Материал: Методичка 1

ется функцией-оригиналом и изображение по Лапласу для нее существует при <e(s) > σ. Очевидно Φ(0) = 0 и, согласно теореме Барроу см. теорему

6.8 , Φ0(t) = f(t). Следовательно, используя теорему 9.6 , получаем

−∞

Предложение 9.2.Если f, g функции-оригиналы, то (f g)(t) =

t

Z

= f(τ)g(t − τ) dτ и f g функция-оригинал.

0

Доказательство. Поскольку f, g функции-оригиналы, то f(τ) = 0 при τ > 0 и g(t − τ) = 0 при τ > t. Значит

|f(τ)g(t − τ)| ≤ M1eσ1τ M2eσ2(t−τ) ≤ M1M2eσ1τ eσ2(t−τ) = M1M2eσ1τ .

85

Следовательно,

t

Z

|(f g)(t)| ≤= |f(τ)g(t − τ)| dτ ≤ M1M2eσ1tt ≤ M1M2e(σ1+1)t

0

так как для любого t R t ≤ et.

Теорема 9.8. (О свертке.) Предположим, что функции f, g являются функциями-оригиналами, и при этом выполнены оценки: |f(t)| ≤ ≤ M1eσ1t, |g(t)| ≤ M2eσ2t. Тогда при <e(s) > max{σ1, σ2} :

L(f g) = L(f)L(g).

Без доказательства.

Замечание 9.1. Выше приведенные теоремы позволяют находить изображения по оригиналу, не вычисляя интегралов из определения 9.4 .

9.5.Нахождение оригинала правильной рациональной дроби

Часто возникает потребность найти оригинал по изображению, представляющему собой правильную рациональную дробь. Напомним, что рациона-

Pm(s)

льной дробью называют отношение Qn(s) двух полиномов Pm(s) è Qn(s), степени которых равны m è n, соответственно. Дробь называют правиль-

íîé, åñëè m < n, и неправильной, если m ≥ n.

Теорема 9.9. Всякая правильная рациональная дробь имеет ориги-

íàë.

Доказательство. Произвольную правильную рациональную дробь можно разложить в сумму простейших дробей и, использовать теорему

линейности (ò. 9.3 ), то достаточно показать, что простейшие дроби имеют

оригинал.

Отметим, что если использовать комплексные корни полинома Qn(s),

A

то достаточно найти оригинал от простейшей дроби (s − a)k . Используя теорему 9.4 , а также пример 9.4 легко получить, что:

Замечание 9.2. Неправильная рациональная дробь не имеет ориги-

86

10. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ

10.1. Понятие числового ряда. Сходимость ряда

Пусть {an} последовательность чисел. Образуем новую последовательность {Sn} по следующему правилу:

S1 = a1, S2 = a1 + a2, . . . , Sn = a1 + a2 + · · · + an, . . .

Пара последовательностей {an} è {Sn} называется числовым рядом. Числа a1, a2, . . . , an называются первым, вторым, . . . , n-м членом ряда; а числа S1, S2, . . . , Sn называются первой, второй, . . . , n-й частичной суммой ðÿ-

Òàê êàê lim Sn = 1, то ряд сходится и его сумма равна 1.

87

2. Используя свойства логарифма получим:

Òàê êàê lim Sn = +∞, то ряд расходится.

+∞

3. Из школьного курса известно, что ряд P bqn−1 (членами которого

n=1

служат элементы геометрической прогрессии) сходится при |q| < 1 и его сумма равна b/(1 − q) и расходится при |q| ≥ 1. •

Теорема 10.1 (необходимый признак сходимости ряда). Если

+∞

ðÿä P an сходится, то lim an = 0.

n=1

Доказательство. По условию существуют lim Sn = lim Sn−1 = S. Отсюда lim an = lim(Sn − Sn−1) = S − S = 0.

Следствие 10.1. (достаточный признак расходимости ряда).

PP

bn è (αan + βbn) соответственно. Тогда Sn = αAn + βBn. По теоре-

n=1 n=1

ìå 2.4 lim Sn = α lim An + β lim Bn = αA + βB и по определению 10.1

+∞

P

(αan + βbn) = αA + βB.

n=1 Легко показать, что конечное число первых членов ряда не влияет на его сходимость, т. е. справедливо следующее предложение.

=1

P

n≥m

88

10.2. Признаки сравнения для положительных рядов

Рад с неотрицательными членами называется положительным. Сходимость или расходимость положительного ряда можно установить, сравнивая его с каким-нибудь другим положительным рядом, о сходимости которого все известно.

Теорема 10.2 (признак сравнения). Пусть n N 0 ≤ an ≤ bn.

сходимости ряда с большими членами следует сходимость ряда с меньшими членами. Для сумм этих рядов справедливо неравенство A ≤ B.

PP

89