Материал: Методичка ТОЭ часть вторая

Глава 3. Цепи с распределенными параметрами

В предыдущих лекциях рассматривались электрические цепи, геометрические размеры которых, а также входящих в них элементов не играли роли, т.е. электрические и магнитные поля были локализованы соответственно в пределах конденсатора и катушки индуктивности, а потери мощности – в резисторе. Однако на практике часто приходится иметь дело с цепями (линии электропередачи, передачи информации, обмотки электрических машин и аппаратов и т.д.), где электромагнитное поле и потери равномерно или неравномерно распределены вдоль всей цепи. В результате напряжения и токи на различных участках даже неразветвленной цепи отличаются друг от друга, т.е. являются функциями двух независимых переменных: времени t и пространственной координаты x. Такие цепи называются цепями с распределенными параметрами. Смысл данного названия заключается в том, что у цепей данного класса каждый бесконечно малый элемент их длины характеризуется сопротивлением, индуктивностью, а между проводами –соответственно емкостью и проводимостью.

Рис. 3.1

Для оценки, к какому типу отнести цепь: с сосредоточенными или распределенными параметрами, следует сравнить ее длину l с длиной электромагнитной волны λ VT . Если l 0,05...0,1λ , то линию следует рассматривать как

цепь с распределенными параметрами. Например, для f=50Гц и V 3 108 м/с ,

l 300 ... 600 км . Для f 108 Гц и λ 3м , т.е. уже при l 0,15... 0,3 м , к линии

следует подходить как к цепи с распределенными параметрами.

Для исследования процессов в цепи с распределенными параметрами (другое название – длинная линия) введем дополнительное условие о равномерности распределения вдоль линии ее параметров: индуктивности, сопротивления, емкости и проводимости. Такую линию называют однородной. Линию с неравномерным распределением параметров часто можно разбить на однородные участки.

56

3.1. Уравнения однородной линии в стационарном режиме

Под первичными параметрами линии будем понимать сопротивление R0 , индуктивность L0 , проводимость g0 и емкость С0 , отнесенные к единице ее

длины. Для получения уравнений однородной линии разобьем ее на отдельные участки бесконечно малой длины dx со структурой, показанной на рис. 3.1.

Пусть напряжение и ток в начале такого элементарного четырехполюсника

Разность напряжений в начале и конце участка определяется падением напряжения на резистивном и индуктивном элементах, а изменение тока на участке равно сумме токов утечки и смещения через проводимость и емкость. Таким образом, по законам Кирхгофа:

ux dx R0 dx L0 dx ti ;

ux dx R0dx L0dx ti

или после сокращения на dx

Теорию цепей с распределенными параметрами в установившихся режимах будем рассматривать для случая синусоидального тока. Тогда полученные соотношения при f 0 можно распространить и на цепи постоянного тока, а

воспользовавшись разложением в ряд Фурье, – на линии периодического несинусоидального тока. Вводя комплексные величины и заменяя t на j , на основании (3.1) и (3.2) получаем

ление и проводимость на единицу длины линии.

57

Таким образом,

58

где Zс Z0 /Y0 - волновое сопротивление.

Волновое сопротивление Z0 и постоянную распространения называют

вторичными параметрами линии, которые характеризуют ее свойства как устройства для передачи энергии или информации.

Аналогичное уравнение согласно (3.6) можно записать для тока. Слагаемые в правой части соотношения (3.7) можно трактовать как бегущие волны: первая движется и затухает в направлении возрастания x , вторая – убывания. Действительно, в фиксированный момент времени каждое из слагаемых представляет собой затухающую (вследствие потерь энергии) гармоническую функцию координаты x , а в фиксированной точке – синусоидальную функцию времени.

59

Волну, движущую от начала линии в сторону возрастания x , называют прямой, а движущуюся от конца линии в направлении убывания x , – обрат-

ной.

u

t1

2A1e αx

2A1e αx

Рис. 2

Рис. 3.2

На рис. 3.2 представлена затухающая синусоида прямой волны для моментов времени t1 и t2 (t2 t1 ) . Перемещение волны характеризуется фазовой

скоростью. Это скорость перемещения по линии неизменного фазового состояния, т.е. скорость, с которой нужно перемещаться вдоль линии, чтобы наблюдать одну и ту же фазу волны:

ифференцировав (3.8) по времени, получим

(3.8) Продифференцировав (3.8) по времени, получим

Продифференцировав (3.8) по времени, получим

V . (3.9) Длиной

ны называется расстояние между двумя ее ближайшими точками, различающимися по фазе на 2рад. В ветствии с данным определением

(3.9) Длиной волны называется расстояние между двумя ее ближайшими точками, различающимися по фазе

60