Документ: НЕФТЯНОЙ ГЕОЛОГИИ, страницы 26-30

Ur = br ei(ωt+kxi )

Ui = ai ei(ωt−kxi )

СПБГУАП группа 4736 https://new.guap.ru

Рис. 20.

Волна, распространяющаяся слева направо в точке x = x0 , встречает скачок импеданса Z . Положим, что x0 = 0 . Тогда в этой точке образуются дополнительно две волны. Отраженная Ur и проходящая Uτ . Пусть смещение в падающей волне . Смещение в отраженной волне будет . Смещение прошедшей волне Uτ = cτ ei(ωt−kxi) . Найдем выражение для b и c . Наложим граничные условия в точке

x= x0 = 0 . Их должно быть два.

1.Геометрическое – в любой момент t полное смещение справа и слева от точки x0 - одинаковы.

2.Динамическое - поперечная сила непрерывна в точке x0 .

Теперь будем иметь:

Ui =Ur =Uτ .

(1) aeiωt + beiωt = ceiωt от сюда a + b = c .

∂

T

(Ui +Ur ) = T

Uτ

или

Ui

+

Ur

=

Uτ

отсюда после преобразований получаем:

∂x

− k Ta

i

+ k Tb

= −k Tc

или −ω

T

a +ω

T

b = −ω

T

c ,но T = ρc , подставим и тогда

i

r r

τ τ

c1

c2

c

−ρ1c1a + ρ1c1b = −ρ2c2c или, учитывая, что ρc = z .

(2)Z1 (a − b) = Z2c объединяя с (1) получаем систему :

a + b = c		b	=	Z1 − Z2	;	c	=	2Z1	.
	решение дает:
		a		Z1 + Z2		a
Z1 (a − b) = Z2c								Zz + Z2

b / a - амплитудный коэффициент отражения.

Они не зависят от ω , не вносят фазовых искажений и c / a - амплитудный коэффициент пропускания. сдвигов за исключением сдвига на π при Z2 > Z1 .

При Z2 = ∞- закрепленный конец струны b / a = −1; c / a = 0 падающая волна полностью отражается ac − ab =1.

При Z2 = 0 -свободный конец, имеем b / a =1, а c / a = 2 , то есть амплитуда волны на свободном

конце удваиваются.

Что происходит в этом случае с энергией волны?

Энергия единичного отрезка струны равна: e = 12 ρω2a2 , где ω - частота, а – амплитуда смещения. Каждый единичный отрезок начинает колебаться с приходом волны, а волна распространяется со скоростью c , то и

перенос энергии вдоль струны будет равен энергии умноженной на скорость	ec =	1	ρω2a2c	=	1	Z ω2a2 .
		2	1		2	1

29

СПБГУАП группа 4736 https://new.guap.ru

Скорость, с которой энергия расходуется в точке x0 , т.е. уносится отраженной и преломленной волнами будет: 12 ρ1c1ω2b2 + 12 ρ2c2ω2c2 = 12 Z1ω2b2 + 12 Z2ω2c2 . Поскольку энергия сохраняется, то

1

Z

ω2b2 +

1

Z

ω2c2 =

1

Z ω2a2

или Z

b2 + Z

c2 = Z

a2

или

b2

+

Z

2

c2

=1, но

b

=

Z

1

− Z

2

,

2

a2

Z1 a2

a

1

2

1

2

1

Z1 + Z2

c

2Z1

2

(Z1 − Z2 )

2

=

Z1

− Z2

+

Z2

2Z1

=1 . Отсюда будем иметь для b

=

;

тогда:

2

a Z1 + Z2

+

+ Z2

a

(Z1 + Z2 )

Z1

Z2

Z1 Z1

c2

=

4Z1Z2

. Если Z1

= Z2 то

b2

= 0 и говорят о согласовании импедансов, так как энергия не

a2

(Z1 + Z2 )2

a2

отражается.

§ Согласование импедансов.

Этот прием имеет важное практическое значение в вопросах передачи и приема сейсмических колебаний. Хотя, довольно странное занятие согласование двух геологических сред на глубине, поскольку их характеристики заданы природой от сотворения мира. Между тем, этот вопрос возникает всегда при проведении практических полевых наблюдений за законами распространения упругих волн, поэтому изучим его более внимательно.

На примере трех струн, жестко и гладко соединенных между собой покажем, как можно избежать

появление отраженной поперечной волны. Мы хотим добиться, чтобы Wпрох/Wпад= Z3 D2 =1.

