Материал: НЕФТЯНОЙ ГЕОЛОГИИ

СПБГУАП группа 4736 https://new.guap.ru

7.Прямоугольный волновой пакет, состоящий из n компонент с амплитудой a каждого, имеющий частную

8. Теорема о ширине частотной полосы: для определения волнового импульса длительностью t необходима частотная ширина ω = 2π / t и наоборот.

9.Импеданс или волновое сопротивление среды: Z = сила/скорость = −T ∂∂yx / ∂∂yt = ρc . Отсюда выражение для силы: F = ρcv .

Толщина среды с импедансом Z2 равна λ / 4 , где λ - длина волны в этой среде.

2.8.Поляризация.

Амплитуда некоторых типов волн (электромагнитных, упругих в твердых телах ) в средах

характеризуются не только величиной отклонения от положения равновесия, но и направлением. Особо наглядно эта зависимость проявляется на струне. В предыдущих исследованиях колебаний и волн мы не придавали этому факту какого-либо значения, и правильно. Но сейчас, когда установлены основные закономерности волнового движения, обратим внимание на то, что натянутая струна обеспечит бесконечное множество направлений отклонений от невозмущенного состояния. Выберем наугад три реперных направления. Одно вдоль струны “ z ”, другие два ему перпендикулярных, например, “вверх - вниз”, обозначив его через “ y ” и “влево - вправо”, обозначив его как “ x ”. Тогда любое отклонение струны из начального

положения мы можем получить путем линейных комбинации этих двух ортогональных направлений, считая их за оси локальной системы координат “привязанной” к струне. Это показана на рисунке (вертикально поляризованная волна и горизонтально поляризованная волна). Рис. 28.

Рис. 28.

Малые колебания струны фактически всегда линейны, так что две волны могут распространяться вдоль струны независимо друг от друга. В данном случае скорость их распространения одинакова, так как

определяется силой натяжения T0 и линейной плотностью.

Во многих средах волны распространяются одинаково не зависимо от их поляризации. Но это относится не ко всем веществам и уж тем более к геологическим породам. Яркой житейской иллюстрацией этого явления служит распространение волн в деревянных рельсах. Доска, как известно, имеет два выделенных ортогональных направления. Одно из них перпендикулярно горизонтальной плоскости, другое – вертикальной. При этом сама доска обладает существенно меньшей жесткостью для колебания “вверх – вниз”, и наоборот для “влево – вправо”. Мы все помним свои ребячьи игры, иногда заканчивающиеся синяками и ссадинами, при неумелом использовании досок в качестве качелей, при закреплении одного из ее концов.

Итак, волны представляют собой физические процессы, характеристические параметры которых, суть отклонения от их равновесного состояния, меняются в зависимости от координат и времени. Отклонение от

39

СПБГУАП группа 4736 https://new.guap.ru

положения равновесия может описываться вектором смещения U(x, y, z, t) . Будем рассматривать плоские волны, для которых функция смещения зависит от z, t т.е. U(z, t) .

В общем случае, как мы уже знаем, вектор смещения в плоской волне, распространяющейся вдоль направления zˆ описывается уравнением: U(z, t) = mvxU x (z, t) + mvyU y (z, t) + mvzUz (z, t) .

Для поперечных упругих волн вектор U(z, t) имеет либо x, y компоненту, либо z, x соответственно

нашим обозначениям sH и sV типов сдвиговых колебаний.

Если в поперечной волне смещение направлено вдоль прямой линии и лежащей в плоскости XY ,

перпендикулярно оси zˆ , то такая волна называется линейно поляризованной sH .

U(z, t) = m)xUx (z, t) + m)yU y (z, t) или, представляя, что m)xUx (z, t) = m)x A1 cosωt и

U y (z, t) = m)y A2 cosωt

запишем, что: U(z, t) = m)x A1 cosωt + m)y A2 cosωt = (m)x A1 + m)y A1 ) cosωt.

