Материал: Методичка 1

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Кроме того,

	qm		3 0.5m
3. Решим неравенство aδ+1		< ε			< 0.01 0.5m−1 <
	1 − q		33	1 − 0.5

< 0.09 m ≥ 5, возьмем m = 5. 4. Положим n0 = δ + m = 7. По доказанному ранее за приближенное значение суммы ряда с точностью ε = 0.01

можно взять S	7	=	1	+		2	+	3	+		4	+	5	+	6	+	7	= 0.7480 =	0.75.	•
			3		32			33		33			35		36		37

10.5. Признак Лейбница сходимости знакочередующегося ряда

		+∞
n	Ðÿä n=1(−1)n+1an = a1 − a2 + a3 − a4 + . . . , ãäå an > 0 для любого
n	N,	P
		называется знакочередующимся.
		называется знакочередующимся.
	Теорема 10.7 (признак Лейбница). Если для любого n N an+1 ≤
≤ an è lim an = 0, òî ðÿä					+∞
≤ an è lim an = 0, òî ðÿä					(−1)n+1an сходится, его сумма S [0; a1] è
для любого n N			S	SnnP an+1.
			\|	−	=1
			\|	−	\| ≤

Доказательство. Покажем, что последовательность частичных сумм ряда с четными индексами {S2n} не убывает и ограничена сверху. В самом

деле, так как по условию для любого n N an+1 ≤ an, òî

S2 = a1 − a2 ≥ 0, . . . , S2n+2 = S2n + (a2n+1 − a2n+2) ≥ S2n.

S2n = a1−(a2−a3)−· · ·−(a2n−2−a2n−1)−a2n ≤ a1. Следователь- íî, 0 ≤ S2 ≤ · · · ≤ S2n ≤ S2n+2 ≤ · · · ≤ a1. Неубывающая ограниченная сверху последовательность {S2n} по теореме 2.15 имеет предел lim S2n = S è 0 ≤ S ≤ a1. Для последовательности частичных сумм с нечетными индексами {S2n+1} выполнено

lim S2n+1 = lim(S2n + a2n+1) = lim S2n + lim a2n+1 = S + 0 = S.

Итак, последовательности частичных сумм

{S2n} è {S2n+1} имеют

один и тот же предел S. Отсюда lim Sn = S.

По доказанному ранее знакочередующийся ряд a

n+1 −

n+2

+ a3

. . .

n+2

−

сходится и его сумма 0 ≤ Rn ≤ an+1. Поэтому |S − Sn| = |(−1)

Rn| =

= Rn ≤ an+1.

n+1

Пример 10.7. Вычислить сумму ряда +∞

(−1)

с точностью

ε = 0, 01.

=1 n(n + 1)(n + 2)

Òàê êàê an =

убывает и lim an = 0, то по признаку

n(n + 1)(n + 2)

Лейбница данный ряд сходится. Так как a4 =

< ε, òî |S − S3| ≤

4 · 5 · 6

≤ a4 < ε. Вычислим S3 =					1			−			1			+			1			= 0.142. Значит

			1	·	2	·	3		2	·	3	·	4		3	·	4	·	5
S =	0.14.	•		·		·				·		·				·		·
		•

10.6.Абсолютная и условная сходимость ряда

сходится.	+∞	+∞
сходится.	P	nP
Теорема 10.8 Если ряд	\|an\| сходится, то и ряд	an также
	n=1	=1

Доказательство. Введем новые последовательности {a+n } è {a−n }:

0, an < 0

−an,

< 0

и рассмотрим два положи-

a+ =

an, an ≥

0 ; a− =

≥ 0

тельных ряда

+∞ a+ è

+∞ a−. Òàê êàê a+

è a−

, òî

ýòè ðÿäû

n ≤ | n|

n ≤ | n| N

n=1

n=1 n

сходятся по признаку сравнения. По предложению 10.1 разность

сходящихся рядов есть сходящийся ряд, т.е. ряд

+∞

(an+ − an−) сходится. Да-

+∞ nP

лее, очевидно, что an+ − an− = an, значит ряд

an сходится.

