Документ: НЕФТЯНОЙ ГЕОЛОГИИ, страницы 31-35

СПБГУАП группа 4736 https://new.guap.ru

α =	ω	t = π
интервал времени t , когда	2	фазы компонент становятся неодинаковыми, а суммарная

амплитуда R(t) ~ 0 . Таким образом, время					t - служит мерой ширины центрального импульса и определяется
	ω t	= π	ω	t =1	, или ν t = 1 . Ширина основания центрального импульса равна
соотношением:	2		или 2π

2 t , а t с центром в точке t = 0 взят как условная мера времени, в течение которого R(t) ≥ A / 2 . При таком

определении это соотношение превращается в приближенное равенство:				ν t = 1 или			ω t ≈ 2π . Это
соотношение известно под названием теоремы о ширине частотной полосы.
Теорема утверждает, что одиночный импульс длительности t является результатом сложения
монохроматических компонентов, частоты которых заключены в интервале ωn −ω1 =							ω = 2π / t .
Если перейти к волновому вектору K , то t	надо заменить на координату x и тогда теорема о ширине
частотной полосы примет вид: K x ≈ 2π или	x /	λ ≈1.
В случае монохроматической волны λ = 0. и		1	= 0. , тогда	x (	1	) ≈1. и в этих условиях x ≈ ∞-

		x			λ

определяет бесконечно длинное волновое движение.

Если амплитуды составляющих волнового пакета не равны друг другу, то для рассмотрения этого вопроса необходимо привлечь метод Фурье анализа. Но выводы останутся теми же самыми.

2.7. Поперечные волны в периодической структуре.

Рассмотрим легкую струну длиной l , на всей длине которой на одинаковом расстоянии a друг от друга закреплены n тел одинаковой массы m . Оба конца струны (полная длина l = (n +1)a ) закреплены,

следовательно An = 0 и An+1 = 0 . Во все моменты времени струна натянута с постоянной жесткостью T . Эти тела совершают малые гармонические колебания только в одной плоскости, в данном случае xy . Найдем частоты

и смещения каждого тела. Эта задача была впервые сформулирована французским математиком Лагранжем. Уравнение движения напишем, если рассмотрим компоненты натяжения струны слева и справа от массы с

номером j , которые направлены в сторону равновесия, в данном примере “вниз”.Рис. 24.

Смещение масс i в направлении равновесия ox вызывается силой T sin Θ1 , обусловленной натяжением струны

слева, и T sin Θ

2

- справа от массы. Но sin Θ =

u j

− u j−1

;sin Θ

2

=

u j − u j+1

, поэтому уравнение имеет вид:

1

a

d 2u j

m

= −T (sin Θ + sin Θ

) = −T (

u j − u j−1

u j − u j+1

&&

T

(u

− 2u

+ u

dt2

a

+

a

) отсюда: U

j

=

ma

j−1

j

j−1

). Если

1

2

временна зависимость смещения является гармонической, то смещения j -ой массы можно записать в виде:

U

j

= A

eiωt , аналогично и U

j−1

= A

j−1

eiωt ;

U

j+1

= A

eiωt .

j

j+1

Подставляя их в уравнение движения, получим

−ω2 Aj eiωt =

T

(Aj−1 −2Aj

+ Aj+1 )eiωt = 0 или

ma

− Aj−1 + 2(− maTω2 )Aj − Aj+1 = 0 . – основное уравнение.

Для всех n +1тел мы получим n уравнений, начиная с j =1 и кончая j = n +1. При A0 и An+1 = 0 получаем следующую систему:

34

СПБГУАП группа 4736 https://new.guap.ru

j =1	→ (2 − maω2 )A						− A		= 0
			T			1		2
			T
					maω2
j = 2	→ −A1	+ (2		−	maω2			)A2 − A3
j = 2	→ −A1	+ (2		−		T		)A2 − A3		= 0
						T					Решив эту систему мы найдем n разных значений ω и столько же
.....................................................
						maω2
j = n	→ −A		+ (2 −			maω2			)A = 0
j = n	→ −A		+ (2 −						)A = 0
	n−1						T		n
							T

значений Aj . Решение основано на теории матриц. Здесь его мы не будем изучать, попробуем получить решение методом индукции. Пусть n =1. Это значит, что на струне длиной 2a всего одно тело массой m . При этом нам достаточно одного уравнения j =1 с условиями: A0 и A2 = 0 . Подставим эти данные в уравнение и найдем:

(2 − maTω2 )A1 = 0 . Оно дает одну единственную частоту ω12 = ma2T .

