Документ: НЕФТЯНОЙ ГЕОЛОГИИ, страницы 16-20

СПБГУАП группа 4736 https://new.guap.ru

m&x& = −mg xl − K(x − y)

Кроме обычных членов, соответствующих гармоническим колебаниям m&y& = −mg y + K(x − y)

l

(mg x / l) уравнения содержат и связь вида K(x − y) , обусловленную наличием пружины жесткостью K . При этом возможны три случая:

Первый - x > y . Пружина растянута больше своей нормы K(x − y) > 0 . Пружина уменьшает ускорение &x&, но одновременно увеличивает &y&.

Второй

- x < 0 . Член K(x − y) < 0 и следствия для смещений x и y

&&

меняются местами: x -

&&

увеличивается, y - уменьшается.

Наконец, Третий -

x = y . При этом уравнения для x и y одинаковы и ситема движется как один

маятник.

= g / l - собственную частоту колебаний каждого маятника, тогда:

Запишем ω0

&&

2

K

(x

&&

2

K

x

+ω0 x = −

m

− y)

x

+ω0 x = −

m

(x − y)

или

.

K

y

2

y =

(x − y)

y

2

y = −

+ω0

( y − x)

&&

m

&&

m

Выберем новые координаты x = x + y и y = x − y , и сложим уравнения:

&&

2

+ y) = −

K

x +

K

y −

K

y +

K

x = 0

&&

2

x

+ y

+ω0 (x

m

или x

+ω0 x = 0 .

Теперь вычтем из первого второе уравнение:

&x&− &y&+ω02 (x − y) = − Km x + Km y + Km y − Km x = (&x&− &y&) +ω02 (x − y) = 2 Km (x − y) &y&+ (ω02 + 2 mK ) y = 0 .

То есть, связанные колебания описываются двумя уравнениями, каждое из которых удовлетворяет условиям гармоничности. Введем понятия нормальных координат и мод колебаний.

a). Нормальные координаты – это такие, в которых уравнения движения записываются в виде системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, содержащими только одну зависимую переменную (в нашем случае x или y ).

b). Колебания описываемые только одной зависимой переменной называются нормальными модами и характеризуются одной своей собственной частотой.

c). Полная энергия колебаний представляет собой сумму квадратов нормальных координат и скоростей ( первых производных нормальных координат по времени) умноженных на постоянные коэффициенты. Если происходят колебания всех мод, то энергия системы выражается через квадраты скоростей и смещения всех мод.

d). Нормальные моды колебаний независимы. Если возбуждена одна из мод, то других не будет, так как нет обмена энергией между ними.

e). Каждый независимый путь, по которому система может получать энергию, называется степенью свободы. С каждой степенью свободы связана своя нормальная мода и нормальная координата. Каждый гармонический осциллятор имеет две степени свободы, так как может получать энергию двумя путями

(потенциальную – изменением координаты x и кинетическую – изменением скорости x&). В нашем случае, энергии будут записаны двумя уравнениями:

Ex = ax&2 + bx и Ey = cy&2 + dy2 , здесь a, b, c, d - постоянные. Следовательно, наша система из двух

связанных маятников имеет четыре степени свободы и четыре нормальные координаты. Любое состояние системы может быть представлено суперпозицией двух мод:

x = x + y = x0 cos(ω1t +ϕ1 ) x0 , y0 - амплитуды нормальных мод, ω1,ω2 - частоты колебаний и ϕ1 ,ϕ2 - y = x − y = x0 cos(ω2t +ϕ2 )

фазы.

Положим: x0 = y0 = 2a,ϕ1 = ϕ2 = 0 . Тогда из уравнений x = 12 (x + y) = a cosω1t + a cosω2t.

y = 12 (x − y) = a cosω1t − a cosω2t.

19

СПБГУАП группа 4736 https://new.guap.ru

Отсюда и их скорость:

x& = −aω1 sinω1t − aω2 sinω2t. y& = −aω1 sinω1t + aω2 sinω2t.

