков, разложенных на песке или счетной доске-абаке. По этой причине греки не знали нуля, так как его невозможно было "увидеть". Но и единица не была полноправным числом, а представлялась как некий "числовой атом", из которого образовывались все числа. Пифагорейцы называли единицу " границей между числом и частями", т.е. между целыми числами и дробями. Число-множество, составленное из единиц. Первым числом, которое можно рассматривать как совокупность других чисел, является число четыре. В самом деле, два нельзя рассматривать как составленное из двух, так как оно состоит из двух единиц. Аналогично, и число три составляется из одной единицы и еще одного только числа два.

Числа-камешки раскладывались в виде правильных геометрических фигур. Так возникло понятие фигурных чисел, в котором нашла свое отражение тесная связь, существующая между понятиями числа и пространственной протяженностью.

НАПРИМЕР:

1. Линейные числа (простые) - числа, которые делятся только на единицу и самих себя:

*--*--*--*--* линейное число 5.

2. Плоские числа-числа, представимые в виде произведения двух сомножителей:

*----*----*

│ │ │ плоское число 6

*----*----*

2. Телесные числа, выражаемые произведением трех сомножителей:

*────────*

*─┼──────* │

│ *──────┼─* телесное число 8

*────────*

4. Треугольные числа: 3,9

* *

* * * *

* * *

5. Квадратные числа: 9,16

*---*----* *--- * --- * ---- *

│ │ │ │ │ │ │

*---* * *--- * * *

│ │ │ │ │

*---*----* *--- * --- * *

│ │

*--- * ---* ---- *

6. Пятиугольные числа: 5,12

Именно от фигурных чисел пошло выражение "Возвести число в квадрат или в куб".

Если единица была "числовым атомом", то точка считалась "геометрическим атомом". Аристотель писал: "Точка есть единица, имеющая положение, единица есть точка без положения". Для того чтобы быть отличными друг от друга единицы-точки должны были отделяться пространством, каждая точка должна была иметь вокруг себя "поле". Благодаря этому каждое число можно было изображать не только при помощи точек, но и квадратных полей, или тех и других, как, например, число 3 в виде: * * *

Таким образом, в основе здесь лежит понятие числа, которое изображается фигурой; арифметика, подчинена геометрии. Их арифметика была геометрична и наглядна.

Представление чисел в виде правильных геометрических фигур помогало пифагорейцам находить различные числовые закономерности. Например, чтобы получить общее выражение для n-го треугольного числа, которое есть не что иное, как сумма n натуральных чисел 1+2+3+...+n, достаточно дополнить это число до прямоугольного числа n(n+1) и увидеть (именно увидеть глазами) равенство

* * *  ** * *

о * * * 1+2+3+...+n=n(n+1). (1)o o *o o o

Написав последовательность квадратных чисел, опять-таки легко увидеть глазами выражение для суммы n нечетных чисел:

* o * * o * * * o

o o * * o * * * o

о о о * * * о 1 + 3 + 5 + ... + (2n-1)=n. (2)

o o o o

Для получения квадратных чисел пифагорейцы использовали гномон. Это часть фигуры, соответствующая нечетному числу, от прибавления которого к квадратному числу получается следующее квадратное число. Вообще гномоном называется такое прибавление к геометрической фигуре, которое увеличивает, но не меняет ее например, гномоном треугольника является трапеция.

Наконец, разбивая n-е пятиугольное число на три (n-1) треугольных (после чего остается еще n "камешков"), легко найти его общее выражение:

1 + 4 + 7 + ... + 3n - 2 = n+3  = (3)

Разбиением на треугольные числа получается и общая формула для n-го k-угольного числа:

= n + (k-2n)  (4)

откуда при k=2,3,4 следуют формулы 1-3.

Сегодняшний школьник легко заметит, что суммы 1-3 есть не что иное, как арифметические прогрессии, разность которых d соответственно равны 1,2,3 (для k-угольного числа d=k-2), и по соответствующей формуле найдет эти суммы и общую формулу (4).