Материал: Методичка ТОЭ часть вторая

1.2. Определение классического метода расчета переходных процессов. Законы коммутации

Классический метод расчета переходных процессов заключается в непосредственном интегрировании дифференциальных уравнений, описывающих изменения токов и напряжений на участках цепи в переходном процессе. В общем случае при использовании классического метода расчета составляются уравнения электромагнитного состояния цепи по законам Ома и Кирхгофа для мгновенных значений напряжений и токов, связанных между собой на отдель-

- катушка индуктивности при наличии магнитной связи с катушкой, обте-

Рассмотрим электрическую цепь, содержащую последовательно соединенные линейные резистор R, катушку индуктивности L и конденсатор С, при ее подключении к источнику с напряжением u (рис. 1).

Рис.1.1

По второму закону Кирхгофа запишем для мгновенных значений уравнение равновесия напряжений:

Подставим в (1.1) значение тока через конденсатор (табл.1):

6

i C duC dt

и получим линейное дифференциальное уравнение второго порядка относительно напряжения на конденсаторе uC :

В общем случае уравнение, описывающее переходный процесс в цепи с n

независимыми накопителями энергии, имеет вид:

где х –искомая функция времени (напряжение, ток, потокосцепление и т.п.); f t - известное возмущающее воздействие (напряжение и (или) ток источника электрической энергии); a - постоянный коэффициент, определяемый пара-

метрами цепи.

Порядок данного уравнения равен числу независимых накопителей энергии в цепи, под которыми понимаются катушки индуктивности и конденсаторы в упрощенной схеме, получаемой из исходной путем объединения индуктивностей, соединенных последовательно, и соответственно емкостей, соединения между которыми являются параллельными.

Как известно из математики, общий интеграл линейного дифференциального уравнения (1.3) представляет собой сумму частного решения исходного неоднородного уравнения и общего решения однородного уравнения, получаемого из исходного путем приравнивания его левой части к нулю. Поскольку с математической стороны не накладывается каких-либо ограничений на выбор частного решения, применительно к электротехнике в качестве последнего

удобно принять решение xпр , соответствующее искомой переменной х в установившемся послекоммутационном режиме (теоретически для t ).

Частное решение xпр уравнения (1.3) определяется видом функции f t ,

стоящей в его правой части, и поэтому называется принужденной составляющей. Для цепей с заданными постоянными или периодическими напряжениями (токами) источников принужденная составляющая определяется путем расчета установившегося режима работы схемы после коммутации любым из рассмотренных в [1] методов расчета линейных электрических цепей.

Вторая составляющая xсв общего решения уравнения (1.3) соответствует

режиму, когда внешние (принуждающие) источники энергии на цепь непосредственно не воздействуют. Влияние источников проявляется опосредованно через энергию, запасенную в полях катушек индуктивности и конденсаторов.

7

Данный режим работы схемы называется свободным, а переменная xсв - сво-

бодной составляющей.

В соответствии с вышесказанным, общее решение дифференциального уравнения (1.3) имеет вид

Соотношение (1.4) показывает, что при классическом методе расчета послекоммутационный процесс рассматривается как наложение друг на друга двух режимов – принужденного, наступающего как бы сразу после коммутации, и свободного, имеющего место только в течение переходного процесса.

Общее решение (1.4) дифференциального уравнения (1.3) определяет значения полного тока или полного напряжения той или иной ветви цепи, которые имеют место в действительности при переходном процессе и могут быть измерены и зафиксированы на осциллограммах.

Необходимо подчеркнуть, что, поскольку принцип наложения справедлив только для линейных систем, классический метод решения, основанный на разложении общего решения (1.4), справедлив также только для линейных цепей.

В соответствии с определением свободной составляющей xсв в ее математическое выражение входят постоянные интегрирования A, число которых

равно порядку дифференциального уравнения. Постоянные интегрирования находятся из начальных условий, которые принято делить на независимые и зависимые. К независимым начальным условиям относятся потокосцепление (ток) для катушки индуктивности и заряд (напряжение) на конденсаторе в момент времени t 0 (момент коммутации).

