Материал: Методичка 1

Скачать файл

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

x→+∞

g(x)

≤g(x) dx (теорема 6.5 ) и теоремы 2.13 о пределе монотонной функ-

ции следует существование предела lim F (A), что по определению 7.1

A→+∞

+∞

означает сходимость интеграла R f(x) dx.

+∞

Если интеграл R f(x) dx расходится, то, предположив сходимость

+∞

интеграла R g(x) dx придем к противоречию с доказанным ранее.

Теорема 7.8 (предельный признак сравнения). Пусть функции f и g кусочно-непрерывны на [ a, +∞) и пусть x [ a, +∞) имеют место

неравенства f(x) > 0, g(x) > 0. Если существует конечный lim f(x) 6=

x→+∞

+∞

6= 0, то f(x) dx сходится тогда и только тогда, когда сходится

+∞

g(x) dx (интегралы сходятся или расходятся одновременно ).

Доказательство. Обозначим k = lim fg((xx)). ßñíî, ÷òî k > 0. Возьмем ε > 0 таким, чтобы k − ε > 0. По определению предела b [ a, +∞)

такое, что x > b выполняется неравенство k − ε <

f(x)

< k + ε, откуда

g(x)

+∞

−

ε)g(x)

< f(x) < (k + ε)g(x). Пусть сходится

f(x) dx, тогда по

∞

теореме 7.2

сходится и Rb

f(x)

dx. Из полученного выше неравенства, по

+∞

теореме 7.7 , следует сходимость

−

ε)g(x) dx. Далее, по теореме 7.1

∞

сходится Rb

g(x) dx, и, снова по+теореме 7.2 сходится

g(x) dx.

∞

Обратно, пусть сходится Ra

g(x)+dx, тогда по теореме 7.2 сходится

∞

по теореме 7.1 сходится

Отсюда по теореме

g(x) dx, è +

Rb (k + ε)g(x)+dx.

∞

7.7 сходится

f(x) dx и по теореме 7.2 сходится

f(x) dx.

Замечание 7.4. Теоремы 7.7 и 7.8 с соответствующими переформу-

лировками справедливы и для несобственного интеграла R f(x) dx, à òåî-

−∞

+∞

рема 7.7 и для несобственного интеграла R f(x) dx.

−∞

Для несобственных интегралов на конечном промежутке справедливы аналогичные теоремы, которые доказываются так же, как теоремы 7.7 , 7.8 .

Теорема 7.9 (признак сравнения). Пусть функции f и g кусочнонепрерывны на [ a, b) и x [ a, b) имеет место неравенство 0 ≤ f(x) ≤ ≤ g(x), тогда:

	b		b
1)	если сходится Ra	gb(x) dx, то сходится Ra		f(xb) dx;
2)	если расходится	Ra	f(x) dx, то расходится Ra		g(x) dx.

Теорема 7.10 (предельный признак сравнения). Пусть функции f и g кусочно-непрерывны на [ a, b) и пусть x [ a, b) имеют место

неравенства f x			> 0, g(x) > 0. Если существует конечный	lim			f(x)	=

						0 g(x)
		( )	x	b	−	0 g(x)		6
	b			→	−	b
(	R		)			R
6= 0, òî a		f(x) dx сходится тогда и только тогда, когда сходится				a	g(x) dx

интегралы сходятся или расходятся одновременно .

Замечание 7.5. Теоремы 7.9 и 7.10 с соответствующими переформулировками справедливы для несобственного интеграла по (a, b ] è [ a, b ]\

\{c}, а теорема 7.9 и для несобственного интеграла по (a, b).

7.4. Функции erf(x), Si(x), Ci(x)

Âматематике и приложениях часто используются функции, заданные

ñпомощью интегралов с переменным верхним или нижним пределом. Рассмотрим некоторые из них, исследуем их поведение и построим графики.

1. Интеграл вероятностей erf : R → R определяется формулой

	x	e−t	dt.
erf(x) = √π Z0
2		2

Из теоремы 6.7 следует, что функция erf непрерывна всюду. В силу определения 6.5 , x = 0 есть корень функции erf. Функция erf нечетная:

действительно, если сделать замену t = −s, то получим

erf(−x) =

√π

−x

ds = −erf(x).

Z0 e−t

dt = −√π Z0

e−s

e−x

По теореме 6.8

erf (x) =

√

> 0, следовательно, функция возрастает.

xe−x

Òàê êàê erf (x) = −√

> 0, òî x = 0 точка перегиба и на (−∞, 0)

функция выпукла вниз, а на (0. + ∞) выпукла вверх.

+∞

Òàê êàê e−x ≤ e−x äëÿ x [1, +∞) è

e−x dx = 1 сходится, то по

сравнения

(теоре-

признаку

y .