∞ (

∞

Замечание 10.2. Åñëè

n=1 an сходится, то ряд n=1 |an|

может расхо-

диться. Например, ряд

−

n+1

сходится по признаку Лейбница, но ряд

nP+∞ 1

из абсолютных величин

гармонический ряд, который расходится

(см. пример 10.2).

+∞

nP+∞

Определение 10.2. Если ряд

|an| сходится, то говорят, что ряд

+∞

an сходится абсолютно. Если ряд

an сходится, но

|an| расходит-

n=1

ся, то говорят, что ряд

an сходится условно.

В этих терминах ряд

+∞

(−1)n+1

сходится условно. Теорему 10.8 мож-

но сформулировать так:

n=1

абсолютно сходящийся ряд сходится.

+∞

рестановке его членов новый ряд P

Замечание 10.3.

Åñëè ðÿä

an сходится абсолютно, при любой пе-

n=1

по-прежнему будет сходиться и иметь ту

n=0

P an(x − x0)n

+∞

(x − x0). Множество сходится, называется

+∞

P an(x − x0)n, ãäå

n=0

+∞

же сумму. Если же ряд P an сходится условно, то всегда можно найти

n=1

такую перестановку его членов, что новый ряд будет сходиться к любому наперед заданному числу (см. теорему Римана, доказанную в [ 7 ] т. 1.10)

или даже станет расходящимся.

Для исследования абсолютной сходимости часто применяют признаки Коши и Даламбера, которые в этом случае имеют следующий вид.

< 1 ðÿä	+∞ a сходится абсолютно; при K > 1p	\|lim\|	a = +	è ðÿä
Теорема 10.9 Если существует предел lim n		an	= K, òî ïðè K <
	P n		\| n\|	∞
+∞	n=1
+∞

an расходится.

n=1

Теорема 10.10 Если существует предел lim

D, òî ïðè

an+1

D < 1

ðÿä

∞

сходится абсолютно; при

D > 1

= +

è ðÿä

lim

∞

n=1

+∞

an расходится.

n=1

lim	an+1	= D, òî K = D.	lim p	\|an\|	= K
	Замечание 10.4. Отметим, что если существуют		n			è
	an

11. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ

11.1. Понятие степенного ряда

Пусть {an} последовательность чисел, x0 R.

Определение 11.1. Семейство числовых рядов x R, называется степенным рядом по степеням тех x, для которых числовой ряд

областью сходимости степенного ряда и обозначается Dcx. Функция S :

+∞

Dcx → R S(x) = P an(x − x0)n называется суммой степенного ряда.

n=0

Dcx

x − x0 = +

Очевидно,

. Заменой

w степенной ряд по степеням

x − x0 преобразуется в ряд по степеням w

∞ anwn и обратно.

+∞ xn

Пример 11.1. Äëÿ ðÿäà n=0

Dcx = R. Возьмем x R. Îáî-

n P

xn+1

значим bn =

1 = 0 <

n! , тогда lim

= lim (n + 1)! xn

= lim n|+|

Даламбера

сходится

любом

< 1, по признаку

ðÿä

ïðè

. Аналогич-

∞

но можно показать, что для ряда

n=0 n!x

Dcx = {0}, à äëÿ ðÿäà

n=0 x

Dcx = (

1; 1)

x < 1) и его сумма

−

( т. е. совпадает с интервалом

равна

S(x) =

− x

11.2. Радиус и интервал сходимости степенного ряда

+∞

Теорема 11.1 (Абеля). Если сходится ряд P anxn1 è |x| < |x1|, òî

n=0

+∞

ðÿä P anxn сходится абсолютно.

n=0

Доказательство. По необходимому признаку сходимости ряда последовательность {anxn1 } стремится к нулю, а потому ограничена, т. е. M >

> 0 :

anx1n

M. Òàê êàê q =

< 1, òî

anxn

| ≤

{ } |

∞

è ðÿä

n сходится. По

признаку

сравнения

= |anx1 |

≤

n=0 Mq

+∞

anx

сходится.

