Материал: Методичка 1

Замечание 2.5. 1. Для пределов на бесконечности и бесконечных пределов остаются в силе теоремы о пределе суперпозиции.

2. В дальнейшем, если не оговорено пðотивное, будем предполагать,

что если существует lim f(x) = b, òî b R, т. е. предел может быть как

x→a

конечным, так и бесконечным.

3. Если множество X R не ограничено сверху (снизу), то будем считать, что sup X = +∞ inf X = −∞.

2.9. Предел последовательности

Пусть f : N → R, f(n) = yn последовательность. О пределе последовательности можно говорить только в точке +∞ единственной

предельной точке N. Если этот предел существует и конечен, то говорят,

что последовательность сходится. Кроме общего обозначения lim f(n) =

n→+∞

= b используются также обозначения lim yn = b èëè yn → b. По определению предела

lim yn = b ε > 0 δ > 0 : n N, n > δ yn Kε(b) |yn − b| < ε.

ßñíî, ÷òî δ всегда можно выбрать из N.

Для последовательностей рассматриваются и бесконечные пределы, например: lim yn = +∞ ε > 0 δ > 0 : n N, n > δ yn > ε.

Теорема 2.11 (Больцано Коши). Для сходимости последовательности {yn} необходимо и достаточно, чтобы

ε > 0 δ > 0 : n, m N, n > m > δ |yn − ym| < ε.

Доказательство теоремы 2.11 можно найти в [ 6 ] (т. 3.18).

Теорема 2.12 (Гейне). Пусть f : X → R, a предельная точка

X. Тогда для существования предела lim f(x) = b необходимо и достаточ-

x→a

но, чтобы для любой последовательности {xn} X, xn → a, xn 6= a, было выполнено f(xn) → b.

Доказательство теоремы 2.12 можно найти в [ 6 ] (т. 3.19).

Теоремой Гейне удобно пользоваться при доказательстве того, что пре-

äåë lim f(x) = b не существует. Для этого достаточно указать две последо-

x→a

вательности {xn} X, xn → a, xn 6= a è {x0n} X, x0n → a, x0n 6= a такие, что f(xn) è f(x0n) либо не имеют пределов, либо их пределы различны.

20

2.10. Предел и монотонность

В этом параграфе мы выделим класс функций, для которых сложный вопрос о существовании предела в точке решается относительно легко. Это класс монотонных функций. При изучении пределов монотонных функций

в точке a следует рассмотреть четыре основных случая: функция задана

левее (правее) точки a и не убывает (не возрастает). Сформулируем и докажем теорему для первого случая.

Теорема 2.13. Пусть a = sup(X) предельная точка множества X, a 6 X, функция f : X → R не убывает и ограничена сверху. Тогда

существует и конечен lim f(x) = lim f(x) = sup f(X).

x→a x→a−0

Доказательство. По условию A = sup f(X) < +∞. Пусть сначала a < +∞. Òàê êàê a = sup(X) предельная слева (но не справа) точка

→ −

случая a = +∞ в качестве δ следует взять c, которое можно выбрать

положительным, и далее повторить рассуждение приведенное ранее. Аналогично доказывается следующая теорема.

Теорема 2.14. Пусть a = sup(X) предельная точка множества X, a 6 X, функция f : X → R не возрастает и ограничена снизу. Тогда

существует и конечен lim f(x) = lim f(x) = inf f(X).

x→a x→a−0

Для частного случая X = N получаем следующую теорему.

Теорема 2.15 (Вейерштрасса). Неубывающая (невозрастающая)

ограниченная сверху (снизу) последовательность имеет конечный предел.

Предложение 2.3. Если f не убывает (не возрастает) на (a, b), то для любого x0 (a, b) существуют f(x0 − 0), f(x0 + 0) è

f(x0 − 0) ≤ f(x0) ≤ f(x0 + 0) (f(x0 − 0) ≥ f(x0) ≥ f(x0 + 0)).

Доказательство. Рассмотрим только первый случай. Функция f íà

21

2.11. Число e

Лемма 2.1. Существует и конечен lim 1 + n1 n.

Доказательство. Мы будем пользоваться неравенством Бернулли

t ≥ −1 m N (1 + t)m ≥ 1 + mt,

Число e вычислено с большой точностью: e = 2.718281828459 . . . . Ïî- y = ex называется экспонентой и имеет специальное

обозначение ex = exp(x).

22

Доказательство. 1. Обозначим через [x] целую часть x, т. е. наибольшее целое число, не превосходящее x. Тогда для x > 1 имеем:

3. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ

Âэтой главе рассмотрим класс функций, для которых сложный вопрос

îсуществовании и вычислении предела в точке решается наиболее просто: он равен значению функции в этой точке.

23

3.1. Определение и свойства непрерывных функций

Определение 3.1. Функция f : X → R называется непрерывной в точке a X, если или a изолированная точка X, или a предельная

точка X и lim f(x) = f(a). Если f непрерывна в каждой точке множе-

x→a

ства X, то f непрерывна на X.

Далее будем считать, что a предельная точка X, так как в изолированной точке любая функция, по определению, непрерывна.

Теорема 3.1. Пусть функции f : X → Y, g : Y → R непрерывны в точках a и f(a), соответственно. Тогда их суперпозиция g◦f непрерывна в точке a.

Доказательство. По определению непрерывности lim f(x) = f(a) è

= (g ◦ f)(a), ò. å. g ◦ f непрерывна в точке a.

Теорема 3.2. Пусть функции f, g : X → R непрерывны в точке a. Тогда f + g, f − g, fg, f/g (при g(a) 6= 0) непрерывны в точке a.

Доказательство. По определению непрерывности lim f(x) = f(a) è

Непрерывность fg è f/g проверяется аналогично.

Так как простейшие функции, введенные в школьном курсе, (степенная, показательная, логарифмическая, тригонометрические и обратные тригонометрические), непрерывны в любой точке своей области определения, то из теорем 3.1 , 3.2 следует, что этим свойством обладают и все элементарные функции.

Наряду с понятием непрерывности дополнительно вводятся понятия непрерывности слева и справа.

Определение 3.2. Функция f : X → R называется непрерывной слева (справа) в точке a X, если или a изолированная точка X, или a предельная слева (справа) точка X и lim f(x) = f(a) ( lim f(x) =

= f(a)).

Теорема 3.3. Пусть a X предельная слева и справа точка X. Функция f : X → R непрерывна в точке a тогда и только тогда, когда f непрерывна слева и справа (одновременно) в точке a.

Доказательство. По теореме 2.10 о связи понятий предела и односторонних пределов имеем

24