Пусть теперь n = 2 , а длина струны равна 3a .Возможны два случая колебаний. I– подобен предыдущему с n =1(тела колеблются в фазе) и II. – более сложный, когда тела колеблются в противофазе. Поэтому для этого случая необходимо использовать уже два уравнения с n = 1и n = 2 .

(2 −

maω2

) A

− A

= 0

A0

и A3 = 0 по условию. Решая эти два уравнения:

1

2

T

maω

2

2 −

−1

− A

+ (2 − maω2 ) A

= 0

det =

T

2

= 0

1

T

2

−1

2 −

maω

T

maω2

2

maω

2

maω2

(2 −

)

−1

= 0 или (2 −

+

1)(2 −

) = 0 .

T

ω2

=

T

, ω2

=

3T

.

1

ma

2

ma

A1 и A2 . Это в конце концов дает, что для

Зная ω1,ω2 и подставляя их в уравнения последовательно получим

ω1 → A1 = A2 , а для

ω2

→ A1

= − A2 , то есть более быстрое (в 1,7 раза) происходящее колебание, а по

сравнению с n =1 в 1,23 раза.

j - ой массы можно записать уравнением:

Предположим, что амплитуду смещения

Aj

= C sin jΘS , где, С – постоянная, ΘS - некоторый постоянный угол при преобразовании вида:

maω2

− A

+ (2 −

)A − A

= 0 → (2 −

)A = A

+ A

J −1

T

J

+1

T

J

J −1

J +1

(2

−

maω2

) =

A

−1

+

A

+1

;(

2T

−

ω2

) =

A

−1

+ A

J

J +1

T

A

maT

T

A

J

2ω 2 −ω2

=

A

+ A

,

ω

2

=

T

. Отсюда получается, что при любом номере j величина

2ω

2 −ω

2

0

J −1

J +1

0

-

ω

2

A

ma

ω 2

0

J

0

есть величина постоянная и не зависящая от номера, поэтому это представление справедливо для любого j .

Aj−1 − Aj+1

=

C[sin( j −1)Θ

S

+ sin( j +1)Θ

S

]

=

Aj

C sin jΘS

C[sin jΘS cos ΘS

−sin ΘS cos jΘS

+ sin jΘS cos ΘS + sin ΘS cos jΘS ]

=

2C sin jΘS cos ΘS

= 2 cos ΘS .

C sin jΘS

Угол ΘS - постоянный для частицы ωS , найдем из граничных условий A0

= An+1 = 0 .

A0

= C sin Θ = 0; An+1

= C sin(n +1)ΘS

= 0 или (n +1)ΘS

= sπ , где:

s =1,2,…, n следовательно

35

СПБГУАП группа 4736 https://new.guap.ru

ΘS =

s

π и Aj

= C sin QS = C sin j

sπ

- есть амплитуда j - го смещения тела

j при фиксированной

n +1

n +

1

2ω2 −ω2

sπ

частоте из списка разрешенных. Найдем эти разрешенные частицы:

0

s

= 2 cos Θ

S

= 2 cos

.

n +

1

sπ

ω02

Отсюда получаем, что ωS2

= 2ω02 [1 − cos

], s =1,2,3,..., n , а ω02

=

T

.

n +

1

ma

Анализируя полученную формулу отмечаем, что существует максимальная частота ωS

= 2ω0 , тогда когда

cos

sπ

= −1 или

sπ

= π , или s = n +1. Эта частота называется критической или предельной допустимой

n +

1

n +1

верхней частотой. Наличие такой предельной частоты характерно для всех колебательных систем, состоящих из некоторого количества одинаковых элементов (масс), (слоев), которые периодически повторяются по всей структуре.

