Материал: Методичка 1

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Можно показать, что если несобственный интеграл сходится абсолютно, то он и просто сходится, а обратное утверждение неверно.

Определение 7.3. Пусть функция f кусочно-непрерывна на R. Если

						a		+∞
a R несобственные интегралы						R		R	+
						−∞		a	∞
по определению									R
говорят, что сходится несобственный интеграл									f(x) dx и полагают
								−∞
		+∞		a			+∞
		Z	f(x) dx = Z			f(x) dx + Z		f(x) dx.
		−∞		−∞			a
При этом функция f называется интегрируемой на R.
Åñëè æå		a		a R +
	существует			такое, что хотя бы один из несобствен-
		R			∞
ных интегралов		R		R
		−∞		a
				+∞
несобственный интеграл				R
несобственный интеграл				f(x) dx расходится.

−∞

Замечание 7.1. Теоремы 7.1 , 7.3 и определение 7.2 остаются справед-

ливыми при соответствующих изменениях формулировок и для несобствен-
ных интегралов	a	f(x) dx,	+∞
ных интегралов	R	f(x) dx,	f(x) dx, а теорема 7.2 справедлива и для
	R		R
	−∞		−∞

несобственного интеграла R f(x) dx.

−∞

Определение 7.4. Пусть f кусочно-непрерывна на R. Если сущест-

	A
вует конечный lim	R	f(x) dx, то он называется главным значением
A→+∞−A		+∞	+∞
		R	R
несобственного интеграла			f(x) dx и обозначается v.p. f(x) dx.
		−∞	−∞

Замечание 7.2. Из определений 7.3 и 7.4 следует, что если сходится

+∞

несобственный интеграл R f(x) dx, то существует и главное значение этого

−∞

несобственного интеграла и они равны. Обратное неверно.

1/x, x (−∞, −1],

Например, для функции f : R → R, f(x) = x, x (−1, 1),

1/x, x [1, +∞)

−∞

A→+∞

v.p. +∞f(x) dx =

−1

lim

−A

dx +

x dx +

−

−1

A→+∞ ln | − 1| − ln | −

| +

+ ln |

| − ln |1| = 0

lim

и главное значение существует. С другой стороны, несобственный интеграл
+∞f(x) dx =	+∞	dx	расходится (пример 7.1) и, следовательно, расходится
+∞f(x) dx =	+∞		расходится (пример 7.1) и, следовательно, расходится
+R	R	x
1	1
∞
R
f(x) dx.
−∞
7.2. Несобственный интеграл по конечному промежутку
Определение 7.5. Пусть функция f									кусочно-непрерывна на [ a, b).
								β
Если существует конечный							lim f(x) dx, то он называется несобст-
						β→b−0 a
венным интегралом от функции fRпо [ a, b) и обозначается
			b					β
			f		x		dx	lim	f(x) dx.
			Za	(		)		= β→b−0 Za

При этом говорят, что несобственный интеграл сходится, а функция f

		β
интегрируема на [ a, b). Если		lim f(x) dx не существует или бесконе-
		β→b−0 a
чен, то говорят, что	несобственный интеграл расходится.
чен, то говорят, что		R
Пусть функция f кусочно-непрерывна на (a, b ]. Если существует ко-
b

нечный lim f(x) dx, то он называется несобственным интегралом от

α→a+0 α
функции f наR(a, b ] и обозначается
b							b
f		x		dx		lim	f(x) dx.
Za	(		)		=	α→a+0 Zα

При этом говорят, что несобственный интеграл сходится, а функция f

				b
интегрируема на (a, b ]. Если		lim f(x) dx не существует или бесконе-
		α→a+0 α
чен, то говорят, что	несобственный интеграл расходится.
чен, то говорят, что				R
Пример 7.2. Интегралы Za			b		, Za	b
				dx			dx	λ < 1 è

				(x − a)λ		(b − x)λ сходятся при

расходятся при λ ≥ 1. Покажем это для первого несобственного интеграла:

(x − α)1−λ

b , λ = 1

α)1−λ

(α

a)1−λ

−

, λ 6= 1

1 − λ

−

(x a)

−

ln(b

−

ln(α

−

a), λ = 1.

ln |x − a| α, λ = 1

−

, λ < 1

Следовательно,

lim

−

и значит

α→a+0 Z

−

∞

≥

сходится при λ < 1 и расходится при λ ≥ 1. •

(x − a)λ

Теорема 7.4. Пусть функции f и g интегрируемы на [ a, b) и α, β R, тогда функция αf + βg интегрируема на [ a, b) и справедливо равенство

	b	b	b
Za	(αf + βg) (x) dx = α Za	f(x) dx + β Za	g(x) dx.

