Материал: Методичка 1

Следствие 6.3 (формула интегрирования по частям). Если функции u и v непрерывно дифференцируемы на [ a, b ], то справедливо

равенство

Доказательство. Как известно, (uv)0 (x) = u0 (x)v(x) + u(x)v0 (x). Âñå

входящие в это равенство функции непрерывны, а значит, и интегрируемы на [ a, b ]. Функция uv первообразная к (uv)0 íà [a, b]. Тогда по теоремам

6.12 è 6.3

Следствие 6.4 (формула замены переменной в интеграле).

Пусть f непрерывная функция на [ a, b ], а функция ϕ : [ α, β ] → [ a, b ] непрерывно дифференцируема и ϕ(α) = a, ϕ(β) = b (или наоборот ϕ(α) = = b, ϕ(β) = a ). Тогда

ZZ

f(x) dx = f (ϕ(t)) ϕ0 (t)dt

aβ

Доказательство. Пусть G первообразная к f на [ a, b ] и ϕ(α) = a, ϕ(β) = b. Тогда функция G ◦ ϕ есть первообразная к (f ◦ ϕ) ϕ0 íà [ α, β ].

По формуле Ньютона-Лейбница (теорема 6.12 ) имеем

55

6.5.Геометрические приложения определенного интеграла

I. Площадь криволинейной трапеции. Пусть f функция, непре-

рывная на [ a, b ]. Фигуру на плоско-

строим разбиение с отмеченными точками Πξ. Рассмотрим прямоугольники с основаниями [xk, xk+1] и высотами f(ξk), k = 0, 1, ..., n − 1. Площади этих прямоугольников равны f(ξk)Δxk, а сумма их площадей равна

n−1

X

f(ξk)Δxk.

k=0

По определению площадью криволинейной трапеции указанного типа будем считать такое число S, ÷òî ε > 0 δ > 0 такое, что Π c d(Π) < δ

справедливо неравенство

a

Площадь криволинейного сектора.

ниченную кривой, заданной в полярных координатах уравнением r = f(ϕ) (функция f непрерывна на [α, β]) и лучами ϕ = α, ϕ = β. Такую фигуру называют криволинейным сектором (рис. 6.2). Построим разбиение Π отрезка [α, β]: α = ϕ0 < ϕ1 < ... < ϕn−1 < ϕn = β. Рассмотрим разбиение

56

По определению площадью криволинейного сектора будем считать та-

1f2(ωk)Δϕk − S < ε.

2X

через точку (ϕ(τk), psi(τk), γ(τk)) касательную к кривой. Параметрическое уравнение касательной

ты концов этого отрезка равны

57

Тогда длина этого отрезка касательной равна

q

(x(tk+1) − x(tk))2 + (y(tk+1) − y(tk))2 + (z(tk+1) − z(tk))2 =

q

=(ϕ0 (τk)(tk+1 − tk))2 + (ψ0 (τk)(tk+1 − tk))2 + (γ0 (τk)(tk+1 − tk))2 =

q

= (ϕ0 (τk))2 + (ψ0 (τk))2 + (γ0 (τk))2 tk.

По определению число L считается длиной кривой, если ε > 0 δ > 0 такое, что Π c d(Π) < δ справедливо неравенство

β

Z

q

L = (ϕ0 (t))2 + (ψ0 (t))2 + (γ0 (t))2 dt.

α

IV. Объем тела вращения. Пусть криволинейная трапеция, определенная в п. I, вращается вокруг оси абсцисс. Полученное тело назы-

вается телом вращения. Построим разбиение Π отрезка [ a, b ]: a = x0 < < x1 < ... < xn−1 < xn = b и разбиение Πξ с отмеченными точками ξk[ xk, xk+1 ], k = 0, 1, ..., n − 1. Рассмотрим прямые круговые цилиндры с

высотами [ xk, xk+1 ], в основаниях которых лежат круги с радиусами f(ξk). Объем такого цилиндра равен πf2(ξk)Δxk.

По определению объемом тела вращения будем считать такое число

b

кому же условию удовлетворяет интеграл R πf2(x) dx. Тогда по теореме

a

58

b

6.2 V = π R f2(x) dx.

a

6.6. Приближенное вычисление интегралов

Если функция f непрерывна на отрезке [ a, b ] и известна ее первообразная F (x), то интеграл от этой функции может быть вычислен по формуле

b

Ньютона-Лейбница R f(x) dx = F (b) − F (a), ãäå F 0 (x) = f(x) (см. теорему

a

6.12 ).

Однако, во многих случаях первообразная функция не может быть найдена в виде элементарной функции (например, см. п. 7.4 далее). Поэто-

Определение 6.9. Пусть U некоторое множество интегрируемых на [ a, b ] функций. Квадратурной формулой на множестве U назы-

зываются узлами, а ck коэффициентами квадратурной формулы. При этом ε > 0 и любой функции f U найдется N N такое, что для

любых n > N выполнено

Сначала построим простейшие квадратурные формулы, исходя из определения интеграла.

Рассмотрим разбиение Π : a = x0 < x1 < ... < xn−1 < xn = b отрезка

По определению интеграла ε > 0 δ > 0 такое, что как только h < < δ (или, что то же самое, как только n > (b − a)/δ), так |SΠξ (f) − J| <

59