Z1 A2

Согласно типичным условиям из § 1 запишем, что происходит в сечениях x = 0 и x = l , где l - длина вставного куска струны:

1) Aei(ωt−k1x) + Bei(ωt+k1x) = Cei(ωt−k2 x) + Dei(ωt+k2 x) или как и ранее:

A + B = C + D - это первое уравнение при x = 0 .

2) T (−ik1 A + ik1B) = T (−ik2C + ik2 D) и получим Z1 ( A − B) = Z2 (C − D) .

Первое условие в точке x = l даст: Ce−ik2l + Deik2l = E и Z2 (Ce−ik2l − Deik2l ) = Z3 E эти получаются из того, что, используя форму струны при x = l будем иметь: из рис.21.

Рис.21.

U пад = Aexp[−i(ωt − k1 x)] U1 отр = B exp[−i(ωt + k1 x)] U1 прох= C exp[−i(ωt − k2 x)] U2 отр= D exp[−i(ωt + k2 x)]

U3 прох= E exp[−i(ωt − k3 x1 )] , где x1 = x − l при x2 = l и x1 = 0 .

Таким образом, получим четыре уравнения:

30

СПБГУАП группа 4736 https://new.guap.ru

A + B = C + D

Z1 (A − B) = Z2 (C − D)

Ce−ik2l + Deik2l = E

−ik2l

− De

ik2l

)

= E

Z2 (Ce

Решая эту систему, получим последовательно: Z1 ( A − C − D + B) = Z2 (B − D) или

A =

C(r12 +1) + D(r12 −1)

2r12

, где r12 = Z1 / Z2 ;

C =

r +1

Ee

ik l

D =

r23 − 1

Ee

ik 2 l

2r

2

2 r

r = Z / Z

23

,

23

2

3 .

Теперь найдем A :

A =

E

[(r

+1)(r

+1)eik2l + (r

−1)(r

−1)e−ik2l ]=

4r12r23

12

23

12

23

=

E

[(r

+1)(eik2l + e−ik2l ) + (r

+ r

)(eik2l

−e−ik2l )]=

4r13

13

12

23

=

E

[(r

+1) cos k

2

l +i(r

+ r

)sin k

2

l].

2r13

13

12

23

r r

=

Z1

Z2

=

Z1

= r .

Следовательно, отношение квадратов амплитуд будет равно:

12

23

Z2

Z3

13

E

2

=

4r13

, отсюда получим, что отношение энергий в проходящей и

A

(r

+1)2 cos

2 k

l + (r

+ r

)2 sin2 k

2

l

12

2

12

23

падающей волнах есть:

2

Z

E

2

1

A3

4r

λ

3

=

13

Выберем l =

, то тогда

Z

A

r

A

(r

+1)2 cos2 k

l

+ (r

+ r )2

sin2 k

l

4

1

31

12

2

12

23

2

cos k2λ / 4 = cos

2π λ

π

2

1

4r13

= cos

2 = 0;sin

2

=

1. получим, что W

прох/W пад=

=1, это будет, если

λ

4

(r

+ r )2

12

23

r12 = r23

.

4r13

=

Z1 / Z2

=1 и

Z1Z3

=1 или Z

=

Z

.

Z22 / Z32

4r2 23

Z22

2

1

3

Если импеданс связывающей среды равен среднему геометрическому двух других импедансов, которые должны быть согласованы, а длина (мощность) связываемых линий равна λ2 / 4 , где λ2 = 2π / k2 четверти

длины волны в промежуточной среде, то вся энергия с частотой ω = c / λ2 будет свободно проходит в третью среду.

2.6.Волновые пакеты.

Впредыдущих параграфах мы рассматривали монохроматические волны, имеющие одну частоту ωi и

одну длину волны λi . Более общим, а для сейсморазведки и единственным пока случаем, является тот, когда волны образуют некоторый конечный набор или группу разно частотных гармоник. В природе это присутствует в

o o

виде белого дневного света, где λmax = 7000 A- красный, а λmin = 2500 A - синий или фиолетовый. Здесь

31

СПБГУАП группа 4736 https://new.guap.ru

λmax ≈ 2,6 − 2,7 раза. Для сейсмических частот имеем: ωmin =10 Гц, ωmin =125Гци отношение их будет

λmin

12,5, что в 5 раз больше чем у видимого света.