Теорема 7.5. Пусть a < d < b и функция f кусочно-непрерывна на

расходятся одновременно и, если они							b		b
расходятся одновременно и, если они							R		R
[a, b), тогда несобственные интегралы								f(x) dx и f(x) dx сходятся или
							a		d
						сходятся, то
	Z	b	d	f(x) dx + Z					b
	Z	f(x) dx = Z		f(x) dx + Z					f(x) dx.
	a		a					d
Теорема 7.6 1. Если F			- первообразная к функции f на [a, b), то
остается справедливой формула Ньютона-Лейбница в виде
Z	b				=		lim F (x) − F (a).
Z	f(x) dx = F (x) b				=		lim F (x) − F (a).

ax→b−0

2. Пусть функции u и v непрерывно дифференцируемы на [ a, b). Ес-

ли сходятся несобственные интегралы

u(x)v0 (x) dx è

(x)v(x) dx, òî

справедлива формула интегрирования поR

частям

)

( )

= x→b−0

( (

)

( )) −

( )

(

) − Za

u0 (x)v(x) dx.

v0 x

lim

v x

u a

3. Пусть функция f непрерывна на [ a, b) (b может быть +∞) a функция ϕ : [ α, β) → [ a, b) непрерывно дифференцируема на [ α, β) (β

может быть +∞), причем ϕ(α) = a, lim ϕ(t) = b, тогда справедлива

t→β

формула замены переменной

f(x) dx = f (ϕ(t)) ϕ0 (t) dt.

Доказательства этих теорем повторяют доказательства аналогичных теорем из 7.1.

Замечание 7.3. Теоремы 7.4 , 7.5 и 7.6 остаются справедливыми при соответствующих переформулировках и для несобственных интегралов по

(a, b].

Определение 7.6. Пусть функция f кусочно-непрерывна на (a, b).

c	b
Если при всех c (a, b) несобственные интегралы R f(x) dx è	R f(x) dx

сходятся, то говорят, что сходится несобственный интеграл

и полагают	b	c	f(x) dx + Z	b

	Z	f(x) dx = Z		f(x) dx.

c b

f(x) dx

a a c

При этом функция f называется интегрируемой на (a, b). Если же су-

b	c (a, b)		c	fb(x) dx è
b	c (a, b)		Ra	fb(x) dx è
ществует		такое, что хотя бы один из интегралов		R
R				R
f(x) dx расходится, то говорят, что несобственный интеграл				f(x) dx
c				a
расходится.
Определение 7.7. Пусть функция f кусочно-непрерывнаc				íà [a, b]\
\{c}, где c (a, b). Если сходятся несобственные интегралы			Ra	f(x) dx è

f(x) dx, то говорят, что сходится несобственный интеграл

f(x) dx

и полагают

f(x) dx = Za

f(x) dx + Zc

f(x) dx.

При этом функция f

называется интегрируемой на [a, b] \ {c}. Если же

хотя бы один из несобственных интегралов

f(x)bdx è Rc

f(x) dx расхо-

интеграл

f(x) dx расходится.

дится, то говорят, что несобственныйc−ε

, òî îí íà-

Если существует конечный

lim

f(x) dx

+c+ε

f(x) dx

ε→0+0

зывается главнымb

значением несобственного интеграла

f(x) dx è

обозначается v.p. R f(x) dx.

Так же, как и в случае несобственного интеграла по бесконечному про-

межутку, из сходимости несобственного интеграла R f(x) dx следует су-

ществование главного значения, а обратное неверно.

7.3. Признаки сходимости несобственных интегралов

Сходимость или расходимость несобственного интеграла от неотрицательной функции можно установить, сравнивая его с каким-нибудь другим несобственным интегралом от неотрицательной функции, о сходимости которого все известно.

Теорема 7.7 (признак сравнения). Пусть функции f и g кусочнонепрерывны на [ a, +∞) и пусть x [ a, +∞) 0 ≤ f(x) ≤ g(x), тогда:

+∞

1) если сходится

dx, то сходится

f(x) dx;

Ra + (

)

∞

расходится

2) если расходится

f(x) dx, òî

Ra g(x) dx.A

Доказательство. Функции F (A) =

f(x) dx è G(A) =

g(x) dx íå

∞

убывают. Если сходится

g(x) dx,

òî

èç

неравенства

f(x)dx ≤

Смотрите также:


«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_11_А. Франс для эл версии
_3 тема - Диффузия
_индив анализ данных