Независимые начальные условия определяются на основании законов

t 0 - после коммутации.

Второй закон (правило) коммутации. Напряжение на конденсаторе непо-

средственно до коммутации uC 0 равно напряжению непосредственно после

Доказать законы коммутации можно от противного: если допустить возможность мгновенного скачка тока индуктивности или напряжения на конден-

8

Необходимо подчеркнуть, что более общей физической формулировкой законов коммутации является положение о невозможности скачкообразного изменения в момент коммутации для схем с катушкой индуктивности – потокосцеплений, а для схем с конденсаторами – зарядов на них.

Зависимыми начальными условиями называются значения остальных токов и напряжений в схеме (токи через конденсаторы, токи через резисторы, напряжения на индуктивностях, напряжения на резисторах). К ним относят также значения производных от искомой функции, определяемых по независимым начальным условиям при помощи уравнений, составляемых по законам Кирхгофа для момента коммутации t 0 . Перечисленные токи, напряжения и их производные могут меняться скачком в момент коммутации, поэтому следует различать докоммутационные (при t 0 ) и послекоммутационные (при

t 0 ) начальные условия.

Необходимое число начальных условий равно числу постоянных интегрирования. Поскольку дифференциальное уравнение вида (1.3) рационально записывать для переменной, начальное значение которой относится к независимым начальным условиям, задача нахождения начальных условий обычно сводится к нахождению значений этой переменной и ее производных до n 1 порядка включительно при t 0 .

1.3. Алгебраизация системы уравнений для свободных токов. Характеристическое уравнение системы

Свободный ток представляет собой решение однородного дифференциального уравнения, когда внешние (принуждающие) источники энергии на цепь непосредственно не воздействуют. Решение таких уравнений записывают в ви-

де показательных функций Ae pt , и уравнение для каждого свободного тока

свободного тока определяется отдельно, а показатель затухания p одинаков для всех свободных токов, так как цепь охвачена общим переходным процессом.

Определим производную от свободного тока:

Следовательно, производную от свободного тока можно заменить алгебраическим произведением piсв и соответственно свободное напряжение на ин-

дуктивном элементе L didtсв – на Lpiсв .

9

Определим интеграл от свободного тока и учтем равенство нулю постоянной интегрирования в свободных составляющих тока и напряжения:

Следовательно, интеграл от свободного тока можно заменить алгебраическим делением iсв p и соответственно свободное напряжение на конденсаторе

Алгебраизация исходной системы интегрально-дифференциальных уравнений, составленных для свободных токов электрической цепи на основании законов Кирхгофа или по методу контурных токов, осуществляется заменой символов дифференцирования и интегрирования соответственно умножением и делением на оператор р.

Число полученных алгебраических уравнений равно числу свободных токов электрической цепи, и каждое уравнение имеет нулевую правую часть. В этом случае определитель алгебраизированной системы уравнений свободных токов должен равняться нулю.

Уравнение 0 называют характеристическим уравнением. Единст-

венным неизвестным в нем является показатель затухания p. Характеристическое уравнение может быть получено следующими спо-

собами:

-непосредственно на основе дифференциального уравнения вида (1.2) путем исключения из системы уравнений, описывающих электромагнитное состояние цепи на основании законов Кирхгофа, всех неизвестных величин, кроме одной, относительно которой и записывается уравнение (1.2);

-путем использования выражения для входного сопротивления цепи на синусоидальном токе;

-на основе выражения главного определителя алгебраизированной системы уравнений свободных токов.

Согласно первому способу получено дифференциальное уравнение (1.2) относительно напряжения uC на конденсаторе для последовательного соедине-

ния активного сопротивления, индуктивности и конденсатора (рис. 1.1), на основе которого записывается характеристическое уравнение:

Применение второго и третьего способов составления характеристического уравнения рассмотрим на примере цепи рис. 1.2.

10