Рассмотрим пакет из двух волн с одинаковыми амплитудами A , но с близкими частотами ω1 и ω2 . u1 = Acos(ω1t − k1 x);u2 = Acos(ω2t − k2 x) . Сложим их:

u = u + u

2

= 2Acos ω1 −ω2

t −

k1 − k2

x cos ω1 +ω2

t −

k1 + k2

x

1

2

ω

+

ω

k

+ k

2

или = 2B cos

1

2

t −

1

x . Теперь это волна с частотой ωcp . Амплитуда же B модулирована

2

частотой

ω1 −ω2

=

ω

≈ 0 медленно меняется, поскольку

ω ≈ 0 .

2

Скорость новой волны равна:

ω1 −ω2

= C

k1 − k2

= C , где C - фазовая скорость C = ω

1

/ k

= ω

2

/ k

2

. Следовательно, пакет как сумма

k1 − k2

1

отдельных гармоник распространяющихся с одинаковой скоростью, а профиль пакета не меняется.

В более общем случае волну с модулированной амплитудой можно записать как u = Acos(ωt −kx)

A = a +bcosω't , тогда: u = acos(ω t −kx) + b {cos[(ω +ω′)t −kx)]+cos[(ω −ω′)t −kx)]}.
1	2
	2
Из за амплитудной модуляции появились две частоты (ω −ω′)			и (ω +ω′) симметричные относительно
основной ω , носят названия – боковые.
Пусть теперь эти же гармоники имеют разные фазовые скорости c1 и c2 . Тогда скорость максимума
vy	= ω1 −ω2 ) =	ω .
амплитуды пакета или групповая скорость	k1 − k2	k	и не равна каждой из c1 и c2 .

В этом случае вид суперпозиции этих волн не будет неизменным, и профиль пакета будет меняться со временем.

Среда, в которой фазовая скорость зависит от частоты, называется диспергирующей. Зависимость ω от k дисперсионным соотношением.

	Если ω1 ~ ω2 , то		ω	→ dω
	Если ω1 ~ ω2 , то		k	dk .
	Групповая скорость есть скорость max амплитуды пакета, а поэтому она называется скоростью передачи
энергии.							= dω =	d	(kv) = v + k dv	= v − λ dv
					v	y		d			=
					v			dk			=
	Так как ω = k / v , где v - фазовая скорость, то						dk	dk	dk	dk
= C − λ dv ; vy		≤ c	dv	= 0
	dk	. Если	dk	, то vy = c - среда без дисперсии.
dv	> 0			dv	< 0
dk	- область нормальной дисперсии, dk				- область аномальной дисперсии.Рис.21.

32

СПБГУАП группа 4736 https://new.guap.ru

Рис. 21.

Обобщим теперь наши результаты на случай пакета, образованного из большого числа частотных

составляющих с одинаковой амплитудой, лежащих с одинаковой амплитудой, лежащих в узком диапазоне ω . Это выражается суммой ряда:

n−1

U = ∑a cos(ωnt + nδ )

, где

δ = ω1 −ω2 ;ω2

−ω3 .

n=0

Таким образом, мы ищем сумму членов ряда, который записывается в виде:

a cosω1t + a cos(ω1 +δ )t + a cos(ω1 + 2δ )t +... + a cos[ω1 + (n −1)δ ]t. Сумма его имеет вид:

R = a sin[nδt / 2] cos

ω

t

ω

= ω + n −1

δ

sin[δt / 2]

, где

1

2

, но nδ = ω -ширина импульса, поэтому при больших n :

ω

R(t) = a

sin

2 t

cos

ω

t = na

sin 2

t

cos

ω

t = A sinα cos

ω

t; A = na; α =

ω t - разность фаз между

sin

ω

t

ω t

α

2

2n

2

первой и последней и последней частотными компонентами в момент времени t .

График волнового пакета, построенный по полученной зависимости, выглядит следующим образом рис.

23.

Рис. 23.

Видим, что амплитуда пакета изменяется по закону синуса со средней частотой ω′, но с модулирующем множителем (sinα) /α . При t = 0 имеем (sinα) /α →1 и cosω′t компоненты волнового пакета

складываются с 0 или минимальным сдвигом фаз. Это дает максимальную амплитуду R = n a . Через некоторый

33

Материал: НЕФТЯНОЙ ГЕОЛОГИИ

Смотрите также: