Материал: Методичка 1

1)коммутативности A B = B A, A ∩ B = B ∩ A;

2)ассоциативности (A B) C = A (B C), (A∩B)∩C = A∩(B∩C);

3)дистрибутивности (A B) ∩ C = (A ∩ C) (B ∩ C), (A ∩ B) C =

=(A C) ∩ (B C);

4) двойственности для A E, B E A B = A ∩ B è A ∩ B =

=A B;

5)поглощения если A B, òî A B = B, A ∩ B = A.

1.3. Границы числовых множеств

В дальнейшем, если не оговорено противное, все встречающиеся числа предполагаются вещественными, а все множества есть подмножества мно-

жества вещественных чисел R.

Определение 1.1. Число K называется верхней (нижней) границей непустого множества E, если для любого x E выполнено x ≤ ≤ K (x ≥ K). Множество E, имеющее верхнюю (нижнею) границу, называется ограниченным сверху (снизу). E называется ограниченным, если оно ограничено и сверху и снизу.

Очевидно, что E ограничено K > 0 : x E |x| ≤ K.

Определение 1.2. Пусть непустое множество ограничено E сверху (снизу). Наименьшая верхняя (наибольшая нижняя) граница E называется его точной верхней (точной нижней) границей и обозначается sup E (inf E).

Очевидно:

K = sup E 1) x E x ≤ K, 2) ε > 0 x E : x > K − ε;

L = inf E 1) x E x ≥ L, 2) ε > 0 x E : x < L + ε.

Пример 1.1. Для множества E = (0, 1] sup E = 1, inf E = 0. •

Фундаментальную роль играет следующая теорема.

Теорема 1.1. Если не пустое множество E ограничено сверху (снизу), то существует sup E (inf E).

Доказательство теоремы можно найти в [ 6 ] (т. 2.1).

5

1.4. Функции. Основные определения

Определение 1.3. Если каждому элементу x X по некоторому правилу f поставлен в соответствие единственный элемент f(x) Y , то говорят, что на множестве X определена (задана) функция f, принимающая значения из множества Y , или что функция f отображает множество X в множество Y .

Обозначение f : X → Y .

Множество X называется областью определения функции f. Элемент y = f(x) Y называется значением функции f на элементе x èëè образом

x при отображении f, à x называется прообразом y. Äëÿ E X è F Y через f(E) è f−1(F ) обозначим множество образов всех элементов из E è

множество прообразов всех элементов из F , ò. å.

f(E) = {f(x)|x E}; f−1(F ) = {x X|f(x) F }.

Множество f(X) Y называется множеством значений функции f. Åñëè f(X) = Y , то говорят, что функция f отображает X íà Y .

Функция f назавается ограниченной (сверху, снизу), если множество ее значений f(X) ограничено (сверху, снизу). Для обозначения точной верхней (нижней) границы множества значений функции f используются обозначения sup f(X) = sup f(x) (inf f(X) = inf f(x)).

Пусть на множестве X заданы функции f è g со значениями в множестве R. Тогда на множестве X естественным образом определяется новая функция h : X → R сумма функций f è g (запись h = f + g) по правилу x X h(x) = f(x) + g(x). Аналогично определяются разность, произведение и частное функций: f − g, fg, f/g (в последнем случае надо считать, что x X g(x) 6= 0).

При этом функция g называется внешней, а f внутренней функцией суперпозиции. Обозначение: h = g ◦ f.

Пример 1.2. Пусть f : R → R, f(x) = sin(x), g : R → [−1, 1], g(y) = = cos(y). Тогда их суперпозицией является функция h : R → [−1, 1],

h(x) = (g ◦ f)(x) = g(f(x)) = cos(sin(x)). •

Функции, введенные в школьном курсе (степенная, показательная, логарифмическая, тригонометрические и обратные тригонометрические), называются простейшими. Функции, полученные из простейших с помощью конечного числа арифметических операций и суперпозиций, называются элементарными. Примером неэлементарной функции может служить

6

функция sign (от слова знак):

1, åñëè x > 0,

sign(x) = 0, åñëè x = 0,

−1, åñëè x < 0.