Для простоты мы возьмем колебания с одинаковой фазой в разных точках оси z . Величина и направление

Круговая поляризация.

Однако, поперечная волна может нести не только колебания вдоль какой-либо линии. Эти колебания могут представлять собой движение частицы по кругу, при этом говорят, что волна поляризована по кругу.

Такие колебания могут быть представлены суперпозицией линейно - поляризованных колебаний по осям x и y , причем амплитуды этих движений равны. Выберем правостороннюю систему координат x × y = z . В

этом случае для колебания с круговой поляризацией по + z составляющая uvx опережает на 900 uvy :

u(t) = m)x A1 cosωt + m)y A2 cos(ωt −π / 2) = m)x A1 cosωt + m)y A2 sinωt .

Аналогично, при вращении U(z, t) в обратную сторону Ux отстает от U y на 900 и

Поляризованные по кругу упругие волны переносят момент импульса единицы объема J , который, как

известно, выражается через энергию волны и ее угловую частоту:

J = ±m)z (w / ω) = ±m)z (ρv2 / ω) = ±m)z (ρλv) , где ρ - плотность породы, λ - длина волны, v - массовая скорость движения частицы.

Бегущая волна с круговой поляризацией по направлению + z получится заменой аргументов ωt на

ωt − kz или:

US (z, t) = A{m)x cos(ωt − kz) + m)y cos[(ωt −π / 2) − kz]}.

Если волна идет в обратном направлении, то меняется значение аргумента ωt − kz на обратные.

Общий случай поперечной поляризации – эллиптическая поляризация.

В общем случае это колебание имеет вид:

40

СПБГУАП группа 4736 https://new.guap.ru

U(t) = m)x A1 cos(ωt +ϕ1 ) + m)y A2 cos(ωt +ϕ2 ) . Если ϕ1 = ϕ2 или ϕ2 ±π то мы имеем случай линейно поляризованного колебания.

Если ϕ2 = ϕ1 −π / 2 и A1 = A2 , то имеет место колебание с круговой поляризацией по + mz , при

ϕ2 = ϕ1 +π / 2 ; A1 = A2 то же, но по − mz . Запишем, как это мы делали раньше, что:

порядка носящее название конического сечения или эллипса. В зависимости от конкретного соотношения фаз двух колебаний ϕ1 и ϕ2 главные оси эллипса постепенно поворачиваются относительно осей координат x и

y . При ϕ2 −ϕ1 = 0;π;2π. - поляризация линейная с переменной смещения частицы при ϕ2 −ϕ1 = π . При ϕ2 −ϕ1 = π / 2;3π / 2. - эллипс вытянут вдоль осей y , либо x и в зависимости от соотношения между величинами A1 и A2 .При A1 = A2 - круговая поляризация, т.к. в этом случае U x2 +Ux2 = A2 .

При остальных значениях ϕ - эллипс занимает промежуточное положение.

Вставить фиг.11 со стр.28.

Свойства поперечно поляризованных колебаний.

1. В линейно – поляризованной волне при фиксированной пространственной координате смещение или

отклонение дважды проходит через 0 , а все элементы совершают одинаковое движение, но с фазовым сдвигом, определяемым временем распространения волны.

2. При круговой поляризации стоячей или бегущей волны + абсолютная величина отклонения при

фиксированной координате z постоянна. Если сделать мгновенный снимок волны, то форма возмущенного состояния среды будет напоминать форму штопора.

3. При отражении направление вращения относительно фиксированного в пространстве направления

zсохраняется независимо от свойств отражающей границы.

2.8.Различные представления состояния поляризации.

Наиболее общее состояние поляризации может быть представлено суперпозицией волн линейно

поляризованных по осям x и y . Существует множество направлений, которые можно выбрать за x и, соответственно этому, множество представлений состояния с линейной поляризацией, переходя к комплексным величинам, ибо мы знаем, что любую волну можно представить в виде ряда гармонических функций, записанных через комплексные величины, можно сказать, что существует бесконечное множество

наборов ортонормированных волновых функций U1 и U2 , которые можно использовать для получения

суперпозиции, определяющей U(z, t) .

Полный набор ортонормированных волновых функций для линейно – поляризованных колебаний по

41

СПБГУАП группа 4736 https://new.guap.ru

Они удовлетворяют условиям: U1 U1* =1;U1* U2 = 0 , что легко проверить подстановкой.

Произвольно поляризованное колебание может быть представлено в виде суперпозиции поляризованных компонент с левой и правой спиральностью, с соответствующе подобранными амплитудами и фазами. К

примеру, возьмем волну линейно поляризованную по оси x , которая может быть представлена двумя эквивалентными выражениями:

U = m)x Acos(kz −ωt) или

при m)y множитель A / 2 - одинаков, а cos отличаются друг от друга фазой на π и при сложении дадут 0 . Соответствующие комплексные выражения имеют вид:

поляризации в гармонической бегущей волне можно представить в следующем виде:

U(z, t) =A(+) U (+) +A(−) U (−) , где: A(±) - комплексные постоянные. Для случая линейной поляризации

A(+) =A(−) = A / 2.

Из достаточно общих соображений мы получим, что состояние поляризации волны описывается уравнением второго порядка вида:

прямых, углы наклона которых к оси ox определяются соотношениями между A1 и A2 : tgα = ±A2 / A1 . Состояние поляризации гармонической волны обычно характеризуют множители поляризации.

Как следует из предыдущего при комплексном Ρ волна имеет эллиптическую поляризацию, при чисто мнимом – оси эллипса совпадают с осями координат. Когда Ρ = ±i - поляризация круговая. В случае

42

СПБГУАП группа 4736 https://new.guap.ru

действительных значений Ρ волна поляризована линейно. Знак мнимой части Ρ определяет направление вращения вектора смещения вектора смещений в плоскости поляризации.

Основной вывод из всех рассмотренных нами соображений тот, что если отношение амплитуд

ортогональных проекций вектора смещения U и сдвиг фаз между ними не изменяются, то есть если U x и

Uv y когерентны, то упругая волна поляризована.

Состояние поляризации как монохроматических так и не монохроматических волн можно характеризовать единым образом с помощью матрицы когерентности:

В случае полностью поляризованной волны U xU *y =U xU *y поскольку ни U x ни U y и соответственно их произведение от времени не зависят.

Для неполяризованной волны определитель матрицы когерентности Ιαβ = Ι2 / 4 , поскольку в этом

Для полностью поляризованной волны определитель матрицы когерентности равен 0 , а в случае

Таким образом, состояние поляризации полностью характеризуется заданием следующих величин:

Вместо этих четырех величин удобно ввозить следующее 3:

В этом случае матрица когерентности выражается через параметры Стокса следующим образом:

Если интенсивность волны равна Ι, то интенсивность ее поляризованной части есть ΙΠ = pΙ, а

неполяризованной ΙΗΠ = (1 − p)Ι.

Физический смысл параметров Стокса ясен из их определения: Ιξ1 - разность интенсивности линейно –

поляризованных волн при α = 0 и 900 . Ιξ 2 - то же самое, но для α = 45 и 1350 . Ιξ 3 - разность интенсивностей

волн с правой и левой круговой поляризацией.

С помощью этих параметров или матрицы когерентности можно находить поляризацию суммарного поля при суперпозиции нескольких волн. Матрица когерентности результирующей волны равна сумме матриц когерентности отдельных волн.

Можно решить задачу о разложении частично поляризованного излучения на полностью поляризованную и неполяризованную компоненты и определить характер поляризации. Для этого матрицу когерентности необходимо записать в виде:

единичный тензор или символ Кронекера. С помощью параметров Стокса можно рассчитать форму и ориентацию

43