Материал: Методичка 1

F (n)(x) = f(n)(x) − f(n)(x0); F (n+1)(x) = f(n+1)(x).

Следовательно, F (x0) = F 0(x0) = · · · = F (n)(x0) = 0. Найдем производные G äî (n + 1)-é включительно:

G0(x) = (n + 1)(x − x0)n; . . . ; G(n)(x) = (n + 1)!(x − x0); G(n+1)(x) = (n + 1)!

Отсюда G(x0) = G0(x0) = · · · = G(n)(x0) = 0, причем G0, G00, . . . , G(n+1) íå обращаются в нуль на (x0, x).

Случай x0 > x рассматривается аналогично.

Следствие 4.2. Пусть P многочлен степени n. Тогда x0, x R

X

n P (k)(x0)

P (x) = (x − x0)k. k!

k=0

Доказательство. Для многочлена n-ой степени (n+1)-я производная тождественно равна нулю. Остается применить к P теорему 4.10 .

5.ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

5.1. Монотонность функций

40

f0(c) ≥ 0 (≤ 0, = 0). Поэтому f(x2) ≥ f(x1) (f(x2) ≤ f(x1), f(x2) = f(x1)), ò. å. f не убывает (не возрастает, постоянна) на [a; b].

2. Пусть a ≤ x1 < x2 ≤ b. По теореме Лагранжа f(x2) − f(x1) = = f0(c)(x2 − x1), ãäå c (x1, x2). Åñëè f0 > 0 (f0 < 0) íà (a, b), òî f0(c) > > 0 (f0(c) < 0). Поэтому f(x2) > f(x1) (f(x2) < f(x1)), ò. å. f возрастает

(убывает) на [ a, b ].

Пусть f : R → R, f(x) = xe−x. Òàê êàê f0(x) = e−x(1− −x), òî f0 > 0 íà (−∞, 1) è f0 < 0 íà (1, +∞). По теореме 5.1 функция f

возрастает на (−∞, 1 ] и убывает на [ 1, +∞). •

5.2.Необходимые и достаточные условия экстремума функции

Определение 5.1. Пусть f : X → R, x0 X предельная точка

множества X. Если x0 предельная справа (но не слева), или x0 предельная слева (но не справа), или f0(x0) = 0, èëè f0(x0) не существует, то x0

называется критической точкой функции f.

По следствию 4.1 из теоремы Ферма функция может иметь экстремум (а также наибольшее и наименьшее значения) только в критических точках. Этот факт называют необходимым условием экстремума .

Укажем достаточные условия экстремума.

Теорема 5.2 Пусть функция f непрерывна в точке x0, для некото- ðîãî ε > 0 Kε(x0) X и существует f0 â K◦ ε (x0). Тогда:

1. Åñëè f0 > 0 íà (x0 − ε, x0) è f0 < 0 íà (x0, x0 + ε), òî x0 точка

максимума.

2. Åñëè f0 < 0 íà (x0 − ε, x0) è f0 > 0 íà (x0, x0 + ε), òî x0 точка

минимума.

3. Åñëè f0 < 0 (> 0) íà (x0 − ε, x0) (x0, x0 + ε), то в точке x0 экстремума нет.

Доказательство. 1. По теореме 5.1 f возрастает на (x0 − ε; x0] è

◦

убывает на [ x0, x0 + ε), а потому x Kε (x0) f(x) < f(x0).

2.Доказывается аналогично.

3.По теореме 5.1 f возрастает (убывает) на (x0 − ε, x0) (x0; x0 + ε),

àпотому в x0 экстремума нет.

Теорему можно кратко сформулировать так: если при переходе через точку x0 производная меняет знак с +(−) íà −(+), то в точке x0 дости-

гается максимум (минимум); если при переходе через x0 производная не меняет знак, то в x0 экстремума нет.

41

Определение 5.2. Критическая точка x0 функции f называется стационарной, если f0(x0) = 0.

Очевидно, что в стационарной точке касательная к графику функции параллельна оси Ox.

Теорема 5.3 Пусть x0 стационарная точка функции f и существует f00(x0). Тогда, если f00(x0) > 0 (f00(x0) < 0), òî x0 точка минимума

(максимума).

(< 0). Следовательно, x Kε (x0) ∩ X справедливо f(x) > f(x0) (f(x) < < f(x0)). По определению 4.4 x0 есть точка минимума (максимума).

5.3. Выпуклость функции. Точки перегиба.

Определение 5.3. Пусть функция f : X → R дифференцируема в

точке x0 X. Будем говорить, что функция f выпукла вниз (вверх) в

◦

точке x0, если существует ε > 0 такое, что x Kε (x0)∩X справедливо неравенство

.

Теорема 5.4 Если f00(x0) > 0 (f00(x0) < 0), то функция f выпукла вниз (выпукла вверх) в точке x0.

42

Доказательство. Напишем формулу Тейлора второго порядка для функции f в точке x0:

f(x) = f(x0) + f0(x0)(x − x0) + 12f00(x0)(x − x0)2 + o((x − x0)2).

◦

Kε (x0) ∩ X

f(x) − f(x0) − f0(x0)(x − x0) > 0 (< 0). (x − x0)2

◦

Отсюда x Kε (x0) ∩ X

f(x) > f(x0) + f0(x0)(x − x0);

т. е. функция f выпукла вниз (вверх) в точке x0.

Точки, при переходе через которые характер выпуклости f меняется, называются точками перегиба функции f (см. рис. 5.3). Более точно:

Определение 5.4. Точка x0 X называется точкой перегиба функции f, если x0 есть предельная слева и справа точка X и существует ε > 0 такое, что

или наоборот.

Теорема 5.5 Пусть x0 X точка перегиба функции f. Если существует f00(x0), òî f00(x0) = 0.

Доказательство. Допустим, что f00(x0) > 0 (< 0). Тогда по теореме

5.4 функция f выпукла вниз (вверх) в точке x0, что противоречит условию. Следовательно, f00(x0) = 0.

Предельные слева и справа точки из множества X, в которых вто-

рая производная функции f равна нулю или не существует, называются

подозрительными на перегиб.

Если при переходе через такую точку x0 вторая производная меняет

çíàê, òî x0 точка перегиба функции. В противном случае в x0 перегиба íåò.

43

5.4. Асимптоты графика функции

Определение 5.5. Пусть f : X → R. Если хотя бы один из пределов lim |f(x)| или lim |f(x)| равен +∞, то прямая x = x0

f.

x = x0 есть вертикальная асимптота графика функции f, òî x0 есть точка разрыва второго рода функции f.

Определение 5.6. Если множество X не ограничено сверху и су-

асимптотой графика функции

Аналогично определяется левая наклонная асимптота.

Теорема 5.6 Пусть множество X не ограничено сверху. Для того, чтобы прямая y = kx + b была правой наклонной асимптотой графика функции f, необходимо и достаточно, чтобы одновременно существовали

Аналогичная теорема верна для левой наклонной асимптоты. Доказательство. Если прямая y = kx + b асимптота, то

−kx − b = 0, т.е. прямая y = kx + b есть правая наклонная асимптота. Пример 5.2. Пусть f : (0, +∞) → R, f(x) = 1/x + x + e−x. Òàê êàê

lim f(x) = +∞, то прямая x = 0 есть вертикальная асимптота графика

x→0+0

44