Материал: Методичка 1

Скачать файл

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

(формула Лагранжа).

Доказательство. Функции f è g

: [ a, b ]

→ R, g(x)

x удовле-

творяют всем условиям теоремы Коши. Поэтому

(a, b) такая, что

f(b) − f(a)

f0(x0)

èëè f(b)

−

f(a) = f0(x

)(b

−

a).

b − a

Теорема Лагранжа имеет простой

y . .

геометрический смысл. Очевидно, что

f(b) − f(a) есть угловой коэффициент

f(b)

. B

. . . . . . . . .

−

, à

f0(x0)

[AB]

хорды

угловой коэф-

фициент касательной к графику функ-

öèè f

в точке x0 (рис. 4.2). Теорема

f(a) . .

A .

. .

.....

Лагранжа утверждает, что существу-

ет точка, в которой касательная парал-

Ðèñ. 4.2

лельна хорде.

4.6. Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей

Правило Лопиталя показывает, как используются производные при вычислении пределов, представляющих собой неопределенность типа 0/0

èëè ∞/∞.

Теорема 4.8 Пусть x0 [ a, b ],

f, g

[ a, b ] \ {x0} → R. Åñëè

выполнены следующие условия: 1) lim f(x)

lim g(x) =

0; 2) f è g

x→x0

дифференцируемы во всех точках x

[ a, b ]

, причем g0

(x) = 0 è 3)

f0(x)

\ {

f(x)

существует lim

= K, то существует

lim

= K.

x→x0

g0(x)

x→x0

g(x)

Доказательство. Доопределим f и g в точке x0, полагая f(x0) = = g(x0) = 0. Тогда в силу условия 1) f и g станут непрерывными в точке

x	. Покажем, что если x	0 6=	b, то существует	lim	f(x)	=	K. Функции f è

0				x x0+0 g(x)
				→

g удовлетворяют всем условиям теоремы Коши на отрезке [ x0, b ]. Поэтому

[ x

, b ]

ξ(x)

, x) :

f(x)

f(x) − f(x0)

f0(ξ(x))

g(x) − g(x0)

g(x)

g0(ξ(x))

Так как по теореме 2.8 о пределе сжатой функции										lim ξ(x) = x0, òî ïî
									x→x0+0
теореме 2.2 о пределе суперпозиции						lim		f0(ξ(x))		= K. Отсюда следу-

					x→x0+0 g0(ξ(x))
ет, что существует lim			f(x)	=	lim		f0(ξ(x))		= K. Аналогично, если

x	→	x0+0 g(x)			x x0+0 g0(ξ(x))
					→

x0 6= a, òî lim f(x) = K. Поэтому по теореме о связи предела и одно-

x→x0−0 g(x)

сторонних пределов существует lim f(x) = K.

x→x0 g(x)

Замечание 4.3. 1. Теорему 4.8 можно кратко записать так:

lim	f(x)	= lim	f0(x)	.
	g(x)
x x0		x x0	g0(x)
→		→

Это равенство принято называть правилом Лопиталя раскрытия неопределенностей типа 0/0.

±∞

2. Теорема остается справедливой и для случаев

lim f(x) =

f(x)

f0(x)

→

lim g(x) =

, ò. å.

lim

g(x)

g0(x) (правило Лопиталя раскрытия

x→x0

±∞

x→x0

= x→x0

неопределенностей типа ∞/∞), а также когда x0 = ±∞.

