Материал: НЕФТЯНОЙ ГЕОЛОГИИ

СПБГУАП группа 4736 https://new.guap.ru

фазовый угол суммарного колебания равен половине разности фазовых углов последнего и первого колебаний.

Полностью результирующий вектор запишется теперь в форме: A = a sin Nδ / 2 sinδ / 2

ϕ → 0 .

1.2.5 Сложение большого числа гармонических колебаний со случайной фазой.

9

СПБГУАП группа 4736 https://new.guap.ru

Рассмотрим вопрос о суммировании N одинаковых по амплитуде колебаний, но обладающих случайной фазой. Воспользуемся геометрическим изображением и правилом суммирования векторов из предыдущего

параграфа. Пусть необходимо найти сумму N векторов, длинной a и фазовыми углами ϕi .

.

Рис. 8.

На рис. 8 представлено изображение этой суммы. Из этого рисунка можно заключить, что в этот многоугольник нельзя вписать окружность, как, впрочем, и описать ее. Поэтому остается только один вариант: разложить каждый

вектор на его составляющие по осям x и y и найти их сумму по отдельности, а затем вычислить длину вектора по известной формуле: A = Ax2 + Ay 2 , где: Ax и Ay – суммы проекций векторов Аi на оси x и y соответственно.

обобщенная запись удвоенного произведения вида 2cosϕi cosϕj , которое принимает случайным образом значения от –1 до +1, в том числе и 0. Усредним эту сумму по углам ϕi , изменяющимся от 0 до 2π .

1 2π

cosϕi cosϕ j = 2π ∫0 cosϕi cosϕjdϕ = 0 , при i.≠j, так как это есть сумма знакопеременного ряда. Однако,

остаются члены, когда i=j, что дает следующие соотношения:

Следовательно, A = Na2 = a N . Амплитуда системы, участвующей в N одинаковых гармонических колебаниях с одинаковой частотой и амплитудой, но случайно распределенными фазами равна a N и по

сравнению с предыдущим в N раз меньше той же суммы, тех же маятников при последовательно изменяющихся фазах

1.2 Затухающие гармонические колебания.

Выше рассмотрены случаи гармонических колебаний, когда полная энергия системы сохраняется бесконечно долгое время, а смещение изменяется по закону синуса или косинуса неограниченное время. В действительности некоторая доля энергии колеблющегося тела всегда рассеивается вследствие действия сил противодействующих движению. Наличие такого противодействия означает, что наряду с силой противодействия действуют другие силы, величину которых принимают пропорциональной скорости движения. Теперь новое уравнение баланса сил

10

СПБГУАП группа 4736 https://new.guap.ru

или уравнение движения принимает следующий вид: m&x&= −βx& − Kx , где K – упругость возвращающей силы, β

– постоянный коэффициент, равный силе сопротивления, приходящейся на единицу площади. Наличие такого слагаемого в уравнении всегда дает потерю энергии. Задача заключается в том, чтобы найти решение однородного

из курса дифференциальных уравнений, решение можно искать в виде: x = Ceαt , где C,α - также постоянные. C - размерность длины, а α - размерность – обратная времени. Подставляя в уравнение, получаем следующее выражение: Ceαt (mα2 + βα + K) = 0 . Здесь возможны два случая. Первый Ceαt = 0 , но eαt всегда >0 при любом t откуда следует ,что C = 0 . Это значит, что система находится в состоянии покоя (стоит). Нам интересен все же динамический вариант, когда C ≠ 0 . Для выполнения этого условия необходимо положить равенство 0

−K t

б)x = Ce β2

данном примере амплитуда начального смещения уменьшается в 3 раза. Продолжая далее исследовать этот случай, допустим, что постоянные C1 и C2 можно представить в виде: F = C1 + C2 и G = C1 −C2 . Решая эти уравнения относительно C1 иC2 , выразим их через F и G

Выражение, стоящее в квадратных скобках, есть гиперболический синус и косинус. Окончательный вид смещения

будет выглядеть следующим образом: x = e− pt [F ch(qt)+ G sh(qt)], которое показывает, что Это выражение описывает апериодический процесс движения. Никаких колебаний здесь нет. Фактическое смещение определяется начальным значением величины x в момент времени t = 0 . На рис. 8 представлен случай, когда система с большим затуханием выведена из положения равновесия резким толчком.

11

СПБГУАП группа 4736 https://new.guap.ru

движущей силе. Это критический случай затухания и, как правило, носит неустойчивый характер. Малейшее изменение в значениях параметров β и K , которое может носить случайный характер, меняет режим.

Рис. 8.

виду функцию смещения для свободных колебаний, но при t = 0 имеет не нулевое смещение, которое пропорционально величине Asinϕ . Кроме того, частота колебаний ω <ω0 , остается постоянной во времени, а

− β t

амплитуда уменьшается как e 2m см. рис. 9.

Рис.9.

1.2.2 Логарифмический декремент затухания.

12

СПБГУАП группа 4736 https://new.guap.ru

− αt

Величина, характеризующая скорость уменьшения амплитуды колебания x = Ae 2m sin(ωt +ϕ) , называется

− αt

декрементом затухания. Положим, что ϕ =π / 2 , тогда x = A0e 2m cosωt , где A0 - есть амплитуда колебания при t = 0 . В этом случае график изменения x будет выглядеть так, как показано на рис. 10.

Рис. 10.

Если период колебаний равен T = 2π /ω , то через промежуток времени равный периоду

Величина δ = αT = ln A0 и называется логарифмическим декрементом затухания. Ее можно записать и так:

2m A1

δ = α2m2ωπ =π m2αϖ , где: α - коэффициент затухания, ϖ - частота циклических колебаний, m - масса

колеблющегося тела. Можно записать и по-другому: δ = ρνωπα ≈ ρπαl3ω , где l - размер тела, ρ - его плотность.

Логарифмический декрементзатухания численно равен натуральному логарифму отношения амплитуд колебаний через период.

Постоянная времени затухания представляет собой промежуток времени, по истечении которого амплитуда убывает примерно в 3 раза, ( e−1 = 0,368 ).

1.2.3.Добротность гармонического осциллятора с затуханием.

Эта величина характеризует скорость уменьшения энергии, и определяется коффициентом жесткости K . На высоких частотах основной вклад вносит произведение ω m . На частоте ω =ω0 импеданс принимает

минимальное значение α , соответственно скорость v - максимальное значение vm = F0 /α . Частота ω0 - частота резонанса скорости. На этой частоте скорость и сила находятся в фазе, так как tgϕ = 0 ,

Рис. 11.

1.2.4. Зависимость смещения от частоты внешней силы.

Смещение x всегда отстает от скорости x& на π / 2 по фазе, что обусловлено оператором (-i).

13