Материал: НЕФТЯНОЙ ГЕОЛОГИИ

СПБГУАП группа 4736 https://new.guap.ru

Заметим ωS 2 = 2ω02 (1 − cos Nsπ+1) имеет предельно возможное значение частоты ωS . Из этой формулы видно,

для всех колебательных систем, образованных из одинаковых элементов (масс), которые периодически повторяются, во всей структуре системы. Мы нашли четыре нормальных мод колебаний для N связанных тел. Эти

2.3.Сводка основных результатов.

Всвязанных системах каждой нормальной координате соответствует одна степень свободы; каждой степенью свободы определяется один из путей, по которому система может получать энергию. Полная энергия системы равна сумме энергии ее нормальных мод колебаний, так как они никогда не обмениваются энергией, а остаются изолированными и отличными друг от друга. Каждый гармонический осциллятор имеет две нормальные координаты (скорость или импульс и смещение) и следовательно две степени свободы, первая из которых связана

скинетической энергией, вторая – с потенциальной.

Уравнения частот нормальных мод колебаний:

.

2.4 Волновые уравнения.

Для понимания физического смысла волнового движения, попробуем, используя колебания связанных маятников, находящихся на растянутой струне, получить уравнение волнового движения. Вновь рассмотрим

струну, нагруженную отдельными одинаковыми массами mi . Расстояние между массами l пусть будет

одинаковым и таким, что l / L << 1 , где L - общая длина струны. Концы струны, как всегда, закреплены и не могут двигаться, хотя это не имеет принципиального значения. Это нам необходимо принять для того, чтобы воспользоваться результатами предыдущего параграфа без всяких оговорок.

Итак, ранее мы нашли, что уравнение движения тела под номером “ i ” имеет вид:

Сократим теперь длину участков струны, разделяющих массы и перепишем это уравнение так:

24

СПБГУАП группа 4736 https://new.guap.ru

=см2/с.

Общая размерность (см2/с2)(1/с2)=см/с2.

Таким образом размерность правой и левой части уравнения одинакова в том случае, если размерность множителя Tρ соответствует см2/с2 = (см/c)2 или [v]-, то есть размерность скорости в квадрате.

Это та скорость, с которой распространяется по тяжелой струне нарушение ее состояния, определяемое формой колебаний dydx , называемое, как мы знаем, фазой этого колебания. Решение этого уравнения всегда имеет

такой же вид, что и функция, описывающая гармонические колебания в некоторой фиксированной точке струны в данном случае с координатой . Очень важное утверждение, непосредственно вытекающее из предыдущего

вывода волнового уравнения.

Одним из простых способов продемонстрировать волновое движение является щелчок бича. Если взять длинную веревку и дернуть один конец вверх и вниз, то вдоль веревки начнут распространяться горб и впадина, вызванные движением одного из концов веревки вверх и вниз. Если веревка не имела бы второго конца, то такое движение можно было бы назвать бегущей волной. Если веревка ограничена, то от ее концов начнут распространяться отраженные волны, бегущие в противоположном направлении. Колебания веревки представляют теперь комбинацию волн, движущихся вперед и назад, и при определенных условиях на веревке образуются стоячие волны, узлы и кучности, которых неподвижны.

В данном случае на веревке мы наблюдаем поперечные волны. Такие же волны образуются на всех струнах и следовательно струнных щипковых и ударных инструментах, рельсах при движущихся волнах, колебаниях стволов деревьев, колебаниях мостов, балок, мостовых и башенных кранов, тросов, канатов и многих

других. Во всех вышеперечисленных случаях смещения U происходят направлению распространения (попрек) и по этой причине они получили название поперечных.

Когда же колебания параллельны направлению распространения, волны называются продольными. В газах и жидкостях могут распространяться только продольные волны. В твердых телах распространяются и продольные и поперечные волны. Во всех случаях это «неразлучная» пара упругих волн, векторы смещений

которых образуют тройку взаимно векторов: рис.17.

Рис. 17.

Выделим плоскость направлению распространения, то все осцилляторы, лежащие на этой плоскости имеют одну общую фазу. Наблюдая за ней, мы будем видеть, как эта общая фаза движется в пространстве. На такой плоскости все параметры, описывающие волну, остаются постоянными. Горбы и впадины соответствуют максимальному и минимальному смещениям, разделенным по фазе на π радиан. Горб – максимальная положительная амплитуда, впадина – максимальная отрицательная амплитуда.

Сферическими волнами называются те, которые имеют поверхностями одинаковых фаз – сферы с центром в одной общей для всех точке. Каждая сфера определяет некоторую совокупность осцилляторов, которые колеблются в одной фазе. Сравните принцип Гюйгенса.

25

СПБГУАП группа 4736 https://new.guap.ru

Соответственно цилиндрические волны те, которые имеют поверхности разных фаз в виде цилиндров с общей для них центральной осью.

Плоские волны это такие, которые поверхности равных фаз образуют в виде плоскостей бесконечной протяженности по осям x и y ; z, y или x, z . Эти волны описываются наиболее простыми математическими

выражениями. Для них поток энергии через поверхность равных фаз есть const , потому что сама поверхность не изменяется в процессе распространения.

При больших расстояниях от центра и оси симметрии сферические и цилиндрические волны переходят в плоские вследствие уменьшения кривизны фронтов. Обычно уже на расстоянии 10λ длин волн от центра симметрии приближение плоских волн правомочно.

Необходимо усвоить и запомнить один принципиально важный момент. Отдельные осцилляторы, составляющие среду, не распространяются вместе с волнами, а только колеблются около положения равновесия или покоя, в поперечном, продольном или комбинированном направлениях. Мы наблюдаем в качестве волн только фазовые соотношения между ними: какой из осцилляторов уже начал, какой закончил, а какие и не приступали к процессу колебательного движения. Поэтому в отличие от колебательного процесса, волновое движение характеризуется тремя скоростями.

1. Скорость нарастания или спадания смещения иначе массовая скорость. Это есть скорость гармонических колебаний осциллятора с данной частотой, около положения равновесия. Эта скорость в

волне соответствует скорости чисто колебательного процесса, т.е. du / dt

2.Волновая скорость. Эта величина характеризует быстроту распространения в среде одинаковой фазы колебательного процесса осцилляторов, то есть какого-то горба или впадины. Она носит название фазовой скорости, имеет кинематический смысл и является самой быстрой из всех скоростей передачи информации в среде о данном колебательном процессе.

3.Скорость распространения группы однотипных волн с различными частотами и амплитудами, составляющими волновой импульс или волновой пакет. Эта величина носит название групповой скорости и определяет скорость передачи энергии колебательного процесса через среду, то есть определяет, как быстро

от одного осциллятора другому передается энергия вида Kx2 / 2 .

Если волна одна и она гармоническая, то vФ≡ vГР . Этов свою очередь является показателем поведения среды в случае малых возмущений параметров ее состояния и определяет отклонение от закона линейной упругости среды.

форму □U=0.Это уравнение связывает ускорение гармонического осциллятора с силой сопротивляющейся возмущению в состоянии этого осциллятора, то есть это выражает математически действие второго закона Ньютона в сплошной среде.

2.5. Решение волнового уравнения.

Опять-таки, мы не будем рассматривать процедуру получения волнового уравнения. Запишем сразу, что решение этого уравнения является функцией U = f1 (ct − x) + f2 (ct + x) . Здесь U - смещение в точке “ x ” в момент времени t осциллятора, совершающего простые гармонические колебания. Представим функцию f в

виде a sin( ω t − ϕ ) , подставив в уравнение, убеждаемся, что эта функция является его решением, так как удовлетворяет ему при всяких x и t .

Аргумент f − (ct − x) - имеет размерность длины. Но для того, чтобы эта функция могла быть sin или

cos необходимо, чтобы аргумент ее был безраздельным и выражался бы в ряд, то есть имел размерность угла. По этой причине аргумент ct − x необходимо умножить на функцию с размерностью обратной длины. Выберем

числом, имеет размерность обратной длины. Этот коэффициент указывает, какое число длин волн укладывается на расстоянии от начала колебания до того момента, когда в процесс вступил осциллятор с координатой x .

26

СПБГУАП группа 4736 https://new.guap.ru

Теперь посмотрим на простую гармоническую волну вида: y = a sin(ωt −ϕ) и сравним ее с решением

t = 0 сфотографировать волновой процесс, то мы получим траекторию смещения вида:

Значит, если некоторый осциллятор, расположен справа от точки x0 , то он начнет свое колебательное движение с запаздыванием, позже, чем осциллятор в точке x0 . Запаздывание это равно 2λπ (x − x0 ) . Если

x − x0 = λ , то запаздывание ϕ = 2π - то есть полному периоду колебаний осциллятора в точке x0 . Этим

рассуждением мы определяем λ - как длину волны, а именно расстояние между осцилляторами, имеющими разность фаз 2π радиан.

Из выражения 2λπ c = ω = 2πν находим, что c =νλ - волновая или фазовая скорость, равная

произведению частоты на длину волны. Или λ / c =1/ν = T - период колебаний, показывающий, что волна проходит расстояние в одну λ за время T . Мимо наблюдателя за 1 сек. проходит цуг колебаний, содержащий ν длин волн и имеющий длину численно равную фазовой скорости c .

Существует несколько эквивалентных форм записей функции f (ct − x) , например, для синуса:

U = a sin 2λπ (ct − x) U = a sin 2π(νt − λx )

U = a sinω(t − cx ) U = a sin(ωt − kx)

U = aei(ωt−kx)

Фазовая скорость конечно равна c = dx / dt и есть скорость движения фазы (ωt − kx) вдоль цепочки осцилляторов.

Скорость колебательного смещения самого осциллятора после прихода фазы есть dU / dt - простая гармоническая скорость. Обычно она задается источником возмущения.

Возьмем частные производные dydt и dydx , будем иметь: dydt = aω cos(ωt − kx) ;

dydx = −ak cos(ωt − kx) и cos(ωt − kx) = dydt a1ω ; dydx = −ak dydt a1ω ; dydt = −ωk dydx = −c dydx = = − dxdt dydx . Таким образом, скорость частицы во фронте волны равна произведению волновой скорости

c = dx / dt на градиент волнового профиля dU / dx , взятого со знаком минус.

Скорость частиц возрастает в том же направлении, в котором растет поперечная сила в струне, т.е. в сторону горба или впадины. Рис. 18.

27

СПБГУАП группа 4736 https://new.guap.ru

Рис. 18

Импеданс струны.

Любая среда сопротивляется изменению своего первоначального состояния, в том числе и волновому процессу, хотя бы уже потому, что происходит ее нагревание. Это сопротивление удобно описывать импедансом или “волновым сопротивлением”. Если среда пропускает волны без потерь и не имеет механизма поглощения энергии, то импеданс действителен и определяется двумя параметрами, описывающими процесс накопления энергии в среде: инерций и упругости. При наличии потерь в выражении импеданса появляется мнимый добавок. Так и для струн. В соответствии с природой волн импеданс среды для поперечных волн определяется как отношение

возбуждается поперечной силой F = F0eiωt , натяжение постоянно и равно T . Запишем баланс сил для этого конца: рис. 19.

Рис. 19.

плотность (масса на единицу длины).

2.6. Отражение и прохождение поперечных волн через границу двух сред.

Спросим себя, как будут реагировать поперечные волны на резкое изменение импеданса силы? Пусть наша струна состоит из двух кусков, гладко соединенных в точке x = x0 и имеет постоянное

натяжение T . Обе струны имеют ρ1 и ρ2 и следовательно разные волновые скорости c12 = T / ρ1 и c22 = T / ρ2 . Импедансы их Z1 = ρ1c1 и Z2 = ρ2c2 .Рис. 20.

28