ìà

7.7 ) сходится

+∞e−x2 dx è

1 . . . . . . . . . .

Функция

lim

erf(x)

конечен.

. 1

x→+∞

. −

erf нечетная, следовательно

......

lim erf(x) =

lim

erf(x).

. . . . . . . . . .

x→+∞

− x→−∞

−

Можно показать, что

Ðèñ. 7.1

xlim

erf(x) = ±1.

→±∞

График функции y = erf(x) изображен на рис. 7.1.

Функция erf называется интегралом вероятностей или, иногда, интег-

ралом ошибок. Существуют подробные таблицы ее значений [ 9 ]. В теории

вероятностей чаще используется функция

Φ(x) =

e−t2

/2 dt, ÿñíî,

√

√2π −∞

÷òî Φ(−x) = 1 − Φ(x) è Φ(x) =

erf(x/

2) + 1

2. Интегральный синус Si : R → R определяется формулой

dt.

Si(x) = Z0

sin(t)

Заметим, что функция f(t) под интегралом непрерывна, если доопределить

ее и точке 0 òàê: f(0) = lim sin(t) = 1.

x→0 t

Функция Si непрерывна всюду по теореме 6.7 . Точка x = 0 корень

функции в силу определения 6.5 . Если сделать замену t = −s, то получим

−	−x	t		x	−s		x	s		−
	Z0			− Z0			− Z0
Si( x) =		sin(t)	dt =		sin(−s)	ds =		sin(s)	ds =		Si(x),

следовательно, функция Si нечетная. Согласно теореме 6.8

0	sin(x)		0
Si (x) =			è Si (x) = 0 x = πk, k Z \ {0}.
Si (x) =	x		è Si (x) = 0 x = πk, k Z \ {0}.
Очевидно,					(−1)k
Si 00 (x) =		x cos(x) − sin(x)		Si 00 (πk) =	(−1)k	,
			x2		πk

следовательно, в точках πk, где k > 0 и четные, и k < 0 и нечетные, функция Si имеет минимумы; в точках πk, где k > 0 и нечетные, и k < 0 и четные, функция Si имеет максимумы. Точками перегиба функции Si

являются корни уравнения tg(x) = x.

В примере 8.1 будет доказано, что существует

x→+∞	+∞	t		= 2
	Z0
lim Si(x) =		sin(t)	dt		π	.

График функции Si изображен на рис. 7.2.

y .

. . . . . . . . . . . . . .. . . . .

............

−3π

−2π

−π

2π

3π

. . .. . . . . . . . . . . . . . . . −

Ðèñ. 7.2

3. Интегральный косинус Ci : (0, +∞) → R определяется формулой

+∞

dt.

Ci(x) = − Zx

cos(t)

Проинтегрировав по частям, получаем

+∞

= A→+∞ Zx

cos(t)

lim

cos(t)

= A→+∞

+ Z

= −

+ Z

sin(t)

A sin(t)

sin(x)

+∞sin(t)

lim

dt. Учитывая оцен-

∞

êó | sin(t)| ≤ 1 и сходимость интеграла

dt при x > 0 видим, что для

+∞

x > 0 интеграл cos(t) dt сходится. t

Согласно теореме 6.8

cos(x)

0 x = −

+ πk, k N.

Ci (x) =

è Ci (x) =

Очевидно,

00 (x) =

−

x sin(x) + cos(x)

Ci 00

(

−

+ πk) =

(−1)k

, k

−

+ πk

следовательно, в точках π2 + 2πk, ãäå k ≥ 0, функция Ci имеет максимумы;
π
в точках −2 + 2πk, ãäå k > 0, функция Ci имеет минимумы. Точками
перегиба функции Ci являются корни уравнения ctg(x) = −x.
Можно показать, что lim Ci(x) = 0 è	lim Ci(x) =	−∞	.
x→+∞	x→0+0	−∞

Более подробную информацию о функциях Si(x) и Ci(x) можно найти в справочнике [ 9 ].

8. ИНТЕГРАЛЫ ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА

В 8 и 9 произвольный промежуток будем обозначать ha, bi (см. заме- чание 6.2).

8.1. Определение. Свойства

Рассмотрим функцию f(x, t), зависящую от параметра x hc, d) f :

ha, bi → R (a, b, c, d R). Пусть x hc, di функция f	интегрируема на
ha, bi по переменной t.
вается интегралом, зависящим от параметра x.	b
вается интегралом, зависящим от параметра x.	Ra
Определение 8.1. Функция I : hc, di → R I(x) =	f(x, t) dt íàçû-

Смотрите также:


«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_11_А. Франс для эл версии
_3 тема - Диффузия
_индив анализ данных