Материал: Методичка 1

0 = f(x0) + f0(x0)(x1 − x0) x1

Åñëè x1 [ a, b ] è f(x1) 6= 0, то аналогично, по x1

точки пересечения касательной y = f(x1) + f0(x1)(x − x1) к графику f â

f(x1)

точке x1 ñ îñüþ 0x: x2 = x1 − f0(x1) и так далее.

При некоторых условиях (см. теорему 5.7 ниже) удается построить

f(xn)

последовательность {xn} [ a, b ], xn+1 = xn − f0(xn) , n = 0, 1, 2, . . . .

Описанный алгоритм построения последовательности называется методом Ньютона или методом касательных.

Теорема 5.7. Пусть функция f : [ a, b ] → R такая, что выполнено: 1) f(a)f(b) < 0; 2) существует f00 íà [ a, b ]; 3) f0 è f00 сохраняют знак на

[ a, b ]. Возьмем в качестве x0 тот из концов отрезка [ a, b ], в котором знаки f и f00 совпадают. Тогда последовательность {xn}, ãäå

f(xn)

xn+1 = xn − f0(xn) , n = 0, 1, 2, . . . ,

монотонно сходится к ξ корню уравнения f(x) = 0.

Доказательство. Рассмотрим для определенности случай f0 > 0 è f00 > 0 íà [ a, b ]. Предположим, что b = x0 > x1 > · · · > xn > ξ и покажем,

ãäå ξ < c < xn.

45

Поэтому 0 < xn − xn+1 < xn − ξ. Отсюда xn > xn+1 > ξ.

Èòàê, b = x0 > x1 > · · · > xn > · · · > ξ. Убывающая и ограниченная снизу последовательность {xn} имеет предел θ. Переходя к пределу в ра-

M2 = sup |f00(x)|. В условиях теоремы 5.7 верны оценки:

x [ a,b ]

1) |xn − ξ| ≤ |f(xn)|; m1

2) |xn+1 − ξ| ≤ M2 |xn − ξ|2; 2m1

3) |xn − ξ| ≤ M1 |xn+1 − xn|. m1

.

Доказательство. 1. По формуле Лагранжа f(xn) = f(xn) − f(ξ) =

2. По формуле Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа имеем: 0 = f(ξ) = f(xn) + f0(xn)(xn − ξ) + f00(c)(xn − ξ)2, ãäå c лежит между

2

ξ è xn. Разделив обе части на f0(xn), получим

46

6. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

6.1. Определение. Существование и единственность

Определение 6.1. Если на отрезке [a, b] , где a < b задана система точек x0, x1, ..., xn такая, что a = x0 < x1 < ... < xn−1 < xn = b, то говорят, что задано разбиение отрезка [a, b] на промежутки [xk, xk+1], k = = 0, 1, ..., n − 1. Разбиение обозначается буквой Π. Если, кроме того, в каждом промежутке [xk, xk+1] выбрана точка ξk [xk, xk+1], k = 0, 1, ...,

k=0

соответствующей разбиению с отмеченными точками

Определение 6.3. Число J называется определенным интегралом от ограниченной функции f по отрезку [a, b], если для любого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для любого разбиения Π с d(Π) < δ справедливо

a и b называются, соответственно, нижним и верхним пределами интегрирования, f называется подынтегральной функцией. Если определен-

a

Определение 6.4. Функция f : X → R называется кусочно-непре-

рывной на множестве X, если она имеет только конечное число точек разрыва, принадлежащих X, и эти точки являются либо точками устранимого разрыва, либо точками разрыва 1-го рода.

Приведем без доказательства следующую важную теорему.

Теорема 6.1 (существования). Если функция f кусочно-непрерыв- на на [ a, b ], то она интегрируема на [ a, b ].

Доказательство теоремы можно найти в [ 6 ] (т. 9.1, 9.2).

Теорема 6.2 (единственности). Если два числа J1 è J2 удовлетво- ряют определению 6.3 , то J1 = J2.

47

Доказательство. Допустим противное, пусть J1 6= J2. Возьмем ε =

|SΠξ (f) − J1| < ε. Так же по условию δ2 > 0 такое, что Π ñ d(Π) < δ2 выполнено |SΠξ (f) − J2| < ε. Положим δ = min{δ1, δ2}, тогда Π ñ d(Π) < < δ выполнено

|J1 − J2| = |J1 − SΠξ(f) + SΠξ(f) − J2| ≤

≤ |SΠξ(f) − J1| + |SΠξ(f) − J2| < ε + ε = |J1 − J2|

Èòàê, |J1 − J2| < |J1 − J2|. Получили противоречие. Следовательно J1 = J2.

6.2. Свойства определенного интеграла

Теорема 6.3 (линейность интеграла). Пусть функции f и g интегрируемы на [ a, b ], числа α, β R. Тогда функция αf + βg интегриру-

åìà íà [ a, b ] è

Доказательство. Пусть α 6= 0, β 6= 0 (иначе еще проще). Обозначим

b b

RR

48

выполнено |SΠξ (g)−J2| < 2|εβ|. Возьмем δ = min{δ1, δ2}.Тогда Π c d(Π) < < δ выполнено

Теорема 6.4 (аддитивность интеграла по промежутку). Пусть c (a, b). Функция f интегрируема на [ a, b ] тогда и только тогда, когда

f интегрируема на [ a, c ] и [ c, b ] , при этом

Без доказательства. Доказательство теоремы можно найти в [ 6 ] (см. свойство д) стр. 349).

Теорема 6.5 (об интегрировании неравенств). Пусть функции f и g интегрируемы на [ a, b ] и для x [ a, b ] выполнено f(x) ≤ g(x) тогда

ZZ

49