(теорема 10.2 ) ряд

+∞ anxn существует ра-

Теорема 11.2. У любого степенного ряда

+∞

сходится

диус сходимости, т. е. такой Rcx

[0; +∞], ÷òî ðÿä n=0 anxn

абсолютно при всех

< Rcx

и расходится при

cx.

> R P

Доказательство. Положим Rcx = sup |x|. Åñëè |x| > Rcx, òî x 6 Dcx

x Dcx

и ряд расходится. Если |x| < Rcx, òî x1 Dcx, такой что |x| < |x1| < Rcx.

+∞

По теореме Абеля ряд P anxn сходится абсолютно.

n=0

x = Rcx.

Замечание 11.1. Предыдущая теорема показывает, что область сходимости Dcx содержит интервал |x| < Rcx, называемый интервалом схо-

димости степенного ряда, и, возможно, еще содержит точки x = −Rcx è

Предложение 11.1. Пусть существует lim n |an| = K. Åñëè K 6= 0 6= 0, òî Rcx = 1/K; åñëè K = 0, òî Rcx = +∞; åñëè K = +∞, òî Rcx = 0.

+∞

Доказательство. Применим к ряду P anxn признак Коши. Для это-

n=0

p		p
го вычислим lim n	\|anxn\| = \|x\| lim n \|an\| = K\|x\|. Åñëè K = 0, òî äëÿ ëþ-

áîãî x R K|x| = 0 < 1, поэтому Dcx = R è Rcx = +∞. Åñëè K = +∞, то для любого x 6= 0 K|x| = +∞ > 1, поэтому Dcx = {0} è Rcx = 0. Åñëè K 6= 0 è K 6= +∞, то ряд сходится абсолютно при K|x| < 1, ò. å.

ïðè |x| < 1/K, и расходится при K|x|

> 1, ò. å. ïðè |x| > 1/K. Поэтому

Rcx = 1/K.

11.3. Дифференцирование и интегрирование степенного ряда

+∞

Пусть S(x) сумма степенного ряда

anxn = a0+a1x+· · ·+anxn+. . . ,

+∞

Rcx его радиус сходимости. Рассмотрим два ряда:

nanxn−1 = a1+

n=1

исходного почленным диф-

+2a2x +

+ nanx − + . . . , полученный из

· · ·

n+1

∞ an

ференцированием, и n=0

= a0x +

+ · · · +

+ . . . ,

n + 1

полученный из

исходного почленным интегрированием. Приведем без до-

казательства следующий важный результат.

Теорема 11.3. Для рядов +∞ anxn, +∞ nanxn−1 è +∞

xn+1 ðàäè-

n=0

n=1

n=0 n + 1

усы сходимости совпадают.

Сумма степенного ряда

дифференцируема

и интегрируема в интервале сходимости

|x| < Rcx, и справедливы равен-

ñòâà S0(x) = +∞ nanxn−1 è

S(t) dt = +∞

xn+1.

n=1

n + 1

Теорему можно кратко сформулировать так: в интервале сходимости степенной ряд можно дифференцировать и интегрировать почленно. Доказательство теоремы можно найти в [ 7 ] (т. 2.16 и 2.17).

Пример 11.2. Äëÿ |x| < 1 справедливы равенства:

+∞		n+1 xn			+∞	n x2n+1
X	(−1)				X	(−1)
ln(1 + x) =	(−1)		n	;	arctg(x) =	(−1)	2n + 1	.
n=1					n=0

Смотрите также:


«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_11_А. Франс для эл версии
_3 тема - Диффузия
_индив анализ данных