Приведем систему в движение, сместив один маятник из положения равновесия на 2a n отпустим оба тела в момент времени t = 0 при условии &x& = &y& = 0 . Это начальное смещение можно рассматривать как суперпозицию синфазной моды x = y = a , поэтому x + y = 2a и противофазной моды x = −y = a , поэтому y = 2a . Движение первого маятника описывается формулой:

x = a cosω t + acosω		t = 2acos	(ω2 −ω1 )t		cos	(ω2 +ω1 )t		.
x = a cosω t + acosω		t = 2acos			cos			.
1	2	2				2
		2				2
второго y = a cosω1t − a cosω2t = −2a sin				(ω2		−ω1 )t	sin		(ω2	+ω1 )t	.
второго y = a cosω1t − a cosω2t = −2a sin						2	sin			2	.
						2				2

Если поставить кривые зависимости движения от времени, то увидим процесс под названием биения рис. 15. Первое тело передает энергию второму телу и далее наоборот. Такой полный обмен энергии возможен только

тогда, когда обе массы одинаковы и отношение ω1 +ω2 равно целому числу. В противном случае ни одно из тел

ω2 −ω1

не будет неподвижным. Очень важно, что хотя отдельные маятники обмениваются энергией, но обмен между нормальными модами отсутствует. Так как частота моды Y выше, чем моды X , то через несколько колебаний

мода Y опередит колебания моды X на половину радиуса (по фазе на π радиан). В этом случае сложение мод X и Y даст для y = 2a , а x = 0 . Когда мода Y опередит моду X еще на половину периода (по фазе на 2π радиан) сложение колебаний даст x = 2a , а для y = 0 . Маятники обменяются энергией, а моды - нет.

Общий метод вычисления частот нормальных мод колебаний.

Результатом предыдущего параграфа является важное утверждение о том, что если в системе возбуждены колебания только одной моды, то каждый компонент системы будет колебаться с частотой именно этой моды. На этом утверждении и основан метод поиска и определения частот нормальных мод и амплитуд колебаний отдельных осцилляторов на каждой частоте.

По этой причине положим следующее: наша система, состоящая из двух маятников, совершает колебания только одной моды, соответствующее только одной частоте ω . В этом случае мы можем искать решение уравнений:

m&x&+ mg( xl ) = −K(x − y)

m&y&+ mg( xl ) = K(x − y)

в следующем виде: x = Acosωt и y = B cosωt , где A и B - амплитуды смещений x и y на частоте ω . Подставляя в уравнения и делая преобразования, находим:

[−mω2 A + mgl A + K( A − B)]cosωt = 0. сделаем сумму и разность этих уравнений:

[−mω2 B + mgl B − K( A − B)]cosωt = 0. Сумма (A + B)(−mω2 + mg / l) = 0.

Разность (A − B)(−mω2 + mg / l + 2K ) = 0.

20

СПБГУАП группа 4736 https://new.guap.ru

Первое уравнение удовлетворяется при условии − mω2 + mg / l = 0. и ω2 = g / l - собственная частота свободных колебаний.

Второе уравнение удовлетворяется при − mω2 + mg / l + 2K = 0 , отсюда ω2 = gl + 2 mK .

Подставляя теперь ω = g / l в оба уравнения, получаем:

Из первого [−m gl A + mgl A + K( A − B)]cosωt = 0. cosωt ≠ 0.

Тогда K(A − B) = 0. и A = B. Первая мода колебаний условие одинаковых фаз.

Теперь ω2 = gl + 2 mK .

[−m gl A − 2KA + mgl A + K( A − B)]cos( gl + 2 mK )t = 0. A = B.

[−m gl B −2m Km B + mgl B − KA + KB)]cos( gl + 2 Km )t = 0. и A = −B. Вторая мода колебаний – условие

противофаз.