Представим выражение ωS2 = 2ω02 [1 − cos ns+π1] несколько в другом виде, используя формулу

2 sin2 α

=1 − cosα

2

sπ

ωS2 =

2

(1 − cos

) =

4π

sin2

ma

n +1

2(n +1)

ma

Воспользуемся предыдущим уравнением:

&&

T

(U j+1 − 2U j +U j−1 ) и запишем теперь смещение U j

в виде: U j = Aj e

j(ωt−kx)

=

Aj e

j(ωt−kja)

.

mU j =

a

Подставим в уравнение и получим

4T

ka , отсюда найдем, что ω

4T

sin2 ka

−ω2m

= − T

(eika

+ e−ika − 2) = T

(eika / 2

+ e−ika / 2 ) =

sin2

2

=

-

a

2

am

2

разрешенные частоты. Оно эквивалентно ω2

=

4T

sin2

ka .

Если ka =

sπ

a

2

sπ

λ

π

λ .

; s =1,2,3,..., n. ,но (n +1)a = l - длина струны a(n +1) =

;l = ρ

;

=

2(n +1)

k

2

2π / λ

2

k

2

следовательно:

ka =

2π a =

saπ

=

s

πa .

2(n +1)a

2

λ

2

ρ λ

При s = ρ изменение s на единицу соответствует переходу от одного разрешенного числа полуволн к другому – следующему по порядку, поэтому минимальная длина волны λ = 2a , а максимальная частота

ωmax2

=

4T

. При λ = 2a , sin ka

=1 ибо ka

= π .

ma

2

2πa

Сдвиг фаз между соседними массами равен точно π радиан

ka =

= π

U j

λ

≈ eika

= eiπ

= −1 и самая высокая частота соответствует максимальной связи.

U j+1

В случае больших длин волн и малых k

sin

ka

≈

ka

, поэтому ω

2

=

4T k 2a2

.

2

ma

4

Скорость распространения волны вдоль цепочки c2 =

ω2

= Ta = c2 = T / ρ , где

k 2

m

0

В общем же случае

. Так как

ρ = m / a .

v = ω / k = c	0	sin ka /	2	.Рис. 26.
	0	ka / 2

36

СПБГУАП группа 4736 https://new.guap.ru

Рис. 26.

На рисунке представлены две дисперсионные кривые, a - зависимость скорости от частоты, δ - зависимость разрешенных частот от величины волнового вектора k . ωm - предельно разрешенная максимальная частота волны, распространяющейся вдоль линейной одномерной цепочки масс в периодической структуре.

К лекции об отражении и преломлении поперечных волн.

Зададим себе вопрос, что произойдет с поперечной волной движущейся по структуре, имеющей в некоторой точке излом? Пусть этот излом находится в точке x = x0 . Струна имеет силу натяжения T одинаковую слева и справа

от точки x = x0 . Поперечная волна возбуждается силой F = F0eiωt , действующей в начале струны при x = 0 .

Вправо от точки x = 0 начнет распространяться поперечная волна вида u = aei(ωt−kx) , где u - смещение струны в

точке x , ω - частота колебаний, k - волновой вектор

k =

2π

=

2πω

=

2πω

= 2πω

ρ

= Ω

ρ

;

λ

c

T / ρ

T

Ω = 2πω

Посмотрим боле внимательно на нашу струну. Мы видим, что в принципе ничего особенного со струной не происходит. Натяжение постоянно, линейная плотность ρ - не меняется и длина струны непрерывна по

l

координате x , то есть L = ∫dx = l . Однако, первая производная длины струны по координате x в точке x = x0

0

терпит разрыв. Если слева от точки x = x0 − 0 dLdx = +const , то справа x = x0 + 0 dLdx = −const , и

при x = x0 существует разрыв производной.

Обратим внимание на волновое уравнение:	∂2U	= C2 ∂2U	мы знаем, что это не что иное как силовой
	∂t2	∂x2
баланс на струне. Если мы вместо c2 подставим T / ρ , то получим, что				∂2U	=	T ∂2U	или ρ	∂2U	= T	∂2U
				∂t2		ρ ∂x2		∂t2		∂x2

слева, как мы помним, стоит сила инерции, а справа – сила упругости или сопротивляемости струны изменению

своего состояния. Это уравнение справедливо для всей струны. При этом U T и U X , то есть смещение перпендикулярно координате x и направлению натяжения струны.

Но в точке x = x0 меняется, пусть и незначительно, направление струны. А уравнение баланса сил в точке x0 − 0 выполняется, а в точке x0 + 0 уже нет, потому что произошло изменение направления силы тяжести и смена знака в производной длины струны по координате. Поскольку мы возбуждаем волну поперечную по условию F , то есть (F iX ) = 0 , то справа от точки x0 волна должна быть поперечной также, то есть смещение

Ux=x0 −0 , чтобы стать смещением Ux=x0 +0 должно провернуться на некоторый угол Θ. Рис. 27.

37

СПБГУАП группа 4736 https://new.guap.ru

Ux=xo-o

α

Ux=xo

α

θ

Рис. 27.

Но никаких внешних дополнительных сил, которые бы заставили волну изменить направление, смещения нет, кроме тех, которые переносятся самой волной, то этот поворот должен произойти за счет как бы внутренних свойств рассматриваемой системы. Таким свойством системы есть непрерывность системы смещения струны в

любой ее точке, в том числе и в точке x0 , то есть U x=x0 −0 = U x=x0 +0 . Слева другого смещения просто нет. Для

того, чтобы удовлетворить этим двум условиям, разложим вектор смещения в падающей волне на два вектора. Один из них направлению струны справа от точки x = x0 , а другой ||ему. Тогда будем иметь:

U	x=x0 +0		=U cos Θ


U\|\|	x=x0	+0	=U cos Θ.

Из силового треугольника находим, что α = Θ/ 2 , как углы со взаимно сторонами и окончательно

имеем:

U ′

=U cos 2αΘ

x=x0 +0

U||′

Отсюда U ′2 +U||′2

=U

2 (cos2 2α + sin2 2α) =U 2 , это удовлетворяет условию –

=U sin 2αΘ

x=x0 +0

смещение непрерывно. Вместе с тем, смещение U||

x=x0 +0

происходит не , а вдоль струны и меняет силу

натяжения T , в данном случае увеличивает. Но так как линейная плотность осталась прежней, но из выражения

T = ρc2

находим, что T +

T = ρc2 и

c2

= T +

T ; c =

T

+

T

или c

= c

1 +

T

≈ c

(1 +

T ) ,

c = c

T

. И смещение U

||

T

0 2T

1

ρ1

1

ρ1

ρ

1

0

2T

распространяется по струне быстрее, чем породившая его волна U . Эта волна носит название обменной,

поскольку падающее начальное возмущение в виде одной поперечной волны преобразуется в два волновых движения с одной и той же частотой, но с разными скоростями распространения фаз по струне. Произошел как бы обмен колебательными движениями.

Отсюда становится понятным, почему музыканты используют струны для своих инструментов без изломов. Каждый такой излом меняет звуковой тон струны, нарушая гармонию звучания инструмента так приятную для нашего слуха.

2.7. Сводка основных результатов.

1. Волновое уравнение:	∂2 y	= c	∂2	.
	∂t2		∂x2

2.Волновая (фазовая) скорость c = ∂∂xt = ωk .

3.Волновое число k = 2π / λ , λ - длина волны, определяет величину расстояния разность фаз волны, между которыми, равна 2π .

4. Скорость частиц во фронте волны ∂∂yt = −c ∂∂yx = v упругий случай v << c .

5.Смещение частиц во фронте волны описывается уравнением: y = aei(ωt−kx) , где a - амплитуда волны.

6.Групповая скорость – скорость распространения волны в структурированной среде, зависит от частоты или волнового числа. Скорость движения пакета волн. vΓP = ddkω = v + k dkdv = v − λ ddvλ .

38

Материал: НЕФТЯНОЙ ГЕОЛОГИИ

Смотрите также: