Материал: Методичка 1

Еще раз напомним, что функция f : X → R непрерывна в точке a предельной для множества X, если выполнены три условия:

1) f определена в a; 2) существует lim f(x); 3) lim f(x) = f(a).

x→a x→a

Определение 3.3. Если в точке a предельной для множества X, нарушено хотя бы одно из условий 1, 2, 3, то a называется точкой разрыва функции f.

Точки разрыва классифицируются следующим образом.

Определение 3.4. Точки разрыва a функции f называются: 1) точ-

кой устранимого разрыва, если существует конечный lim f(x); 2) точкой

x→a

разрыва первого рода, если существуют конечные, но различные lim f(x)

x→a−0

и lim f(x); 3) точкой разрыва второго рода, если она не является точ-

x→a+0

кой разрыва первых двух типов, т. е. если хотя бы один из односторонних пределов не существует или бесконечен.

3.2. Функции непрерывные на отрезке

Здесь мы рассмотрим наиболее важные теоремы о функциях, непрерывных на отрезке. Первые две теоремы приводятся без доказательства.

Теорема 3.4 (Вейерштрасса). Пусть f непрерывна на [a, b]. Тогда f ограничена и достигает своих наибольшего и наименьшего значе- ний на [a, b], т. е. существуют точки x1, x2 [a, b] такие, что f(x1) = = sup f(x) наибольшее значение функции, f(x2) = inf f(x) наиме-

.. .

Теорема 3.5 (Больцано-Коши). Пусть f непрерывна на [a, b] и на концах промежутка принимает значения разных знаков, т. е. f(a)f(b) < < 0. Тогда существует точка c [a, b] такая, что f(c) = 0 (рис. 3.2).

Доказательство теоремы можно найти в [ 6 ] (т. 4.12).

25

Теорема 3.6. Пусть функция f непрерывна на [a, b] и inf f(x) <

x [a,b]

< C < sup f(x). Тогда существует точка c [a, b] такая, что f(c) = C

x [a,b]

(ñì. ðèñ. 3.3).

Доказательство. По теореме 3.4 x1, x2 [a, b] : f(x1) = sup f(x),

x [a,b]

f(x2) = inf f(x). Предположим, для определенности, что x1 < x2. Ôóíê-

x [a,b]

öèÿ ϕ(x) = f(x) −C непрерывна на [x1, x2] и принимает на концах отрезка значения разных знаков ϕ(x1) = f(x1) − C > 0, ϕ(x2) = f(x2) − C < 0. По теореме 3.5 существует c (x1, x2) (a, b), такая, что ϕ(c) = 0, ò. å. f(c) = C.

Предложение 3.1. Если функция f монотонна на [a, b] и ее значе- ния заполняют некоторый отрезок, то f непрерывна на [a, b].

Доказательство. Пусть, например, f неубывающая функция. Покажем, что f непрерывна слева в любой точке x (a, b]. Допустим против-

f([a, b]) есть отрезок. Значит f(x0 − 0) = f(x0). Аналогично доказывается непрерывность справа. Следовательно, по теореме 2.3 f непрерывна на

[a, b].

Следствие 3.1. Если функция f непрерывна и строго монотонна на [a, b], то обратная функция f−1 также непрерывна на f([a, b]).

Доказательство. Существование и строгая монотонность f−1 íà f([a, b]) были доказаны в теореме 1.2 . Из теорем 3.4 и 3.6 следует, что

применить предложение 3.1 .

3.3.Нахождение корня уравнения методом половинного деления

Пусть функция f непрерывна на [a, b] è f(a)f(b) < 0. По теореме Больцано-Коши на [a, b] лежит корень (может быть не единственный) урав-

26

корень. Иначе, обозначим через тот из отрезков и [(a + b)/2, b], на концах которого функция f принимает значения разных

заданная относительная погрешность. В качестве приближенного значения

4. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ ФУНКЦИЙ

4.1.Дифференцируемость функций. Производная. Касательная

Пусть x0 X предельная точка множества X, f : X → R. Напомним (см. определение 2.5 ), что символом o(x−x0) обозначается любая функция, являющаяся бесконечно малой более высокого порядка, чем x − x0 ïðè

x → x0, ò. å. lim o(x − x0) = 0.

x→x0 x − x0

Определение 4.1. Функция f дифференцируема в точке x0, åñëè ñó- ществует A R такое, что f(x) = f(x0)+A(x−x0)+o(x−x0). Функция A(x − x0) называется дифференциалом функции f и обозначается dx0 f.

По определению функция f дифференцируема в x0, если она отличает- ся от некоторого многочлена первой степени f(x0)+A(x−x0) на бесконечно

малую более высокого порядка, чем x − x0 ïðè x → x0.

Функция f : R \ {0} → R, f(x) = x1 дифференируема

27

то он называется производной функции f в точке x0 и обозначается f0(x0).

Предложение 4.1. Если f дифференцируема в точке x0, ò. å. ïðåä-

ставима в виде f(x) = f(x0) + A(x − x0) + o(x − x0), то существует f0(x0) = A.

Доказательство. Так как существует предел

то существует и производная f0(x0) и она равна A.

Пример 4.1 показывает, что для функции f(x) = 1/x производная в любой точке x0 6= 0 равна f0(x0) = −1/x20.

Предложение 4.2. Если существует f0(x0), то f дифференцируема в точке x0 и верно равенство

f(x) = f(x0) + f0(x0)(x − x0) + o(x − x0) (формула Тейлора первого порядка для функции f в точке x0).

Доказательство. Из определения 4.2 производной следует, что

α(x) = f(x) − f(x0) − f0(x0) x − x0

есть бесконечно малая при x → x0. Отсюда находим

f(x) = f(x0) + f0(x0)(x − x0) + α(x)(x − x0).

Òàê êàê lim α(x) = 0, òî α(x)(x − x0) = o(x − x0). Поэтому

x→x0

f(x) = f(x0) + f0(x0)(x − x0) + o(x − x0).

Замечание 4.1. Из равенства x = x0 + (x−x0) + 0 следует, что x0 = 1

è dx0 x = x − x0, а потому dx0 f = f0(x0)dx0 x èëè df = f0dx. Рассмотрим прямые y = f(x0) + A(x − x0), проходящие через точку

M0(x0; f(x0)) графика функции f.

Определение 4.3. Прямая y = f(x0) + A(x − x0) называется касательной к графику функции f в точке x0, åñëè

f(x) − y = f(x) − (f(x0) + A(x − x0)) = o(x − x0).

28

Сравнивая данное определение с

фициент касательной к графику функции f в точке x0. Поэтому f0(x0) = = tg α, ãäå α угол наклона касательной к оси Ox.

Для любой прямой y = f(x0) + B(x − x0), не совпадающей с касательной, имеем f(x)−y = f(x)− f(x0)+B(x−x0) 6= o(x−x0). В этом смысле

то функция f непрерывна в точке x0.

4.2.Дифференцируемость суперпозиции функций и обратной функции

Теорема 4.1 Пусть f : X → Y , g : Y → R. Если функции f и g

дифференцируемы в точках x0 X è y0 = f(x0) Y соответственно, то их суперпозиция g ◦ f : X → R дифференцируема в точке x0 è

(g ◦ f)0(x0) = g0(f(x0))f0(x0).

Доказательство. По условию g(y) = g(y0) + g0(y0)(y −y0) + o(y −y0).

Рассмотрим функцию β : Y → R, β(y) = o(y − y0), åñëè y 6= y0 è β(y0) = 0.

(y − y0)

29