Мы выбрали простую форму для смещений вида x = Acosω и y = B cosωt благодаря тому, что

система началá движение из состояния покоя при t = 0 . Если же маятники при t = 0 имели некоторую начальную скорость, то в соответствии с начальными условиями смещения должны быть записаны в следующем виде:

x = Acos(ωt +ϕ) и y = B cos(ωt +ϕ) . Теперь каждой моде колебаний с частотой ωi соответствует свое значение ϕ , в связи с чем возрастает и число подгоночных констант (вместо 2) для того, чтобы решения

удовлетворяли произвольным начальным смещениям и скоростям маятников. Невесомая струна.

Другим примером связанных в систему маятников служит нагруженная струна. Рассмотрим невесомую струну, по всей длине которой на одинаковом расстоянии l друг от друга закреплено N одинаковых тел с массой m . Оба конца струны закреплены, а полна длина ее L = (N +1)l . Существует и постоянное натяжение струны T .

Рис. 16.

Массы m могут совершать малые колебания только в одной плоскости. Найдем частоты и смещения каждого тела. Задача сформулирована Лагранжем. На рис. 16 показано смещение i-го тела по отношению к i-1 и i+1 (двух соседних с ним). Уравнение движения i-го тела напишем рассматривая последовательно натяжение слева и справа от него, направленные в сторону равновесия т.е. вниз.

Слева T sin Θ

, и справа

T sin Θ

, но

sin Θ =

yi − yi−1

;sin Θ

2

=

yi − yi+1

. Следовательно

1

l

1

2

второй закон Ньютона в этом случае примет вид: ma = −T (sin Θ + sin Θ

2

) = −T (

yi − yi−1

+

yi − yi+1

) или

1

l

T

&&

= −

( yi−1 − 2 yi

+ yi+1 ) . Если временна зависимость i-того смещения от времени является гармонической,

myi

l

e jωt , где a

то смещения y

можем записать в виде: y

i

= a

- max смешения m , аналогично для тел

i

m

y

i−1

= a

i−1

e jωt и y

i+!

= a

i+1

e jωt . Подставляя −ω2 Aie jωt =

T

(a

i−1

− 2a

i

+ a

i+1

)e jωt

или

i−1

me

21

СПБГУАП группа 4736 https://new.guap.ru

− ai−1 + (2 − mlTω2 )ai − ai+1 = 0 . Это основное уравнение движения i-той массы относительно ее соседней mi−1 и mi+1 .

Теперь надо выписать всю систему уравнений подобного типа, начав с массы за номером 1 и до номера N,

двигаясь вдоль струны. Но на концах y0

= 0 и yN +1 = an+1

= 0 .

Получим следующие уравнения:

N =1

(2 − mlω

2

) a1 −a2 = 0

(a0 = 0)

Имеем систему изn уравнений,

T

mlω

2

N = 2

−a

+(2 −

−a

= 0

решив которую можно найти

) a

2

3

1

T

N различных значений ω2 ,

mlω

2

N = 3

−a2

+(2 −

) a3 −a4 = 0

T

причем каждое из них будет

..............................................................................................

частотой некоторого своего

N = N −aN −1 +(2 − mlω2 ) aN = 0

(aN +1 = 0)

колебания.

T

Число таких мод будет равно числу тел. Решение такой системы основано на теории матриц. Здесь мы рассмотрим самые простые случаи, когда N =1 и 2 и попробуем показать какой вид должно иметь общее решение системы.

Если N =1 . То L = 2l и тело одно, и уравнение будет для i =1, т.е.

Рис.17.

(2 −

mlω2

)a = 0 , а форма движения тоже только одна. a

≠ 0 и получаем,

mlω2

= 2 и ω

2

=

2T

i=1

T

1

T

me

ωi=1 =

2T

так как a0 , a2

= 0 - концы закреплены. Рис. 14.

me

i = 2 .