3. Теорема 4.8

íå

допускает

обращения, т. е. из

существования

lim

f(x)

не следует существование предела lim

f0(x)

. Например, суще-

g0(x)

→

g(x)

x x0

→

ствует

lim

x + sin(x)

lim

1 + sin(x)/x

= 1,

x→+∞ x + cos(x)

x→+∞ 1 + cos(x)/x

íî

lim

(x + sin(x))0

lim

1 + cos(x)

не существует.

x→+∞

(x + cos(x)) = x→+∞ 1 − sin(x)

sin(x) − x

Пример 4.4. Рассмотрим предел

lim

с неопределенно-

x→0 x cos(x) − x

ñòüþ 0/0 и, трижды применив правило Лопиталя, получим:

lim

sin(x) − x

= lim

cos(x) − 1

x→0 x cos(x) − x

x→0 cos(x) − x sin(x) − 1

= lim

− sin(x)

= lim

− cos(x)

−

→

2 sin(x)

−

x cos(x)

→

3 cos(x) + x sin(x) 3 •

x 0

4.7.Формула Тейлора n-го порядка с остаточным членом в форме Пеано

Определение 4.5. Пусть f : X → R, x0 X предельная точка X. Говорят, что функция f n раз дифференцируема в точке x0, åñëè существуют постоянные A1, . . . , An R такие, что

f(x) = f(x0) + Ak(x − x0)k + o((x − x0)n).

k=1

f(n)(x0).

По определению функция f n раз дифференцируема в точке x0, åñëè

она отличается от некоторого многочлена n-й степени f(x0)+ P Ak(x−x0)k

k=1

на бесконечно малую более высокого порядка, чем (x − x0)n ïðè x → x0. Пусть в некоторой окрестности x0 существует f0(x). Если у функции f0

существует производная в точке x0, то она называется второй производной функции f в точке x0 и обозначается f00(x0) èëè f(2)(x0). Аналогично, пусть в некоторой окрестности x0 существует f(n−1)(x). Если у функции f(n−1)

существует производная в точке x0, то она называется n-й производной функции f в точке x0 и обозначается

По определению f(n)(x0) = lim	f(n−1)(x) − f(n−1)(x0)	.
x→x0	x − x0

Теорема 4.9 Если у функции f существует f(n)(x0), то f n раз дифференцируема в точке x0 и имеет место равенство

f(x) = f(x0) + f0(x0)(x − x0) + · · · + f(n)(x0)(x − x0)n + o((x − x0)n) 1! n!

(формула Тейлора n-го порядка для функции f в точке x0 с остаточным членом в форме Пеано).

Доказательство. Вычислим, используя n −1 раз правило Лопиталя, следующий предел:

f0(x0)

f(n−1)(x0)

− x0)n−1

f(x) − f(x0) −

− x0) − · · · −

lim

−

1)!

(x − x0)n

x→x0

f00(x0)

f(n−1)(x0)

f0(x)−f0(x0)−

(x−x0)− · · · −

(x−x0)n−2

−

2)!

· · ·

= lim

n(x−x0)n−1

x→x0

= lim

f(n−1)(x) − f(n−1)(x0)

lim

f(n−1)(x) − f(n−1)(x0)

f(n)(x0)

n(n − 1) . . . 2(x − x0)

x→x0

(x − x0)

Следовательно функция

f(x) − f(x0) − · · · −

f(n−1)(x0)

− x0)n−1

(n)(x

)

−

1)!

α(x) =

−

(x − x0)n

есть бесконечно малая при x → x0. Отсюда находим

f x

f0(x0)

−

0) + · · · +

f(n−1)(x0)

−

n−1

( ) =

(

0) +

(

−

1)!

(

f(n)(x0)

(x − x0)n + α(x)(x − x0)n.

Òàê êàê

lim

α(x)(x − x0)n

lim α(x) = 0, òî α(x)(x

−

)n = o((x

−

)n)

ïðè

−

x x0

→ .

→

x → x0

f(x0) = f(0)(x0) è 0! = 1.

Замечание 4.4. 1. Удобно считать, что

Тогда формулу Тейлора n-го порядка для функции f в точке x0 можно кратко записать так:

f(k)(x0)

(x − x0)k + o((x − x0)n).

f(x) =

2. Формула Тейлора n-го порядка позволяет функцию f с точностью

äî o((x − x0)n) заменять многочленом

n f(k)(x0)

− x0)k

, который на-

k=0

зывается

n-ãî

для функции f в точке x0.