Определение 1.5. Функция f : N → R, заданная на множестве натуральных чисел, называется последовательностью. Значение f на эле-

менте n N обозначают yn = f(n) и называют n-м членом последовательности.

Для последовательности также используются следующие обозначения:

{yn}, {yn}∞n=1

1.5. Обратная функция

Определение 1.6. Говорят, что функция f : X → R взаимно однозначна, если образы любых двух различных элементов из X различны, т. е. для любых x1, x2 X таких, что x1 6= x2 справедливо f(x1) 6= f(x2).

Определение 1.7. Если функция f : X → R взаимно однозначна,

то для любого y f(X) найдется единственный x X такой, что y = f(x). Обозначим этот x через f−1(y). Тем самым на множестве

f(X) определена функция со значениями в X, называемая обратной к функции f. Запись f−1 : f(X) → X.

Замечание 1.1. 1. Обратная функция определена лишь для взаимно однозначной функции.

2. Функция f−1 взаимно однозначно отображает f(X) íà X. Поэтому

щей (неубывающей), если для любых x1, x2 X таких, что x1 < x2 выполнено f(x1) < f(x2) (f(x1) ≤ f(x2)); 2) убывающей (невозрастающей), если для любых x1, x2 таких, что x1 < x2 выполнено f(x1) > f(x2) (f(x1) ≥ f(x2)); 3) монотонной, если она входит в один из четырех перечисленных классов; 4) строго монотонной, если она возрастает или убывает.

Теорема 1.2. Если f : X → R строго монотонная функция, то существует f−1 : f(X) → X обратная к f функция, которая строго

монотонна в том же смысле.

7

Доказательство. Пусть, например, f возрастающая функция. Если x1 < x2, òî f(x1) < f(x2); åñëè x1 > x2, òî f(x1) > f(x2). Поэтому x1, x2

Замечание 1.2. Существуют не монотонные функции имеющие обратную. Например функция f(x) = x1 на множестве R \ {0}.

2. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ

2.1. Окрестность точки. Предельные точки множества

Определение 2.1. Пусть a, ε R, ε > 0. Множество

Kε(a) = (a − ε, a + ε) = {x R |x − a| < ε}

называется ε-окрестностью точки a. Множество

Очевидно, что Kε1 (a) ∩ Kε2 (a) = Kε(a), ãäå ε = min{ε1, ε2}.

Определение 2.2. Точка a R называется предельной точкой множества X, если пересечение любой ее проколотой ε-окрестности с X не пусто. Точка a называется изолированной точкой множества X, если a X и a не является предельной для X.

Кратко это определение можно записать так: ◦ a предельная точка множества

ванные, 0 едиственная его предельная точка.

2. Если X = [0, 1), то все точки отрезка [0, 1] являются предельными точками множества X. •

8

Предложение 2.1. Для того, чтобы точка a была предельной точ- кой множества X, необходимо и достаточно, чтобы всякая ее ε-окрест- ность содержала бесконечное число точек из X.

Доказательство. Предположим противное: пусть некоторая

ε-окрестность точки a содержит конечное число точек из X. Пусть δ

◦

расстояние от a до ближайшей из них. Тогда Kδ/2(a) ∩ X 6= Получено

противоречие.

◦

Åñëè äëÿ ε > 0 Kε(a) содержит бесконечное число точек множе-

◦

ñòâà X, то условие ε > 0 Kε(a) ∩ X 6= выполнено. Значит точка a является предельной точкой множества X.

2.2. Определение предела функции

Определение 2.3. Пусть a предельная точка множества X и задана f : X → R. Точка b R называется пределом функции f в точке a, если для любой ε-окрестности точки b существует такая проколотая δ-окрестность точки a, что для всех x из пересечения ее с X значения функции принадлежат выбранной ε-окрестности точки b.

Обозначение: lim f(x) = b.

x→a

Кратко определение предела можно записать так:

Отметим, что

(

Очевидно, что следующие утверждения равносильны:

lim f(x) = b lim(f(x) − b) = 0 lim |f(x) − b| = 0.

x→a x→a x→a

Теорема 2.1 (единственность предела). Если lim f(x) = b и

x→a

lim f(x) = c, то b = c т. е. предел (если он существует) единственный.

x→a

9