Теперь i = 2 . L = l + l + l = 3l , количество грузов 2. a0 , a3

= 0 . Уравнений будет два для i = 1 и

2

(2 − mlω

)a1 − a2 = 0

Решаем систему, исключив a1 ,

a1 = (2

−

mlω

2

T

)a2 .

+ (2 − mlω2 )a

T

− a

2

= 0

mlω

2

mlω

2

1

T

(2 −

)

a2 − a2 = 0

a2[1−(2 −

)

] = 0 , но a2 ≠ 0 и

T

22

СПБГУАП группа 4736 https://new.guap.ru

1 − (2 −

mlω2

)

2

= 0.т.е.

T

mlω2

3T

mlω

2

[1 +

(2 −

)][1 − (2 −

)] = 0 или 3 −

=

0 и ω1 =

; 1

− 2 +

= 0 . Отсюда:

T

ml

T

mω

2

=1и ω

2

=

T

. Получим две различных моды колебаний. ω

2

=

T

и ω

2

=

3T

. Подставим ω , в

1

2

T

ml

1

уравнение для i =1 и i = 2 . (2 − mlT )a

− a

2

= 0,

a

= a

2

.Это медленное синфазное движение грузов, вид

Tml

1

которого представлен на рис.

− a + (2 − Tml )a

= 0 ,

a

= a

, подставив сюда же ω =ω

2

получим:

1

3mlT

Tml

2

1

2

(2 −

)a

− a

2

= 0,

a

= −a

2

- противофазное движение грузов вида:

Tml

1

Т.е. более быстрое колебание. Рис.16.

Обобщим наши результаты, для чего перепишем полученное уравнение в виде:

− ai−1 + (2 +

mlω2

)ai − ai+1

= 0 как −

a

i−1

+ a

i+1

= −(2 +

mlω

2

);

T

ai

T

2T

2

ai−1

+ai+1

2T +mlω2

2Tml + m2l 2ω2

m

l

(

+ω

)

(

+

ω

)

2ω02 +

ω2

=

ml

=

ml

=

,

ai

T

mlT

T / ml

ω02

где ω02 = mlT .

Видим, что праваячасть уравнения не зависит от i , поэтому оно справедливо при любых значениях i . Пусть мы можем записать смещение mi в виде:

ai = C sin iϕS , где C = const , ϕS - некоторый постоянный угол при данном ωS , тогда подставляя в уравнение будем иметь:

ai−1 + ai+1

=

C sin(i −1)ϕS

+ C sin(i +1)ϕS

=

ai

C sin iϕS

=

sin iϕS cosϕS − cosiϕS sinϕS

+ sin iϕS cosϕS

+ cosiϕS sinϕS

=

sin iϕS

= 2sin iϕS cosϕS = 2 cosϕS - и это также константа, не зависит от i .

sin iϕS

Угол ϕS можно найти из граничных условий:

a0 = aN +1 = 0 , так как a0

= C sin 0 = 0 .

aN +1 = C sin(N +1)ϕS

= 0 , если (N +1)ϕS

= sπ; s =1,2,... ϕS = s

π

и следовательно

N +1

sπ

ai = C sin iϕS

= C sin

i - есть амплитуда смещения i-го тела при фиксированной частотеω0 .

N +

1

a

i−1

+a

i+1

=

2ω2

−ω

S

2

= 2cosϕ

= 2cos

sπ

отсюда: 2ω2

−ω

2

= 2ω2 cos

sπ

Запишем далее:

0

S

и

ai

ω02

N

+1

N +1

0

ωS 2 = 2ω02 (1 − cos

sπ

) , где s =1,2,...,а ω02 =

T

.

N +1

ml

isπ

Теперь для каждой частоты амплитуда смещения i-го тела имеет вид: ai = C sin

C -постоянная.

N +1

23

Материал: НЕФТЯНОЙ ГЕОЛОГИИ

Смотрите также: