Материал: Методичка 1

≤

ϕ(t). Предположим также, что для любых t

h

a, b

i x

x0

lim f(x, t) = g(t).

b

→

h

i

x→x0

(

)

Тогда функция g интегрируема на

a, b

Ra

dt.

è lim I(x) =

g t

|f(x, t)| ≤ ϕ(t). Предположим также,

что для любого t ha, bi

lim f(x, t) = g(t). Тогда функция I непрерывна в точке x0, ò. å.

x→x0

b

b

Z

Z

I(x0) = lim f(x, t) dt =

f(t, x0) dt.

x→x0

a

a

Теорема 8.2 (правило0

Лейбница). Пусть для любого x hc, di

и t ha, bi существует fx(x, t) и существует интегрируемая на ha, bi

◦

0

функция ϕ такая, что для любых x Kε(x0) ∩ hc, di |fx(x, t)| ≤ ϕ(t).

b

Тогда существует I 0 (x0) = Ra

fx0 (x0, t) dt.

Доказательство теоремы см. в [ 7 ] (т. 7.4).

+∞e−xt

Пример 8.1. Рассмотрим интеграл I(x) =

sin(t)

dt, x > 0.

Покажем, что x0 > 0 можно осуществить

R

t

0

предельный переход под знаком

интеграла.

sin(t)

Функция

e−xt

t

≤ e−(x0−ε)t = ϕ(t).

интегрируема

íà

.

ϕ(t)

(0, + )

∞

Следовательно, по теореме 8.1 можно осуществить предельный пере-

◦

òî lim

e−xt

sin(t)

= 0 è

lim I(x) = 0.

t

x→+∞

x→+∞

Рассмотрим теперь вопрос об дифференцируемости интеграла I(x) ïî

параметру x: òàê êàê f(x, t) = e−xt

sin(t)

, òî fx0 (x, t) = −e−xt sin(t). Åñëè

t

x

0

> 0, òî

x

◦

(x

)

f

0

(x, t)

| ≤

e−xt

≤

e−(x0−ε)t = ϕ(t). Функция ϕ(t)

Kε

0

|

x

0

(x) =

интегрируема на (0, +∞). Следовательно, по теореме 8.2 , при x > 0 I

+∞

= − e−xt sin(t) dt. Применяя два раза интегрирование по частям, полу-

÷àåì R0

+∞

I 0 (x) = −1 + x2

Z0

e−xt sin(t) dt = −1 − x2I 0 (x).

Значит, I

0 (x) =

−1

I(x) =

−

arctg(x) + C. Окончательно, используя,

1 + x2

è

π

π

÷òî lim

I

x

) = 0

, получаем, что C =

è I

x

) =

−

arctg(x).

2

x→+∞

(

2

(

≤

x→0 1

1

t

Z0

1). Тогда по следствию 8.2

lim I

(x) =

sin(t)

dt.

Рассмотрим второй интеграл. Интегрируем по частям (следствие 6.3 ),

при этом обозначим v =

e

−

xt sin(t) dt =

−e−xt

(cos(t) + x sin(t)) è u =

1

,

1 + x2

t

R

A

e−xt

t

dt = −

−

t(1 + x2)

1

A

−

t2(1 + x2)

dt =

Z

− Z

1

sin(t)

e

xt(cos(t) + x sin(t))

A

1

e

xt(cos(t) + x sin(t))

e−

xA

(cos(A) + x sin(A))

x

= −

e− (cos(1) + x sin(1))

−

+

A(1 + x2)

(1 + x2)

−1 + x2

A

−

t2

dt − 1 + x2

A

t2

dt.

Z1

Z1

−

1

e

xt cos(t)

x

e

xt sin(t)

Òàê êàê

−

t2

≤ t2 ,

−

t2

≤ t2

x ≥ 0 (1/t2 интегриру-

åìà íà [1, +

e

xt cos(t)

1

e

xt sin(t)

1

x

0 интегралы

), пример

7.1), то по теореме

7.7

∞

≥

+∞e

−

xt cos(t)

+∞e

−

xt sin(t)

Z1

dt è

Z1

dt

t2

t2

1

+∞e

1

+∞e

−

xt cos(t)

−

xt sin(t)

веденных ранее оценок, в интегралах

Z1

dt

è

Z1

dt

t2

t2

можно переходить к пределу под знаком интеграла при

x → 0. Следова-

1

0

С другой стороны, lim I(x) = lim

π

−

arctg(x)

=

π

. Итак, получи-

+∞

t

= 2

x→0

x→0

2

•

2

ëè, ÷òî Z1

x→+∞ Si( ) =

2

sin(t)

dt

π

, ò. å.

lim

x

π

(ñì. 7.4).

8.2. Гамма-функция

называется гамма-функцией.

: (0, +∞) → R,

(x) =

+∞ x

1 t

dt

R0

t

− e−

Определение 8.2. Функция

1

+∞

÷òî x

0 −

ε > 0. Тогда

t

(0, 1] è

x

◦

(x

) выполнено tx−1e−t

| ≤

Kε

0

|

≤

1

. Функция ϕ(t) =

1

интегрируема на (0, 1] (пример 7.2).

t1−x0+ε

t1−x0+ε

1

tx0−1e−t dt

Следовательно, по теореме 7.9 для любого x0

> 0 интеграл

сходится и по следствию 8.1 функция 1

непрерывна

x0 > 0.R0

Рассмотрим теперь 2. Из формулы Тейлора с остаточным членом в

t

tn

ec

форме Лагранжа для et: et

= 1 +

+ · · · +

+

tn+1,

c

(0, t)

1!

n!

(n + 1)!

следует, что при t ≥ 0,

et

≥

tn

n N. Подберем n так, чтобы n >

,

n!

> x + 1. Тогда, так как t ≥

1, et ≥

tx+1

è e−t

≤

n!

t ≥ 1

n!

tx+1

. Значит, при

n!

n!

справедливо неравенство tx−1e−t ≤

. Функция ϕ(t) =

интегрируема

t2

t2

íà [1, +∞) (пример 7.1). Следовательно, по теореме 7.7 для любого

x > 0

+∞

интеграл

R1

tx−1e−t dt сходится и по следствию 8.1 функция 2 непрерывна

+∞

è 0 (x) =

R0

tx−1e−t ln t dt.

◦

0

ln t

x0 − ε > 0. Ïðè t (0, 1] è x Kε(x0) имеем |fx

(x, t)| ≤ −

= ϕ1(t).

t1−x0+ε

Ïðè t

[1, +∞) имеем |fx0 (x, t)| ≤

n!

ln t

= ϕ2(t). Для доказательства

t2

1

1

tx0−ε ln t

1

1

1

Z

ϕ1(t) dt = − Z

tx0−ε−1 ln t dt = −

0 +

Z

tx0−ε−1 dt =

x0

−

ε

x0

−

ε

0

0

0

1

tx0−ε

1

1

1

−

0

x0

−

ε t→0+0

(x0

−

ε)2

(x0

−

ε)2

(x0

−

ε)2

=

lim (tx0

ε ln t) +

= 0 +

=

+∞

+∞ln t

ln t

+∞

+∞dt

Z

ϕ2(t) dt = Z

dt = −

1

+ Z

=

t2

t

t2

1

1

1

ln t

1

+

∞

1

= − t→+∞ t

− t

lim

= 0 + 1 = 1.

+∞

руемы и 0 (x) =

R0

tx−1e−t ln t dt.

1)

x (0, +∞) (x + 1) = x (x);

2) (1) = 1;

3)

n

n

n

!;

4)

lim

(x) = +

∞

.

N ( + 1) =

x 0+0

→