многочленом Тейлора

порядка

Укажем формулы Тейлора для некоторых конкретных функций в точ-

êå x0 = 0:

ex = 1 +

+ · · · +

+ o(xn);

cos(x) = 1

(−1)nx2n

+ o(x2n+1);

−

4! − · · ·

(2n)!

sin(x) = x

(−1)nx2n+1

+ o(x2n+2);

−

5! − · · ·

(2n + 1)!

ln(1 + x) = x

−

(−1)n−1xn

+ o(xn);

3 − · · ·

(1+x)α = 1+

α(α − 1)

x2 +

· · ·

α(α − 1) . . . (α − n + 1)

xn +o(xn).

Проверим первое равенство. Для f(x) = ex имеем f(k)(x) = ex ïðè k = 0, 1, 2, . . . . Отсюда f(k)(0) = 1. Следовательно,

n	f(k)(0)
Xk
ex =		xk + o(xn) = 1 +
=0	k!

x		x2		xn
	+		+ · · · +		+ o(xn).
1!	+	2!	+ · · · +	n!	+ o(xn).

4.8.Формула Тейлора n-го порядка с остаточным членом в форме Лагранжа

Остаточный член формулы Тейлора, записанный в форме Пеано o((x − x0)n), есть бесконечно малая более высокого порядка, чем (x − x0)n

ïðè x → x0. Однако часто полезно иметь более детальную информацию об

остаточном члене. Далее будет указана еще одна форма (форма Лагранжа) записи остаточного члена формулы Тейлора.

Лемма 4.1. Пусть функции F, G :

[ x0, x ] → R такие, что: 1) име-

ют производные (n + 1)-го порядка на [ x

, x ]; 2) F (x

) = F 0(x

) =

· · ·

= F

(n)

(x0) = 0; 3) G(x0) = G0(x0) =

(n)

· · ·

= G

(x0) = 0; 4) G0, G00

, . . . ,

. . . , G

(n+1)

íå

(n+1)

(x0, x). Тогда существует c (x0, x)

обращаются в нуль на

F (x)

(c)

такое, что

G(x)

G(n+1)(c)

Доказательство. По теореме Коши существует точка x1 (x0, x)

такая, что

F (x)

F (x) − F (x0)

F 0(x1)

. Аналогично, существует точка

G(x) − G(x0)

G0(x1)

G(x)

, x) такая, что

F 0

(x1)

F 0

(x1) − F 0

(x0)

F 00

(x2)

и так далее. В

)

−

итоге получим:

F (x)

F 0

(x1)

F 00

(x2)

= · · ·

F (n+1)(xn+1)

G(x)

(x1)

G00

(x2)

G(n+1)(xn+1)

ãäå x0 < xn+1 < xn < · · · < x1 < x. Остается взять c = xn+1.

Теорема 4.10 Пусть у функции f : [ a, b ] → R существует (n+1)- я производная на (a, b). Тогда для любых x0, x (a, b) существует точка c между x0 и x такая, что

n	f(k)(x0)	f(n+1)(c)
Xk
Xk	k!	(x − x0)k + (n + 1)! (x − x0)n+1
f(x) =	k!	(x − x0)k + (n + 1)! (x − x0)n+1
=0

(формула Тейлора n-го порядка для функции f в точке x0 с остаточным членом в форме Лагранжа).

Доказательство. Рассмотрим случай x0 < x. Покажем, что функции

n f(k)(x0)

удовлетворяют

F (x) = f(x) − k=0

(x − x0)k è G(x) = (x − x0)n+1

всем условиям P

леммы 4.1 .

Найдем производные F äî (n + 1)-ой включительно:

F 0

f0 x

f00

(x0)

f(n)(x0)

n−1

(

) =

(

−

(

−

0) − · · · − (n

1)!

(

−

;

( ) −

−

f(n)(x0)

F 00(x) = f00(x) − f00(x0) − · · · −

(x − x0)n−2; . . . ;

−

2)!

Смотрите также:


«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_11_А. Франс для эл версии
_3 тема - Диффузия
_индив анализ данных